關于“線速度”定義的再討論及教學建議

秦笑春 周 權

（南京市第一中學，江蘇 南京 210001）

本刊于2009年曾刊出《“線速度”究竟應該怎樣定義？》一文.［1］文中指出了人教版教科書中“線速度”定義存在的問題，給出了作者認為正確的“線速度”的定義方式.［2］然而，自該文刊出后的第2年，再版的人教版教科書中“線速度”概念的定義依然沒有修改，筆者以為編者沒有做相應的修改一定有著發人深思的原因.［3］其實人教版教科書“圓周運動”一節中線速度的定義方式，一直困擾著許多教師.很多教師也認為教科書中線速度的定義是不合理的，體現不了線速度的矢量性.筆者認為許多教師對自然坐標系不夠熟悉，是誤以為教科書出錯的原因.

1 教科書中關于線速度概念的定義

人教版教科書對“線速度”的定義如下：

圓周運動的快慢可以用物體通過的弧長與所用時間的比值來量度.如圖1所示，物體沿圓弧由M向N移動，某時刻t經過A點.為了描述物體經過A點附近時運動的快慢，可以取一段很短的時間Δt，物體在這段時間內由A運動到B，通過的弧長為Δs.比值反映了物體運動的快慢，叫做線速度，用v表示，即

圖1

線速度也有平均值和瞬時值之分.如果所取的時間間隔很小很小，這樣得到的就是瞬時線速度.

乍看上去，教科書對“線速度”的定義確實讓人困惑.Δs和Δt都是標量，按書中的定義得到的線速度應該是標量，但教科書在后面又提到“線速度是矢量”，如此一來教科書有自相矛盾之嫌.要搞清這個問題，我們要先來了解坐標系的選取對問題研究難易程度的影響.

圖2

2 直角坐標系對圓周運動的描述

坐標系的選取是任意的，選取不同的坐標系對運動進行描述是等價的.但選取的坐標系不同會對問題研究的難易程度有很大的影響，因此建立的坐標系要能方便研究問題.下面先在直角坐標系下對圓周運動進行描述.

如圖2所示，直角坐標系中圓周運動的運動學方程可以寫成

3 自然坐標系對圓周運動的描述

圖3

若運動軌跡f（x，y）＝0是已知的，也可以采用自然坐標來研究質點的運動.如圖3所示，在軌跡上取一點O為原點，用由原點到質點位置的弧長s作為質點的位置坐標，稱為自然坐標.自然坐標s不同于一般說明長度的弧長.根據原點及正方向的規定，s可正可負，質點的運動方程可以用s＝s（t）來描述.［4］在自然坐標下研究曲線運動時，速度 ＝只有切向分量，而沒有法向分量，因而對速度方向的表述相對簡單，往往無需再對速度方向做特殊說明.下面我們采用自然坐標系對圓周運動進行描述.

如圖4所示，自然坐標系中圓周運動的運動學方程可以寫成s＝s（t）＝Rθ（t）.

圖4

加速度

對比直角坐標和自然坐標對圓周運動的描述，顯然自然坐標系要簡單得多，所以往往在自然坐標系下對圓周運動及其他曲線運動進行研究.

4 “線速度”教學建議

再來回頭看教科書中對線速度的定義，就不難發現教科書正是在自然坐標系下對線速度進行定義的.但是由于高中學生不知道自然坐標系，所以“比值反映了物體運動的快慢，叫做線速度”這樣的表述學生肯定不能理解.甚至一旦學生從速度是矢量的角度深究起來，教師將難以解釋.對此，筆者建議實施以下教學.

師：現在老師用手搖自行車腳蹬，如果1s鐘轉1圈，后輪上某點平均速度是多少？如果2s鐘轉1圈，平均速度又是多少？

生：均為0.

師：很顯然前面所學的平均速度不能反映做圓周運動物體的快慢.那如何描述物體在圓弧上運動的快慢呢？手搖自行車腳蹬時，自行車上的小齒輪和后輪上的質點都在做圓周運動，請同學們討論小齒輪和后輪上的點誰運動得快？

生：通過討論，得出：① 比較單位時間內通過的弧長.② 比較轉過1圈所用的時間.③ 比較單位時間內質點和圓心連線轉過的夾角.④ 比較1s鐘內轉過的圈數.

師：圓周運動的快慢可以用物體通過的弧長與所用時間的比值來量度.單位時間內通過的弧長正是我們前面所學過的平均速率.如果物體沿著圓弧由M運動到N 點，某時刻t經過A點，為了描述物體在A點即時運動的快慢，該如何處理？

生：可以從此時刻開始，取一段很短時間Δt，物體在這段時間由A點運動到B點，用通過的弧長Δs與Δt的比值來反映物體在圓周上運動的快慢.

師：顯然從A點向逆時針方向取B點和向順時針方向取B點，質點運動的效果是不一樣的，看來對于做圓周運動的物體來說方向也很重要.當Δt足夠小時，圓弧AB幾乎成了直線，弧AB的長度與線段AB的長度近乎相等，此時，物體由A點運動到B點的位移Δl的大小就是Δs.而位移Δl與Δt的比值是我們前面所學的哪個物理量？

生：速度.

師：這個速度其實就是我們在直線運動中學習的瞬時速度，只不過現在我們用它來描述圓周運動的快慢而已.在物理學上，用線速度來描述物體做圓周運動的快慢，線速度的大小就是比值，用v表示線速度，則

師：線速度的方向是怎樣的呢？

生：圓周的切線方向.

在直線運動中，學生已經知道速度是描述物體運動快慢的物理量，應該通過實驗讓學生認識到平均速度不能描述做圓周運動物體的運動快慢.再讓學生討論如何比較圓周運動的快慢，引出描述圓周運動快慢的4個物理量（v，ω，T，n）.許多教師在講解線速度概念的時候會刻意地回避弧長與時間的比值是平均速率，筆者以為這是沒有必要的.弧長與時間的比值的確是前面所學的平均速率.不如采用由平均速率過渡到瞬時速率，進而過渡到瞬時速度的方法.這樣的教學過程既讓學生體會到弧長與時間的比值是描述圓周運動快慢的方法之一，又不至于讓學生感覺概念出錯.此外，筆者建議教科書刪去“線速度也有瞬時值和平均值之分”，因為在學生沒有了解自然坐標系之前，不能理解平均線速度，況且對于勻速圓周運動線速度大小處處相等，對于中學階段所研究的變速圓周運動也僅僅討論瞬時速度.所以將這句話刪去，不僅不影響后面知識的學習，還能降低學生理解的難度，可謂一舉兩得.

1 曉建.“線速度”究竟應該怎樣定義？［J］.物理教師，2009（7）.

2 人民教育出版社編著.普通高中課程標準實驗教科書·物理必修2［M］.北京：人民教育出版社，2004（5）.

3 人民教育出版社編著.普通高中課程標準實驗教科書·物理必修2［M］.北京：人民教育出版社，2010（4）.

4 漆安慎，杜嬋英.普通物理教程·力學［M］.北京：高等教育出版社，1997.