查漏補(bǔ)缺之三角函數(shù)

廖軍

1. 任意角的三角函數(shù)

（1）你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為α，半徑為r？搖的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式嗎？

作答：______________________

（2）你知道銳角與第一象限的角、終邊相同的角和相等的角的區(qū)別嗎？

作答：______________________

（3）怎樣快速判斷角等的象限？

作答：______________________

（1）l=αr；S=l·r=α·r2.

（2）銳角取值范圍：0，.

第一象限的角：2kπ，2kπ+（k∈Z）.

與α終邊相同的角：{ββ=2kπ+α，k∈Z}.

（3）一般地，要確定所在的象限，可以把周角等分成4n個(gè)區(qū)域，從x軸非負(fù)半軸起，按逆時(shí)針?lè)较虬堰@4n個(gè)區(qū)域依次循環(huán)標(biāo)上號(hào)碼1，2，3，4，則標(biāo)號(hào)是幾的區(qū)域就是α為第幾象限的角時(shí)的終邊落在的區(qū)域.

2. 三角變換

（1）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式，兩角和與差公式及二倍角公式你熟記了嗎？你會(huì)推導(dǎo)每個(gè)三角公式嗎？

作答：______________________

（2）在三角函數(shù)中，你知道1等于什么嗎？什么是輔助角公式？

作答：______________________

（3）你還記得三角化簡(jiǎn)的通性通法嗎？

作答：______________________

（1）誘導(dǎo)公式：“k·±α”化為α的三角函數(shù)時(shí)注意“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，其中“奇”“偶”分別指k取奇、偶數(shù).

（2）①“1”的代換：1=sin2α+cos2α=sec2α-tan2α=tanαcotα=tan=sin=cos0.

②輔助角公式：asinα+bcosα=sin（α+φ），其中tanφ=.

（3）三角化簡(jiǎn)的通性通法：切割化弦，異角化同角，復(fù)角化單角，異名化同名，高次化低次，無(wú)理化有理，和積互化，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化.

3. 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

（1）你已經(jīng)熟記了y=sinx，y=cosx，y=tanx的圖象和性質(zhì)了嗎？能由圖象寫出單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心、最小正周期、奇偶性嗎？

作答：______________________

（2）你知道平移公式嗎？

作答：______________________

（3）熟練掌握y=sinx的圖象變換了嗎？

作答：______________________

（4）你會(huì)用“五點(diǎn)法”作出y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖象嗎？會(huì)根據(jù)圖象求y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的解析式嗎？

作答：______________________

（1）①y=sinx；②y=cosx；③y=tanx.

增區(qū)間：①2kπ-，2kπ+（k∈Z）；②[2kπ-π，2kπ]（k∈Z）；③kπ-，kπ+（k∈Z）.

減區(qū)間：①2kπ+，2kπ+（k∈Z）；②[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）；③無(wú).

對(duì)稱軸：①x=kπ+（k∈Z）；②x=kπ（k∈Z）；③無(wú).

對(duì)稱中心：①（kπ，0）（k∈Z）；②kπ+，0（k∈Z）；③，0（k∈Z）.

最小正周期：①T=2π；②T=2π；③T=π.

奇偶性：①奇函數(shù)；②偶函數(shù)；③奇函數(shù).

（2）平移公式：①點(diǎn)P（x，y）P ′（x′，y′），則x′=x+h，y′=y+k.②曲線f（x，y）=0沿向量a=（h，k）平移后的方程為f（x-h，y-k）=0.

（3）y=sinx經(jīng)過(guò)圖象變換得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）.

相位變換：φ>0（<0）向左（右）平移φ個(gè)單位. 周期變換：縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍. 振幅變換：橫坐標(biāo)不變，而縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍. 當(dāng)變換順序改變后，即先周期變換，后相位變換時(shí)，平移量為個(gè)單位.

