SST-DES在小分離流動數值模擬中的改進

王翔宇 李 棟

(西北工業大學 翼型葉柵空氣動力學國防科技重點實驗室，西安710072)

1 問題提出

分離渦模擬［1］(DES，Detached Eddy Simulation)是當前模擬復雜航空航天工程問題中分離流動的一種主要方法.作為一種RANS/LES的混合方法，DES將湍流模型中的長度尺度表征為一種壁面距離函數控制器，邊界層內流動仍受雷諾平均方法 (RANS，ReynoldsAveragedNavier Stokes)湍流模型主導，并未顯著提高計算量，而在大尺度分離區或遠場簡化為亞格子模型大大降低了湍流黏性，起到類似大渦模擬方法(LES，Large Eddy Simulation)隱式濾波的效果.早期的DES的一個主要問題是模型應力損耗(MSD，Modeled Reynolds Stress Depletion)導致的網格誘導分離現象(GIS，Grid Induced Separation)，邊界層內受到LES方法干擾湍流黏性降低，在小分離流動中出現明顯的非物理分離解［2］.為此，文獻［3］提出了延遲分離渦模擬(DDES，Delayed Detached Eddy Simulation)，通過引入控制函數保證邊界層內的 RANS求解，延遲了 RANS的作用范圍.

然而很多時候除了壁面上的分離點，對邊界層下游的自由剪切層(如翼型的尾跡區)流動信息同樣關注.從這一點來看，DDES對邊界層內RANS的延遲是以犧牲自由剪切層的LES可解性為代價的——延遲得到的較大湍流黏性可能從RANS/LES交界面開始向LES區作用，干擾了LES的分辨能力，出現了所謂的灰區［4-5］(grey area)，如圖1所示.

圖1 理想的DES模擬效果和實際的DES模擬效果［6］Fig.1 Comparison between the ideal situation and actual situation in DES［6］

從流動特性考慮，對大分離流動，漩渦的劇烈生成發展衰減耗散的過程同樣是湍動能不斷發展的過程，這個貫穿整個流場的過程將流動發展初期的可解信息不斷傳播循環到整個LES區，形成一個自反饋的機制使得灰區變得模糊不清甚至忽略不計［4］.但對小分離流動而言，較弱的漩渦信息傳遞使得這種反饋機制幾乎不復存在，分離越弱，RANS/LES交界區域受上游邊界層RANS影響越大，灰區效應越明顯.基于以上，本文旨在發展一種能夠更為準確表征LES區域的改進SSTDES方法，降低小分離流動中灰區對自由剪切層的不利影響.

2 SST-DES在小分離流動中的改進

其中，μt和μl分別為湍流黏性系數和層流黏性系數;Ω為當地流動的應變率張量;表征RANS的模化湍流長度尺度;Δ為某個體現LES特性的選定的網格長度濾波尺度;fDDES為DDES中采用的延遲函數——本文采用已經得到廣泛應用的、SST模型中自帶的 f2函數［8-9］.式(1)～式(3)中其他參數均為標準k-ω SST湍流模型給定，可參考文獻［7］.

而Yoshizawa提出的 k方程亞格子模式［10］(k-epuation sub-grid model)的表達式為

其中Cs=0.05，Cd=1.0均為該亞格子模式中給定的常數.觀察SST-DES的表達式，在遠離壁面時僅變更式(2)的耗散項，轉換為類似式(7)k方程亞格子模式的方程構型，起到類似大渦模擬的作用——但此時湍流黏性系數仍由SST中k-ε湍流模型表達式控制，即式(1)為

最終的湍流黏性仍受較大的RANS長度尺度控制，混淆了此時式(5)對湍動能方程的影響.從另一個角度看，當從RANS區域轉變為LES區域時，即使湍動能k能夠迅速減小，由于ω方程并未變化，上游壁面附近得到的較低湍動能耗散比率ω會在交界處顯著抑制LES區域的解析能力，延緩湍流的發展.為此有必要將式(8)改進為標準的k方程亞格子模式中的式(6)構型:

為防止出現類似DES中直接引入亞格子模式導致的網格誘導分離現象，借鑒DDES的思路，通過引用混合函數的方法延遲RANS作用區域.最終式(1)可寫為

這樣，在遠場(f2=0)將原 SST-DES中的“類”k方程亞格子模式轉化為其標準形式，阻斷了之前變量ω在RANS和LES之間的信息傳遞.進一步分析，當SST-DES起到LES作用時，將式(9)代入式(11)，近似認為f2=0，化簡后得到湍流黏性系數的對流-擴散方程:

限于篇幅，上式中復雜的擴散項表達式在此略去.觀察式(12)，一方面由于LES濾波尺度Δ出現在了生成項，而生成項又在源項中處于主導地位，因此Δ的表達形式比其在一般的DES中更為重要.本文選擇k方程亞格子模式中默認的Δ:

代替原 SST-DES 中的 Δ =max(Δx，Δy，Δz)［11-12］.

