具有跳躍和時間周期勢的Duffing方程的Lagrange穩定性*

李紅霞

（中國海洋大學數學科學學院，山東 青島 266100）

0 引言

1960年代Littlewood［1］研究了Duffing方程

在半線性方程中，具有跳躍項的Duffing方程是一個非常重要的形式：

其中：a和b是正常數，a≠b，x＋＝max｛x，0｝，x－＝max｛－x，0｝，f（x，t＋2π）＝f（x，t）。當f只與t有關時，Ortega［6］研究了 Duffing型方程

去掉了ε任意小的假設后，仍可利用扭轉定理得到方程的Lagrange穩定性。

最近，Wang［9］研究了 Duffing型方程

其中p（t）∈C6（S1），S1＝R/2πZ，擾動項φ（x）為有界函數，利用Ortega給出的扭轉定理證明了方程的Lagrange穩定性；當擾動項φ（x）為無界函數時有相同結論［10］。注意到都沒有考慮擾動項帶有時間周期勢的情況。

2012 年，Jiao、Piao和 Wang［11］研究了較為一般的Duffing方程

利用Moser小扭轉定理證明了方程的Lagrange穩定性，但文中對G（x，t），p（t）的光滑性要求較高。另外，文獻［12-14］等研究了擾動項滿足其它條件的Duffing方程的Lagrange穩定性。

受上述文獻啟發，本文考慮擾動項依賴于時間變量t的Duffing型方程

對變量θ求偏導，得

這里函數C（t）、S（t）的性質詳見文獻［9，17］。記＝，則Ψ（0）＝0。

規定c＜1和C＞1是2個通用的正常數。本文的結論是2個定理，如下：

則方程（6）具有Lagrange穩定性。

注1 由（7）（8）及L’Hospital法則易知，

（H4）e（t），p（t）∈C7（S1）；

則（6）具有Lagrange穩定性。

注2（定理的證明思路） 先利用典則變換，將（6）變換為一個可積的 Hamilton系統，其次根據Ortega［15－16］給出的扭轉定理，得到任意大的不變曲線存在，不變曲線微分同胚于（x，x′）平面上圍繞原點的圓環，并將（6）的解曲線限制在它的內部，從而保證了（6）的所有解是有界的，即（6）具有Lagrange穩定性。

1 預備知識

對于本節中所有引理，均假設條件（H1），（H2）成立。顯然，當（H1），（H2）成立時，（H4），（H5）一定成立。

方程（6）等價于下面的非自治Hamilton系統：

其中

引理1 對 任 意 的 （x0，y0）∈ R2，t0∈ R，非 自 治Hamilton系統（12）在整個t-軸上存在滿足z（t0）＝（x0，y0）的解z（t）＝（x（t；t0，x0，y0），y（t；t0，x0，y0））。證明 由于φ（x）是有界的，e（t），p（t）是2π周期的光滑函數，所以存在常數M＞0，使得

