諧波諧振的模態(tài)分析法及其應(yīng)用

丘 凌，丘 揚(yáng)

（1.國網(wǎng)浙江省電力公司經(jīng)濟(jì)技術(shù)研究院，杭州 310008；2.國網(wǎng)浙江省電力公司杭州供電公司，杭州 310009）

1 概述

電力系統(tǒng)中大量使用的電力電子設(shè)備，如交直流整流器、電氣化機(jī)車、電弧爐等，在運(yùn)行時(shí)會(huì)產(chǎn)生高次諧波。這些設(shè)備在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用不斷增加，已成為系統(tǒng)中客觀存在的高次諧波源。構(gòu)成電力系統(tǒng)的發(fā)電機(jī)、變壓器、輸電線路、電抗器和電容器等均為感性元件或容性元件，其參數(shù)及連接方式?jīng)Q定了系統(tǒng)的固有諧振頻率。由于系統(tǒng)固有諧振頻率不同，對(duì)各次諧波的反應(yīng)或敏感程度也不相同，表現(xiàn)為諧波電壓/電流的放大或衰減，特別當(dāng)系統(tǒng)中的某次諧波與系統(tǒng)的固有諧振頻率相同或接近時(shí)，會(huì)導(dǎo)致該次諧波嚴(yán)重放大，即發(fā)生諧波諧振，可能危及系統(tǒng)運(yùn)行安全。由此可見，電力系統(tǒng)諧波諧振是由諧波源的激勵(lì)與系統(tǒng)的內(nèi)在特性共同造成的。因此，治理電力系統(tǒng)的諧波問題，不僅要消除或減少系統(tǒng)中的諧波源及其影響，還應(yīng)防止系統(tǒng)固有頻率與可能的諧波源頻率接近甚至重合的情況。由于發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中的諧波源然后進(jìn)行治理具有滯后性，因而通過事前了解系統(tǒng)的諧波諧振頻率并采取預(yù)防措施應(yīng)該是治理電力系統(tǒng)諧波問題更合理可行的途徑。因此，研究電力系統(tǒng)的諧波諧振頻率具有理論和實(shí)際意義。

計(jì)算系統(tǒng)諧波諧振頻率的方法主要有解析法、頻譜分析法、模態(tài)分析法[1-2]等，前兩種方法存在計(jì)算復(fù)雜、耗時(shí)長的問題，模態(tài)分析法由于其高效方便的特點(diǎn)受到重視[3-5]，通過靈敏度矩陣和參與因子[6-8]等可為治理方案提供更多的信息[9-10]。但單一使用模態(tài)分析法有其局限性，僅適用于部分諧波諧振模式，不能得到全部諧波諧振頻率。在有些文獻(xiàn)中，將諧波的諧振模式劃分為并聯(lián)諧振和串聯(lián)諧振，并認(rèn)為必須分析回路阻抗矩陣才能準(zhǔn)確獲得串聯(lián)諧振頻率及相關(guān)支路的信息，但本文論證實(shí)際情況并非如此。文獻(xiàn)[3]提出1個(gè)改進(jìn)的模態(tài)分析法，該方法結(jié)合使用基于回路阻抗矩陣的模態(tài)分析法和虛擬支路法，可求得包括串聯(lián)諧振頻率在內(nèi)的全部諧波諧振頻率，并指出求解串聯(lián)諧振問題必須使用回路阻抗矩陣的結(jié)論。文獻(xiàn)[4]算例中求得的3個(gè)串聯(lián)諧振頻率實(shí)際上是與并聯(lián)諧振頻率完全相同的回路串聯(lián)諧振頻率。實(shí)際上，基于回路阻抗矩陣的模態(tài)分析法獲得的是回路串聯(lián)諧振頻率，與基于導(dǎo)納矩陣的模態(tài)分析得到的并聯(lián)諧振頻率完全相同，因而使用基于節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的模態(tài)分析法和虛擬支路法也可求得系統(tǒng)全部諧波諧振頻率，且計(jì)算比基于回路阻抗矩陣的方法更簡化，適合實(shí)際應(yīng)用。此外，為準(zhǔn)確理解和運(yùn)用，對(duì)于虛擬支路法需要更合理的解釋。

2 諧波諧振的模態(tài)分析法

系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)電壓電流方程為：

式中：Y為n×n節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣；n為系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)數(shù)；V=（V1，…，Vn）T和I=（I1，…，In）T分別為節(jié)點(diǎn)電壓和節(jié)點(diǎn)注入電流向量。

導(dǎo)納矩陣可分解為：

式中：L和T分別為左、右特征向量矩陣，且T=L-1；∧為對(duì)角特征值矩陣，如果導(dǎo)納矩陣Y的n個(gè)特征值各不相同，可得：

由式（1）和式（2）可得：

式中：U=TV定義為模態(tài)電壓向量，U=（U1，…，Un）T；J=TI定義為模態(tài)電流向量，J=（J1，…，Jn）T；∧-1可稱為模態(tài)阻抗矩陣。