另一方面，當式(10)處于生成耗散平衡時:

化簡得到

而SA-DES中采用的Smagorinksy亞格子模式為

其中C=0.182.顯然最終湍流黏性系數的表達式(15)與Smagorinksy亞格子模式方程(16)構型完全相同.同時，將k方程亞格子模型中的Cs和Cd代入式(15)后發現與式(16)中的常數并不相等，需要對二者取值重新標定.通過對各項同性湍流模擬結果進行比較，本文算例中選取Cs=0.1，Cd=1.0，保證了式(15)右端的常系數約為Smagorinksy亞格子模式中給定的0.182.

3 計算模型和結果分析

本文仿照Wei和Ning［13］在提出改進SA-DES時采用的AS239翼型最大升力點繞流進行算例驗證.實驗顯示在來流條件為Ma=0.15，Re=2×106時，當迎角為13.3°，AS239翼型達到最大升力點，分離發生在翼型尾部且分離渦很小［14-15］.計算網格在二維流向切面為323×121，壁面法向第1層網格距離約為1×10-5，y+≈1.翼型展向在0.4c長度內拉伸30層.選用基于LU-SGS的雙時間步長推進方法，物理時間步為0.01c/U∞.分別采用SST-DES，SST-DDES和上文提出的改進方法(簡記為DES，DDES和I-DES)進行數值模擬.

觀察圖2，相比 DES，DDES通過延遲 RANS提高了壁面附近湍流黏性，但同時也使得尾跡區湍流黏性大幅提高，幾乎達到了和壁面附近相同的量級，可能進一步加劇灰區的影響.I-DES的結果在邊界層與DDES類似，而在尾跡區則幾乎“截斷”了DDES過大的湍流黏性，促進了湍流的快速發展.進一步從渦量云圖可以看出，由于網格誘導分離DES在翼型中部即出現了明顯的大分離漩渦并不斷向下游發展.DDES雖然避免了在翼型表面的提前分離但延遲RANS使得尾跡區漩渦發展受到抑制變得模糊不清.相比之下，I-DES在翼型表面渦量分布與DDES較為類似而在后緣的自由剪切層的漩渦運動更加清晰.

圖3和圖4分別給出了摩擦阻力系數分布和翼型表面壓力系數.相比于實驗得到分離點約0.82c，DES僅為0.7c左右，翼型尾部邊界層內模化應力嚴重不足，而DDES和I-DES分離點均在0.8c～0.85c之間，也就是說I-DES這種混合函數構造的形式起到了類似DDES改善DES中網格誘導分離的效果.對表面壓力分布而言，在尾部分離區I-DES與實驗數據幾乎完全吻合.

圖5給出了尾跡區前部3個站位處的流向速度分布曲線.

圖2 DES，DDES和I-DES的湍流黏性系數和渦量對比Fig.2 Comparison between DES，DDES and I-DES in turbulent viscosity and vorticity magnitude

圖3 摩擦阻力系數曲線Fig.3 Skin friction coefficient along the suction side

圖4 翼型表面壓力系數曲線Fig.4 Pressure coefficient along the aerofoil

圖5 翼型尾跡區流向速度分布比較Fig.5 Comparison of streamwise velocity profiles in the wake region

由圖5不難看出，受上游RANS區影響，DES和DDES在尾跡區特別是靠近在翼型的位置湍流黏性偏大，模化剪切應力偏大，直觀來看流向“黏滯”強烈，速度型梯度比I-DES大很多——由于延遲RANS，灰區影響更強，DDES在尾跡區流向比DES更偏離實驗結果，而這種偏離隨著站位的靠后、湍流的發展而不斷減小.顯然，在小分離流尾跡區I-DES取得了最靠近實驗值的速度分布結果.

4 結論

1)對小分離流動而言，漩渦傳遞湍動信息能力較弱，SST-DES中下游LES區域缺乏上游附體流區域解析湍流信息，受RANS區域較大湍流黏性干擾嚴重，在RANS/LES交界附近湍流發展受到抑制，即出現了所謂灰區效應;

2)通過對原始SST-DES方程的分析，降低了其中類亞格子模式對湍流黏性的多參數影響，促進了自由剪切層湍流的發展，用標準k方程亞格子模式將SST-DES重新構造，得到了一種改進的SST-DES方法;

3)通過對AS239翼型最大升力點小分離流動的數值模擬，改進后的SST-DES方法在翼型表面具有類似DDES延遲RANS的特性，避免出現DES中網格誘導分離現象，同時在尾跡區大大降低了湍流黏性，明顯減輕了灰區的影響，驗證了該改進方法的正確性.

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