用擺演示剛體的平動和平面平行運動

羅 宏

（蘇州科技學院 數理學院，江蘇 蘇州215009）

1 引 言

關于剛體或質點系有很多的討論，文獻［1-2］討論了通過實驗來演示在平面平行運動（滾動）的情況下，轉動慣量等參量對剛體運動的影響.文獻［3-4］則討論了剛體的平動及動點動量矩定理.但是比較剛體的平動和平面平行運動的相關文獻很少.了解剛體的平動和平面平行運動的區別可以幫助學習者的思維方式由質點情況向剛體情況進展.

在相同傾角的斜面上，無摩擦下滑的剛體（平動）比作純滾動剛體（平面平行運動）的質心加速度更大，經過相同的距離耗時更短.但由于摩擦力的存在，在斜面上演示這一現象效果不好.本文設計了2種類似的擺，擺長和懸掛的剛體都相同，只是懸掛其上的剛體分別作平動和平面平行運動（運動形式不同）.通過這2種擺，可以演示剛體的平動和平面平行運動，并進一步通過測量這2種擺的周期，比較運動形式的不同帶給觀測量的影響.平面平行運動與平動的主要區別是，前者有繞質心的轉動而后者無.通過這一比較，可以讓學生直觀地了解隨剛體內部運動維度的增加（剛體繞質心的轉動），所觀測到的物理量（周期）的變化.是否具有內部的轉動維度，是剛體和質點的一個重要區別.由于作平動的剛體可以等效為質點［5］，通過該演示實驗，也可以幫助學生更好地理解剛體運動和質點運動的區別，及其帶來的影響.

理論計算部分，可以選擇牛頓第二定律、能量法［6］或拉格朗日方程.當體系約束增加時，用能量法或拉格朗日方程處理問題會更簡單（如在以下的兩擺中）.另外，隨著物理學習的深入，越來越多的問題需要用能量的觀念來思考，所以本文選擇拉格朗日方程來計算和分析.以下的討論將只考慮擺在豎直平面內的擺動，并假設擺動的角度很小.

2 2種擺的設計和理論分析

2.1 擺1

2根長度同為l的不可伸長輕細繩（質量可忽略），對稱地系于勻質細桿質心（中點）C的兩側.兩繩的另一端以相同的距離系于懸掛處.細桿長度為d、質量為m.如圖1所示，O點為兩懸掛點的中點，OC＝l為擺長.將擺拉開小角度，由靜止釋放擺，擺將往復擺動.由于兩繩的約束，細桿將始終處于水平狀態，細桿的運動為平動.對于剛體的平動，可以將整個剛體的運動簡化為質心的運動［5］，此擺可以簡化為繩OC末端懸掛質點m的單擺，其周期即單擺周期.但為了便于與擺2比較，仍舊寫出其動能及拉格朗日函數.

圖1 擺1

由克尼希定理知，對于剛體的平動運動，系統的動能只有質心動能：

式中，IO＝ml2為細桿質心繞O點轉動的轉動慣量，ωO為質心繞O點轉動的角速度，θ為擺角.系統的勢能為

此系統為理想約束下的保守系統，則系統的拉格朗日函數為

建立并解得拉格朗日方程可知，擺1在小角度近似下的周期為

2.2 擺2

如圖2所示，與擺1中相同的細桿，其兩端點A和B各系1根相同長度的不可伸長輕細繩，兩繩的另一端都系于懸點O，C為細桿的質心，選擇兩繩的長度使擺長OC＝l（與擺1相同），θ為擺角.同樣地將擺2拉開一個小角度，由靜止釋放，擺將往復擺動，由于兩繩的約束，細桿的運動為平面平行運動，可以分解為質心運動和細桿繞質心的轉動.

圖2 擺2

細桿質心繞O點轉動的角速度ωO與細桿繞自身質心轉動的角速度ωC相同.這可以通過圖3得知.圖3中，AB為當擺角為θ時細桿的位置，A′B′為當擺角為0時，細桿的位置（經過平移使質心重合），由圖容易證明當整個擺擺動的角度為θ時，細桿轉動的角度也為θ，也就是說

圖3 細桿繞質心的轉角和擺角的關系

則由克尼希定理，在擺2中細桿的動能為

式中第一項為質心繞O點運動的動能，IO為質心繞O點的轉動慣量，此項與擺1相同.第二項為細桿繞自身質心轉動的動能，IC為細桿繞質心的轉動慣量為

擺2的勢能與擺1相同V2＝V1.此系統為理想約束下的保守系統，由式（2），（5），（6），其拉格朗日函數為

拉格朗日方程為

在小角度近似下，化簡得到：

此式為諧振動方程，可得擺2的周期為

比較（4）式與（11）式，可見這2種擺的周期不同，（11）式中多出了IC項.通過對比可以發現，這2種擺的擺長（質心C到懸點O的距離）和懸掛的剛體都相同，不同之處在于所懸掛剛體的運動形式，這導致其動能組成不同.如果比較二者的拉格朗日函數（3）和（8）式，可以看出，二者拉格朗日函數中動能項有差異.在擺1中，懸掛在擺線下的細桿作平動，質心運動可以代表整個細桿，細桿可被等效為一質點，其動能為質心運動動能.而擺2中，細桿作平面平行運動，其運動除了質心運動之外，還增加了剛體繞質心的轉動這一維度，由此其動能除了質心運動動能之外，還有細桿繞質心的轉動動能.正是由于2種擺動能組成的不同，最終表現出其周期的不同，（11）式比（4）式多出的IC項正源于其對應的轉動動能項.

