幾類中立型Lurie系統的穩定性及魯棒絕對穩定性概述

王玉紅，包俊東

1.內蒙古化工職業學院，內蒙古呼和浩特 010070

2.內蒙古師范大學數學科學學院，內蒙古呼和浩特 010022

0 引言

利用數學上的理想模型為許多實際系統建模已成為當今解決問題的方法之一。而中立型Lurie 控制系統就是一類非常重要的數學模型。本文探索了幾類時滯中立型Lurie 系統的穩定性和魯棒絕對穩定性問題，尋找使得系統穩定的條件，這些系統來源于現實生活中廣泛存在的問題，很有研究價值。

1 發展概況

首先，在實際的控制系統中，系統狀態的變化速度可能會含有時滯，即系統變化速度不僅依賴于當前信息，而且還會依賴于過去的信息。2005 年，徐炳吉、沈軼、廖曉昕巧妙構造Lyapunov 泛函，研究了一般中立型Lurie 控制系統

得到系統(1)絕對穩定性的時滯相關、時滯無關的若干充分條件；2006 年，董曉梅、趙崢嶸引用李亞普諾夫方法和線性矩陣不等式，對一類中立型Lurie 系統

進行討論，得到系統絕對穩定的又一新的時滯相關準則；2005年，徐炳吉、劉新芝又利用Lyapunov 泛函方法，對中立型Lurie 控制系統

進行了絕對穩定性分析，得到了系統時滯相關條件和時滯無關條件，結果均是用線性矩陣不等式形式表示的。

其次，實際系統的滯后和結構擾動也是系統不穩定的重要因素，尤其是不確定時滯系統的魯棒控制問題倍受關注。目前，在系統的魯棒穩定性分析、魯棒控制器設計、魯棒性能分析等方面都獲得了大量的研究成果[1 -3]。Lurie 控制系統是一類非常重要的控制系統，其相關魯棒穩定性研究已有大量的研究成果。

2003 年，彭達洲、胥布工針對一類具有范數不確定參數和未知常數時滯的Lurie 型不確定系統

其中 0 ≤τ,τ1≤Γ 為未知常時滯，建立了系統的時滯相關魯棒絕對穩定性判據，并且所得結果用LMI 形式表示，應用Matlab LMI 工具箱迭代求解可以得到時滯的上界，從而可對系統的允許時滯做出較高的估計。

2004 年，李宏飛、羅學波考慮了系統矩陣具有可加式擾動的不確定中立型Lurie 直接控制系統

并給出了基于求解線性矩陣不等式的魯棒絕對穩定性條件，且這些條件是時滯相關的；同年，他們又對如下一類Lurie 間接控制系統

進行了魯棒穩定性分析，借助于Lyapunov 泛函構造方法，給出了關于Lyapunov 泛函中正定矩陣和積分項參數的線性矩陣不等式的穩定性判別準則，且這些準則是與時滯量的大小無的。

2005 年，徐炳吉、廖曉昕考慮了不確定性中立型Lurie控制系統并應用Lyapunov 泛函方法，對系統(7)的魯棒絕對穩定性進行了研究，并給出魯棒絕對穩定的時滯相關充分條件。

2006 年，王海龍又討論了單時滯不確定Lurie 控制系統

以及多時滯多執行機構的Lurie 系統

并巧妙構造Lyapunov 泛函，合理引用Razumikhin 定理，推導出系統在非結構不確定性下魯棒絕對穩定的充分條件。

2 相關研究成果的推廣

1）控制項具有時滯的中立型Lurie 控制系統的絕對穩定性

考慮系統

利用M-矩陣的性質[4]，并構造出合適的Lyapunov 泛函得到該系統相關結論，相關證明過程相見文[2]。

2）一類一般非線性中立型Lurie 控制系統的穩定性

考慮系統利用M-矩陣的性質，并構造出合適的Lyapunov 泛函得到該系統零解是一致漸近穩定的，相關證明過程相見文[2]。

3）一類不確定性中立型Lurie 控制系統的時滯相關魯棒絕對穩定性

考慮系統

利用Schur 補引理、S-過程方法和相關引理，并基于線性矩陣不等式處理方法給出了系統(12)魯棒絕對穩定性的判別條件，相關證明過程相見文[3]。

3 研究目的和意義

近年來，Lurie 型控制系統的穩定性問題，倍受專家學者們的關注，這是因為很多控制系統都可以轉化為Lurie 型非線性控制系統，因此，對此類控制系統的穩定性理論分析、實際設計等有著實際價值。專家學者們巧妙地引用各種有效的方法，完成了控制系統的分析研究、綜合設計，并得到相應控制系統絕對穩定性及魯棒絕對穩定性的充分條件和在特殊情況下的充要條件。

然而，要么是實際現象過于復雜，要么是理論成果很理想化，這是目前存在的現狀。正如我們所研究的實際控制系統一樣，有待于解決的問題很多，比如：其一，時滯的存在：現實中的閉環控制系統都存在滯后，滯后現象常常會使系統的性能變差甚至可能會導致系統振動以及不穩定，正因如此，專家學者們開始研究具有時滯的系統。目前，關于Lurie 型時滯系統的研究已經取得了豐碩的成果。然而，無論是系統的狀態、狀態的變化速度亦或是對系統實際加以控制的控制器都不僅僅依賴于當前的信息，而且還依賴于過去的信息，于是由于在這里引入系統的過去狀態信息，若是此信息對滯后系統的影響較小，則系統尚可有效，若是影響較大，則原控制條件的控制效果可能不好，因此探討滯后型和中立型Lurie 系統的絕對穩定性是有實際意義的；其二，系統模型的不確定性和參數攝動：為了對系統進行綜合，要建立起系統的模型，而且系統的綜合結果都是相對于所建立的模型而得到的。實際控制系統中的不確定因素、建模過程中的誤差，這些都是不可避免地存在著的，而且可能是各種各樣。因此，相對于一個實際系統來講，所導出的模型一般都是比較理想化的模型，但是人們仍然期待，期待實際的控制系統能夠具有一定的抗干擾能力。

進入21 世紀后，已有的研究成果已經遠不能滿足時代的需求了。因此，進一步探索不確定性的Lurie 系統，尤其是探索不確定時滯型Lurie 控制系統的魯棒穩定性已經是時代需求的事情了。

[1]馬新軍，胥布工.不確定時滯系統魯棒穩定性及魯棒控制研究.華南理工大學博士論文，2005.

[2]王玉紅.具有時滯的Lurie型控制系統絕對穩定性和魯棒穩定性的研究.內蒙古師范大學碩士學位論文，2007.

[3]王玉紅，包俊東.不確定性中立型Lurie控制系統的時滯相關魯棒絕對穩定性[J].內蒙古師范大學學報，2014，43(5)：1-6.

[4]George Poole，Thomas Boollon.A surrey on M-matrix，Siam Review，1974，16(4)：419-426.