（4）①用“五點(diǎn)法”作y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖象時(shí)，將ωx+φ看做整體，取0，，π，，2π求相應(yīng)的x值及對(duì)應(yīng)的y值，再描點(diǎn)作圖. ②給出圖象求y=Asin（ωx+φ）的解析式的難點(diǎn)在于ω，φ的確定，本質(zhì)為待定系數(shù)法，基本方法是：尋找特殊點(diǎn)（平衡點(diǎn)、最值點(diǎn)）代入解析式；圖象變換法，即考查已知圖象可由哪個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)變換得到，通常可由平衡點(diǎn)或最值點(diǎn)確定周期T，進(jìn)而確定ω，確定φ時(shí)要用某一點(diǎn)的坐標(biāo)代入.

4. 三角函數(shù)的最值（值域）

如何求三角函數(shù)的最值（值域）？

作答：______________________

過(guò)去求函數(shù)的最值（值域）的方法，如基本不等式法、單調(diào)性法、判別式法等還是適用的. 此外，還可以用如下方法來(lái)求值域：利用輔助角公式把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)；將所給的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再利用有界性求值域，如y=asin2x+bcosx+c可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosx的二次函數(shù)，注意cosx本身的取值范圍.對(duì)于y=asinx+bcosx型的函數(shù)，解決的思路是將其化為y=·sin（x+φ）的形式，其中tanφ=；對(duì)于y=或y=型，利用反解法，用y去表示sinx或cosx，結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的有界性求值域；對(duì)于y=型，思路一樣，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為sin（x+φ）=f（y）的形式，利用其有界性求值域.endprint

1. 任意角的三角函數(shù)

（1）你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為α，半徑為r？搖的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式嗎？

作答：______________________

（2）你知道銳角與第一象限的角、終邊相同的角和相等的角的區(qū)別嗎？

作答：______________________

（3）怎樣快速判斷角等的象限？

作答：______________________

（1）l=αr；S=l·r=α·r2.

（2）銳角取值范圍：0，.

第一象限的角：2kπ，2kπ+（k∈Z）.

與α終邊相同的角：{ββ=2kπ+α，k∈Z}.

（3）一般地，要確定所在的象限，可以把周角等分成4n個(gè)區(qū)域，從x軸非負(fù)半軸起，按逆時(shí)針?lè)较虬堰@4n個(gè)區(qū)域依次循環(huán)標(biāo)上號(hào)碼1，2，3，4，則標(biāo)號(hào)是幾的區(qū)域就是α為第幾象限的角時(shí)的終邊落在的區(qū)域.

2. 三角變換

（1）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式，兩角和與差公式及二倍角公式你熟記了嗎？你會(huì)推導(dǎo)每個(gè)三角公式嗎？

作答：______________________

（2）在三角函數(shù)中，你知道1等于什么嗎？什么是輔助角公式？

作答：______________________

（3）你還記得三角化簡(jiǎn)的通性通法嗎？

作答：______________________

（1）誘導(dǎo)公式：“k·±α”化為α的三角函數(shù)時(shí)注意“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，其中“奇”“偶”分別指k取奇、偶數(shù).

（2）①“1”的代換：1=sin2α+cos2α=sec2α-tan2α=tanαcotα=tan=sin=cos0.

②輔助角公式：asinα+bcosα=sin（α+φ），其中tanφ=.

（3）三角化簡(jiǎn)的通性通法：切割化弦，異角化同角，復(fù)角化單角，異名化同名，高次化低次，無(wú)理化有理，和積互化，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化.

3. 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

（1）你已經(jīng)熟記了y=sinx，y=cosx，y=tanx的圖象和性質(zhì)了嗎？能由圖象寫出單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心、最小正周期、奇偶性嗎？

作答：______________________

（2）你知道平移公式嗎？

作答：______________________

（3）熟練掌握y=sinx的圖象變換了嗎？

作答：______________________

（4）你會(huì)用“五點(diǎn)法”作出y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖象嗎？會(huì)根據(jù)圖象求y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的解析式嗎？

作答：______________________

（1）①y=sinx；②y=cosx；③y=tanx.

增區(qū)間：①2kπ-，2kπ+（k∈Z）；②[2kπ-π，2kπ]（k∈Z）；③kπ-，kπ+（k∈Z）.