當(dāng)電網(wǎng)發(fā)生節(jié)點(diǎn)并聯(lián)諧波諧振時(shí)，某些節(jié)點(diǎn)的注入電流將產(chǎn)生很高的節(jié)點(diǎn)電壓。由式（3）和式（5）可知，如果λi等于0或很小，則很小的模態(tài)電流Ji可能導(dǎo)致很大的模態(tài)電壓Ui。因此，可由λi等于或接近零判斷并聯(lián)諧振狀態(tài)。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可通過掃描發(fā)現(xiàn)特征值的符號(hào)改變來判斷諧振點(diǎn)所在區(qū)間。為減少計(jì)算量，可先選擇較大的掃描步長，然后不斷在縮小的區(qū)間內(nèi)使用較小的掃描步長，以獲得足夠的精度。由于導(dǎo)納矩陣與阻抗矩陣的互逆關(guān)系，其特征值互為倒數(shù)，因此基于阻抗矩陣的模態(tài)分析法只能得到相同的結(jié)果，差別在于是以1/λi等于或接近零判斷諧波的并聯(lián)諧振狀態(tài)。

對(duì)于如圖1所示的3節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)[3]，運(yùn)用基于節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的模態(tài)分析方法可求得3個(gè)并聯(lián)諧振頻率（或回路串聯(lián)諧振頻率）。在一些文獻(xiàn)中，認(rèn)為其余的諧波諧振為串聯(lián)諧振，需通過基于回路阻抗矩陣的模態(tài)分析法求得諧振頻率。但實(shí)際上，基于回路阻抗矩陣的模態(tài)分析法僅能獲得回路串聯(lián)諧振頻率，與基于導(dǎo)納矩陣的模態(tài)分析法得到的并聯(lián)諧振頻率完全相同，單一使用基于回路阻抗矩陣的模態(tài)分析法并不能求得支路串聯(lián)諧振頻率。為求取其余的串聯(lián)諧波諧振頻率，文獻(xiàn)[3]提出的虛擬支路法是行之有效的，本文對(duì)此給出如下解釋。

為便于說明，先忽略各支路阻抗的電阻分量。將節(jié)點(diǎn)i的連接支路等值為接地支路xA，當(dāng)節(jié)點(diǎn)i的連接支路發(fā)生并聯(lián)諧振，則xA→∞；當(dāng)節(jié)點(diǎn)i的連接支路發(fā)生串聯(lián)諧振，則xA=0。為模擬支路串聯(lián)諧振條件xA=0，可以通過與xA并聯(lián)一短接支路。在節(jié)點(diǎn)i上并聯(lián)支路阻抗xi，可得：

圖1 3節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)接線

當(dāng)節(jié)點(diǎn)i發(fā)生并聯(lián)諧振，須滿足xA+xi=0，即為xi與xA構(gòu)成回路串聯(lián)諧振，可見xi與xA發(fā)生并聯(lián)諧振即等同于xi與xA構(gòu)成回路串聯(lián)諧振，這也印證了并聯(lián)諧振與回路串聯(lián)諧振的一致性。運(yùn)用模態(tài)分析法可求得此接線下的并聯(lián)諧振頻率（回路串聯(lián)諧振頻率），在諧振狀態(tài)下須滿足xA+xi=0，即：

如果并聯(lián)支路電抗xi足夠小，式（7）近似等于支路串聯(lián)諧振條件xA=0。由此可知，通過與xA并聯(lián)短接支路可以實(shí)現(xiàn)支路串聯(lián)諧振頻率計(jì)算，此短接支路即為文獻(xiàn)[3]提出的虛擬支路。

如果計(jì)及支路阻抗的電阻分量，支路串聯(lián)諧振條件可表示為 Im（zA）=0（Im（zA）表示阻抗 zA的虛部），由于系統(tǒng)中各支路阻抗的電阻分量一般小于電抗分量，故可近似以zA=0作為支路串聯(lián)諧振條件。類似地，通過支路zi與zA并聯(lián)，zi阻抗足夠小，運(yùn)用模態(tài)分析法求得此接線下的并聯(lián)諧振頻率（回路串聯(lián)諧振頻率），即近似等于支路zA的串聯(lián)諧振頻率。

綜上所述，運(yùn)用基于節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的模態(tài)分析法和虛擬支路法，通過頻率掃描可求得系統(tǒng)全部諧波諧振頻率，且無須使用基于回路阻抗矩陣的分析方法，計(jì)算得以簡化，更適合實(shí)際應(yīng)用。由于導(dǎo)納矩陣Y的元素為復(fù)數(shù)，諧波諧振的模態(tài)分析涉及求取復(fù)系數(shù)矩陣的特征值和特征向量，可利用標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算機(jī)程序求得。

3 與諧波諧振的解析法結(jié)果比較

以圖1所示的3節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例。圖中，各阻抗值均為對(duì)應(yīng)于基波的阻抗值，zs1=0.02+j0.3Ω，z12=0.08+j0.3Ω，z23=j0.25Ω，b10=j0.015Ω-1，b20=j0.015Ω-1，b30=j0.07Ω-1。 可列出系統(tǒng)的諧振方程并求得諧振頻率，為便于計(jì)算，在諧振方程中忽略了各支路阻抗的電阻分量。