利用微分基本不等式，得

根據不等式及F（t）的定義知，

所以，系 統 （12）的解z（t）＝（x（t；t0，x0，y0），y（t；t0，x0，y0））在整個t-軸上存在。

利用變換（r，θ） （x，y）：

注3 類似于文獻［5］中的結論，有

注4 （i）容易驗證

（ii）假設

則函數φ（r）是有界的，并且

2 典則變換

本節給出Hamilton系統（14）的典則變換。根據隱函數定理，存在函數R＝R（h，t，θ），使得

因此，（14）可以轉化為：

再由（15）和（24）得，R滿足（20）。根據注3（ⅳ）得，Hamilton函數為：

令e1（t）＝e（t）－，則，從 而Hamilton函數為：

引理2 存在典則變換Φ1：

其中U、V關于θ是2π周期函數。在此變換下，r（h，t，θ）變換為：

新的擾動項滿足：

證明 假設變換Φ1為：

其中生成函數S1＝S1（μ，t，θ）待定。通過變換Φ1，相應的Hamilton函數為：

令ωtS1－ωe1（t）I1（ωμ，θ）＝0，則存在生成函數

且V（μ，ν，θ）＝μS1（μ，t，θ），U（μ，ν，θ）＝tS1（μ，t，θ），繼而得到新的Hamilton函數

根據注3及S1（μ，t，θ）的表達式可知，（32）成立。引理3 存在典則變換Φ2：

其中T（ρ，θ）關于θ是2π周期函數。在此變換下，Hamilton函數（31）變換為：

新的擾動項滿足：

證明 假設變換Φ2為：

生成函數S2＝S2（μ，τ，θ）在下面的證明中得到。通過變換Φ2，Hamilton函數（μ，ν，θ）變換為：

顯然生成函數S2存在，與τ無關，并且關于θ是2π周期函數。故存在ρ＝μ，T＝μS2，且

易知，

由的估計及（36），可得（34）成立，詳見文獻［9］。

3 定理的證明

本節利用Ortega給出的扭轉定理的變形證明2個定理。考慮典則變換后的Hamilton系統

3.1 定理1的證明

引入新變量（υ，）滿足，其中υ∈。顯然，系統（37）變換為：

相應的Hamilton函數為：

由（25）知，

將J（mδ－2υ）代入 Hamilton函數H（υ，τ，，δ），得

根據注4和引理3，當δ→0＋時，得

新的Hamilton函數H（υ，τ，，δ）代入系統（38），得

在初始條件（υ（0，υ0，τ0），τ（0，υ0，τ0））＝（υ0，τ0）下，系統（40）存在解（υ（，υ0，τ0），τ（，υ0，τ0）），可假設為：

因此，系統（40）的Poincare映射P1為：

對（41）式兩端求導得，

其中：F1（，υ0，τ0），F2（，υ0，τ0）＝O5（1）［17］，且滿足

由（42）直接計算知，

故Poincare映射P1的表達式為：

其中

但標準Moser扭轉定理不適用于此種Poincare映射。對于此難點參考Ortega［15］給出的Moser小扭轉定理的推廣，運用它證明Poincare映射P存在不變曲線，這就保證了系統具有Lagrange穩定性。下面證明P1滿足文獻［15］扭轉定理的條件。

其中

3.2 定理2的證明

在新的作用和角變量（γ，τ）下，系統（37）變換為：

相應的Hamilton函數為：

由（26）知，

將J（ωδ－2γ）代入 Hamilton函數H（γ，τ，θ，δ），得

易證當δ→0＋時，

假設（46）的解（γ（θ，γ0，τ0），τ（θ，γ0，τ0））為：

記（4.11）的Poincare映射P2為：

類似與3.1節內容，Poincare映射P2為：

其中

容易驗證Poincare映射P2滿足文獻［16］中Ortega給出的扭轉定理的條件，所以Poincare映射存在不變曲線，這保證了系統具有Lagrange穩定性。

［1］Littlewood J.Unbounded solutions of an equation of¨y＋g（y）＝p（t）withp（t）periodic and bounded andg（y）/y→∞asy→±∞［J］.Journal of London Mathematical Society Lond Math Soc，1966，41：497-507.

［2］You J.Boundedness for solutions of superlinear Duffing’s equations via twist curves theorems［J］.Science in China A，1992，35：399-412.

［3］Levi M.Quasiperiodic motions in superquadratic time-periodic potentials［J］.Commhnication in Mathematical Physics，1991，143（1）：43-83.

［4］Kupper T，You J.Existence of quasiperiodic solutions and Littlewood’s boundedness problem of Duffing equations with subquadratic potentials［J］.Nonlinear Analysis，TAM，1999，35：549-559.

［5］Liu B.Boundedness in nonlinear oscillations at resonance ［J］.Journal of London Mathematical Society，Differential Equations，1999，153：142-174.

［6］Ortega R.Asymmetric oscillators and twist mappings［J］.J London Math Soc，1996，53：325-342.

［7］Liu B.Boundedness in asymmetric oscillations ［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1999，231：355-373.

［8］Fabry C.Behavior of forced asymmetric oscillators at Resonance［J］.Electronic Journal of Differential Equations，2000，74：1-15.

［9］Wang X.Invariant Tori and Boundedness in Asymmetric Oscillations［J］.Acta Mathematica Sinica，English Series，2003，19：765-782.

［10］Yuan X.Quasiperiodic motions for asymmetric oscillators［J］.Acta Mathematica Sinica，English Series，2001，17：253-262.

［11］Jiao L，Piao D，Wang Y.Boundedness for the general semilinear Duffing equations via the twist theorem ［J］.Journal of Differential Equations，2012，252：91-113.

［12］Capietto A，Liu B.Quasiperiodic solutions of a forced asymmetric oscillator at resonance［J］.Nonlinear Analysis，TAM，2004，56：105-117.

［13］Fabry C，Mawhin J.Oscillations of a forced asymmetric oscillator at resonance［J］.Nonlinearity，2000，13：1-13.

［14］Fabry C，Mawhin J.Properities of solutions of some forced nonlinear oscillators at resonance［C］.Proceedings of International Conference of Nonlinear Analysis，Tianjin：Nankai University，2000.

［15］Ortega R.Boundedness in a piecewise linear oscillator and a variant of the small twist theorem［J］.Proceedings of London Mathematical Society，1999，79：381-413.

［16］Ortega R.Invariant curves of mappings with averaged small twist［J］.Advanced Nonlinear Studies，2001，1：14-39.

［17］Alons J M，Ortega R.Roots of unity and unbounded motions of an asymmetric oscillator［J］.Journal of Differential Equations，1998，143：201-220.