減區(qū)間：①2kπ+，2kπ+（k∈Z）；②[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）；③無(wú).

對(duì)稱軸：①x=kπ+（k∈Z）；②x=kπ（k∈Z）；③無(wú).

對(duì)稱中心：①（kπ，0）（k∈Z）；②kπ+，0（k∈Z）；③，0（k∈Z）.

最小正周期：①T=2π；②T=2π；③T=π.

奇偶性：①奇函數(shù)；②偶函數(shù)；③奇函數(shù).

（2）平移公式：①點(diǎn)P（x，y）P ′（x′，y′），則x′=x+h，y′=y+k.②曲線f（x，y）=0沿向量a=（h，k）平移后的方程為f（x-h，y-k）=0.

（3）y=sinx經(jīng)過(guò)圖象變換得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）.

相位變換：φ>0（<0）向左（右）平移φ個(gè)單位. 周期變換：縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍. 振幅變換：橫坐標(biāo)不變，而縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍. 當(dāng)變換順序改變后，即先周期變換，后相位變換時(shí)，平移量為個(gè)單位.

（4）①用“五點(diǎn)法”作y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖象時(shí)，將ωx+φ看做整體，取0，，π，，2π求相應(yīng)的x值及對(duì)應(yīng)的y值，再描點(diǎn)作圖. ②給出圖象求y=Asin（ωx+φ）的解析式的難點(diǎn)在于ω，φ的確定，本質(zhì)為待定系數(shù)法，基本方法是：尋找特殊點(diǎn)（平衡點(diǎn)、最值點(diǎn)）代入解析式；圖象變換法，即考查已知圖象可由哪個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)變換得到，通常可由平衡點(diǎn)或最值點(diǎn)確定周期T，進(jìn)而確定ω，確定φ時(shí)要用某一點(diǎn)的坐標(biāo)代入.

4. 三角函數(shù)的最值（值域）

如何求三角函數(shù)的最值（值域）？

作答：______________________

過(guò)去求函數(shù)的最值（值域）的方法，如基本不等式法、單調(diào)性法、判別式法等還是適用的. 此外，還可以用如下方法來(lái)求值域：利用輔助角公式把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)；將所給的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再利用有界性求值域，如y=asin2x+bcosx+c可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosx的二次函數(shù)，注意cosx本身的取值范圍.對(duì)于y=asinx+bcosx型的函數(shù)，解決的思路是將其化為y=·sin（x+φ）的形式，其中tanφ=；對(duì)于y=或y=型，利用反解法，用y去表示sinx或cosx，結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的有界性求值域；對(duì)于y=型，思路一樣，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為sin（x+φ）=f（y）的形式，利用其有界性求值域.endprint

1. 任意角的三角函數(shù)

（1）你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為α，半徑為r？搖的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式嗎？

作答：______________________

（2）你知道銳角與第一象限的角、終邊相同的角和相等的角的區(qū)別嗎？

作答：______________________

（3）怎樣快速判斷角等的象限？

作答：______________________

（1）l=αr；S=l·r=α·r2.

（2）銳角取值范圍：0，.

第一象限的角：2kπ，2kπ+（k∈Z）.

與α終邊相同的角：{ββ=2kπ+α，k∈Z}.

（3）一般地，要確定所在的象限，可以把周角等分成4n個(gè)區(qū)域，從x軸非負(fù)半軸起，按逆時(shí)針?lè)较虬堰@4n個(gè)區(qū)域依次循環(huán)標(biāo)上號(hào)碼1，2，3，4，則標(biāo)號(hào)是幾的區(qū)域就是α為第幾象限的角時(shí)的終邊落在的區(qū)域.

2. 三角變換

（1）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式，兩角和與差公式及二倍角公式你熟記了嗎？你會(huì)推導(dǎo)每個(gè)三角公式嗎？

作答：______________________

（2）在三角函數(shù)中，你知道1等于什么嗎？什么是輔助角公式？

作答：______________________

（3）你還記得三角化簡(jiǎn)的通性通法嗎？

作答：______________________

（1）誘導(dǎo)公式：“k·±α”化為α的三角函數(shù)時(shí)注意“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，其中“奇”“偶”分別指k取奇、偶數(shù).