從定性的角度分析這2種擺對理解平動和平面平行運動的不同也有幫助.在擺1中，細桿作平動，勢能完全轉化為質心動能.而在擺2中，細桿作平面平行運動，勢能除一部分轉化為質心動能外，還有一部分轉化為細桿繞質心轉動的動能.如果以相同的擺角θ靜止釋放二擺，這就必然導致在相同的位置，擺2的質心速度小于擺1（由于部分勢能轉化為轉動動能），以致擺2周期較長.正如（4）式與（11）式所示.由此，可以更進一步認為，在理想約束下的機械能守恒的擺中，隨著系統運動維度的增加，其質心完成1個周期的運動所需時間有增加的趨勢.

由于作平動的剛體可以被等效為一質點，平動和平面平行運動的比較，可以看做是質點和剛體的比較.增加了繞質心轉動自由度上的運動，是剛體較質點的重要區別，也是擺2比擺1周期更長的原因.

3 實驗及結果分析

將轉動慣量IO和IC代入式（4）和（11），得到在實驗中實際使用的周期表達式：

實驗儀器使用常用的單擺實驗儀改造而成.儀器頂部有一橫梁，梁上有一小孔，懸線由小孔中穿過.擺2只需1臺單擺實驗儀懸掛.擺1用2臺單擺實驗儀懸掛，調節實驗儀的高度相等，懸點間距和細桿上束縛點的間距相等即可.細桿長度和擺長分別為d＝0.615m，l＝0.300m.當地的重力加速度經查表取為g＝9.80m／s2.將以上數據代入（12）和（13）式可得10倍周期的預期值，

10T1＝10.99s，10T2＝12.77s. （14）

實驗測量中，擺來回擺動10個周期測量1次時間，兩種擺各測量了10次，其測量數據如表1所示.

表1 周期測量數據

以下分析實驗數據的不確定度，并依據實驗的不確定度來給出細桿長度和擺長比例的參考范圍.一種擺周期的測量結果應在另一種擺的測量結果不確定度之外，二者周期的區別才被認為是明確的.因此需合理設計擺長和細桿長度，使二擺周期的預期值有足夠大的差別.

為保證2種擺周期具有可明顯觀察的差別，以下分析數據都會取較寬裕的值，并仍以10倍周期作為分析對象.實驗中使用的秒表精度為0.01s，人的反應時間一般為0.1～0.4s之間.由于人的反應時間影響了時間測量的精度，故將B類不確定度統一取為uB＝0.4s.結合由表1得出的A類不確定度，可得2種擺10倍周期的合成不確定度u＝0.4s.則2種擺周期的預期值之差應該大于2u，為增大二者區隔取其值為1s.根據實驗數據，則可得到如下不等式，

將（12）和（13）式代入計算可得

因此建議實際制作此演示實驗儀時須滿足（16）式的條件.如果采用文獻［7，8］中所使用的較高精度的實驗儀器，則此比值可以更小，但要依據實際的不確定度來分析.

4 結束語

設計了2種不同的擺，其擺長相同，所懸掛剛體相同，但剛體的運動形式不同.通過這兩種擺，演示了剛體平動和平面平行運動，及其對擺周期的影響.正是擺2中剛體作平面平行運動所具有的繞質心的轉動分量，使其擺動的周期較擺1更長.通過實驗驗證，這2種擺制作較為簡單，演示效果良好.雖然實驗中2種擺都懸掛了剛體，但其也可以等效作為演示質點和剛體區別的演示實驗裝置.

［1］古麗娜爾，樸景燦，劉秉正.滾動演示實驗［J］.物理實驗，2004，24（3）：41.

［2］路峻嶺，汪榮寶.幾種演示影響剛體滾動因素的物理實驗儀［J］.大學物理，2004，23（6）：40-42.

［3］梅鳳祥.關于對動點的動量矩定理——理論力學札記之八［J］.力學與實踐，2011，33（3）：67-69.

［4］朱仁貴.對動點的動量矩定理在剛體平動中的應用［J］.力學與實踐，2013，35（1）：80-82.

［5］周衍柏.理論力學教程［M］.3版.北京：高等教育出版社，2009：117.

［6］車立新.單擺周期的能量方法求解［J］.松遼學刊（自然科學版），2002（1）：66-67.

［7］秦鳴雷，肖一凡，楊海亮，等.大角度下阻尼對單擺擺動周期的影響［J］.物理實驗，2012，32（5）：42-45.

［8］張虹雪，程雪芹，樊婷，等.單擺擺球運動軌跡控制裝置［J］.物理實驗，2012，32（12）：36-38.