并聯(lián)諧振方程如下：

回路串聯(lián)諧振方程如下：

支路串聯(lián)諧振方程如下：

在上述公式中，符號(hào)“//”表示支路并聯(lián)運(yùn)算；xs1，x12，x23分別表示 zs1，z12，z23的電抗分量，x10=-1/b10，x20=-1/b20，x30=-1/b30；h表示諧振頻率，單位為標(biāo)幺值（p.u.）。根據(jù)計(jì)算結(jié)果，并聯(lián)諧振頻率與回路串聯(lián)諧振頻率完全相同，原因很簡單，因?yàn)閮啥讼噙B的并聯(lián)阻抗x1與x2也可以看作是頭尾相連構(gòu)成的串聯(lián)回路。因此，將諧振模式簡單地定義為并聯(lián)諧振和串聯(lián)諧振并不嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)該區(qū)分回路串聯(lián)諧振和支路串聯(lián)諧振。

運(yùn)用基于導(dǎo)納矩陣的模態(tài)分析法對(duì)上述系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算（為與解析結(jié)果比較，忽略了各支路阻抗的電阻分量），可得到3個(gè)諧振頻率，分別為3.8374，16.5070和26.5192，與解析結(jié)果完全一致，可見基于導(dǎo)納矩陣的模態(tài)分析法適用于并聯(lián)諧振（或回路串聯(lián)諧振）分析。

4 算例

對(duì)于圖1所示的3節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，運(yùn)用解析法、頻譜分析法和基于節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的模態(tài)分析法，諧波諧振評(píng)估計(jì)算結(jié)果示于表1，其中支路串聯(lián)諧振1-3分別為與節(jié)點(diǎn)1-3接入虛擬接地支路后構(gòu)成回路對(duì)應(yīng)的支路。由于解析法、頻譜分析法為精確方法，其結(jié)果可作為標(biāo)準(zhǔn)答案。由表1可見，如忽略支路阻抗的電阻分量，模態(tài)分析法結(jié)果與解析法、頻譜分析法完全一致；如計(jì)入支路阻抗的電阻分量，模態(tài)分析法的誤差也很小，能滿足實(shí)際應(yīng)用要求。系統(tǒng)模態(tài)阻抗示于圖2，各曲線編號(hào)按其峰值出現(xiàn)順序，其中曲線1，5，9為系統(tǒng)模態(tài)阻抗曲線，其峰值對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)并聯(lián)諧振；曲線2，7為節(jié)點(diǎn)1虛擬接地時(shí)的模態(tài)阻抗曲線，模擬節(jié)點(diǎn)1上接入諧波電壓源時(shí)的系統(tǒng)模態(tài)阻抗曲線，其峰值對(duì)應(yīng)于相關(guān)支路（與虛擬接地支路構(gòu)成回路）的串聯(lián)諧振；曲線3，6為節(jié)點(diǎn)2虛擬接地時(shí)的模態(tài)阻抗曲線，模擬節(jié)點(diǎn)2上接入諧波電壓源時(shí)的系統(tǒng)模態(tài)阻抗曲線；曲線4，8為節(jié)點(diǎn)3虛擬接地時(shí)的模態(tài)阻抗曲線，模擬節(jié)點(diǎn)3上接入諧波電壓源時(shí)的系統(tǒng)模態(tài)阻抗曲線。

表1 系統(tǒng)諧振頻率及分類

5 結(jié)論

圖2 系統(tǒng)模態(tài)阻抗曲線

基于節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣或基于節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣的模態(tài)分析法適用于系統(tǒng)并聯(lián)諧振分析。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可通過掃描發(fā)現(xiàn)特征值的符號(hào)改變來判斷諧振點(diǎn)所在區(qū)間。由于導(dǎo)納矩陣與阻抗矩陣的互逆關(guān)系，其特征值互為倒數(shù)，因此兩種方法的結(jié)果相同。

系統(tǒng)諧波諧振可分為并聯(lián)諧振和串聯(lián)諧振，串聯(lián)諧振又可分為回路串聯(lián)諧振與支路串聯(lián)諧振。基于回路阻抗矩陣的模態(tài)分析法適用于回路串聯(lián)諧振分析，由于系統(tǒng)回路串聯(lián)諧振頻率與并聯(lián)諧振頻率完全相同，因而與系統(tǒng)并聯(lián)諧振分析結(jié)果相同，單一使用基于回路阻抗矩陣的模態(tài)分析法并不能求得支路串聯(lián)諧振頻率。

結(jié)合運(yùn)用基于節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的模態(tài)分析法和虛擬支路法，可以求得包括支路串聯(lián)諧振頻率在內(nèi)的系統(tǒng)全部諧波諧振頻率，且計(jì)算比基于回路阻抗矩陣的方法更簡化和規(guī)范，適合實(shí)際應(yīng)用。

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