（2）①“1”的代換：1=sin2α+cos2α=sec2α-tan2α=tanαcotα=tan=sin=cos0.

②輔助角公式：asinα+bcosα=sin（α+φ），其中tanφ=.

（3）三角化簡(jiǎn)的通性通法：切割化弦，異角化同角，復(fù)角化單角，異名化同名，高次化低次，無(wú)理化有理，和積互化，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化.

3. 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

（1）你已經(jīng)熟記了y=sinx，y=cosx，y=tanx的圖象和性質(zhì)了嗎？能由圖象寫出單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心、最小正周期、奇偶性嗎？

作答：______________________

（2）你知道平移公式嗎？

作答：______________________

（3）熟練掌握y=sinx的圖象變換了嗎？

作答：______________________

（4）你會(huì)用“五點(diǎn)法”作出y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖象嗎？會(huì)根據(jù)圖象求y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的解析式嗎？

作答：______________________

（1）①y=sinx；②y=cosx；③y=tanx.

增區(qū)間：①2kπ-，2kπ+（k∈Z）；②[2kπ-π，2kπ]（k∈Z）；③kπ-，kπ+（k∈Z）.

減區(qū)間：①2kπ+，2kπ+（k∈Z）；②[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）；③無(wú).

對(duì)稱軸：①x=kπ+（k∈Z）；②x=kπ（k∈Z）；③無(wú).

對(duì)稱中心：①（kπ，0）（k∈Z）；②kπ+，0（k∈Z）；③，0（k∈Z）.

最小正周期：①T=2π；②T=2π；③T=π.

奇偶性：①奇函數(shù)；②偶函數(shù)；③奇函數(shù).

（2）平移公式：①點(diǎn)P（x，y）P ′（x′，y′），則x′=x+h，y′=y+k.②曲線f（x，y）=0沿向量a=（h，k）平移后的方程為f（x-h，y-k）=0.

（3）y=sinx經(jīng)過(guò)圖象變換得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）.

相位變換：φ>0（<0）向左（右）平移φ個(gè)單位. 周期變換：縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍. 振幅變換：橫坐標(biāo)不變，而縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍. 當(dāng)變換順序改變后，即先周期變換，后相位變換時(shí)，平移量為個(gè)單位.

（4）①用“五點(diǎn)法”作y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖象時(shí)，將ωx+φ看做整體，取0，，π，，2π求相應(yīng)的x值及對(duì)應(yīng)的y值，再描點(diǎn)作圖. ②給出圖象求y=Asin（ωx+φ）的解析式的難點(diǎn)在于ω，φ的確定，本質(zhì)為待定系數(shù)法，基本方法是：尋找特殊點(diǎn)（平衡點(diǎn)、最值點(diǎn)）代入解析式；圖象變換法，即考查已知圖象可由哪個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)變換得到，通常可由平衡點(diǎn)或最值點(diǎn)確定周期T，進(jìn)而確定ω，確定φ時(shí)要用某一點(diǎn)的坐標(biāo)代入.

4. 三角函數(shù)的最值（值域）

如何求三角函數(shù)的最值（值域）？

作答：______________________

過(guò)去求函數(shù)的最值（值域）的方法，如基本不等式法、單調(diào)性法、判別式法等還是適用的. 此外，還可以用如下方法來(lái)求值域：利用輔助角公式把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)；將所給的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再利用有界性求值域，如y=asin2x+bcosx+c可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosx的二次函數(shù)，注意cosx本身的取值范圍.對(duì)于y=asinx+bcosx型的函數(shù)，解決的思路是將其化為y=·sin（x+φ）的形式，其中tanφ=；對(duì)于y=或y=型，利用反解法，用y去表示sinx或cosx，結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的有界性求值域；對(duì)于y=型，思路一樣，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為sin（x+φ）=f（y）的形式，利用其有界性求值域.endprint