查漏補(bǔ)缺之平面向量、解三角形
2014-12-03 19:05:14童殷
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·初中版 2014年10期
童殷
1. 平面向量的基本概念
（1）你能說(shuō)出與零向量有關(guān)的一些結(jié)論嗎？
作答：______________________
（2）你還記得向量a的單位向量的定義嗎？非零向量a的單位向量如何表示？
作答：______________________
（3）你還記得相等向量嗎？
作答：______________________
（4）你知道平行向量和共線向量的區(qū)別嗎？
作答：______________________
（1）0的方向是任意的；a=0？圳a+（-a）=0；以正n（n≥3，n∈N）邊形的中心為始點(diǎn)、各頂點(diǎn)為終點(diǎn)的n個(gè)向量的和為零向量；0與任一向量平行（共線）.
（2）與非零向量a同方向且長(zhǎng)度為1的向量；非零向量a的單位向量是.
（3）a=b且a，b同向？圳a=b.
（4）當(dāng)向量可自由平移后，平行向量為共線向量.
2. 平面向量的線性運(yùn)算
（1）你記得向量的加法法則與減法法則嗎？
作答：______________________
（2）你記得向量與實(shí)數(shù)λ相乘后的幾何意義嗎？
（1）向量的加法法則，三角形法則：+=；
平行四邊形法則：平行四邊形ABCD中，+=；
多邊形法則：++…+=.
向量的減法法則，-=.
（2）當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a方向相反；當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0.
3. 平面向量的基本定理
（1）平面向量的基本定理和共線定理你熟記了嗎？
作答：______________________
（2）你知道平面向量的基本定理和共線定理的用途嗎？
作答：______________________
（1）①平面向量的基本定理：e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，其中e1，e2是一組基底；
②共線定理：如果b≠0，則a∥b？圳a=λb（λ∈R且唯一）.
（2）用途：
①判斷若干個(gè)向量是否共線；
②把平面內(nèi)的任一向量用平面內(nèi)的一組基底表示；
③求參數(shù)的取值.
4. 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
（1）你記得平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算嗎？
作答：______________________
（2）你知道平面向量平行（共線）的坐標(biāo)表示嗎？
作答：______________________
（1）若a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a±b=（x1±x2，y1±y2）；若A（x1，y1），B（x2，y2），則=（x2-x1，y2-y1）；若a=（x，y），λ∈R，則λa=（λx，λy）.
（2）設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2）（b≠0），則a∥b？圳x1y2-x2y1=0.
5. 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用
設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2）是兩個(gè)非零向量，夾角為θ（或〈a，b〉）.
（1）兩個(gè)非零向量的夾角的定義及其取值范圍你還記得嗎？它們的數(shù)量積是如何定義的？
作答：______________________
（2）一個(gè)向量在另外一個(gè)向量方向上的投影指的是什么？其正負(fù)值如何確定？
作答：______________________
（3）對(duì)于向量的應(yīng)用，你記得哪些？
作答：______________________
（1）兩個(gè)非零向量，的夾角是∠AOB，其取值范圍是[0，π]；②兩個(gè)非零向量的數(shù)量積，向量式：a·b？圳a·bcosθ；坐標(biāo)式：a·b=x1x2+y1y2.
（2）b在a方向上的投影為b· cosθ，其正負(fù)取決于兩向量的夾角. 當(dāng)0≤θ<時(shí)，它是正值；當(dāng)<θ≤π時(shí)，它是負(fù)值.
（3）證明平行問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用向量平行（或共線）的充要條件：
a∥b？圳a=λb？圳x1y2-x2y1=0（b≠0）；
證明垂直問(wèn)題，常用向量垂直的充要條件：
a⊥b？圳a·b=0？圳x1x2+y1y2=0；
求夾角或判斷夾角問(wèn)題，常利用夾角公式：
cosθ==，由此可得a·b>0？圳0≤θ<；a·b<0？圳<θ≤π.
求線段的長(zhǎng)度，常用向量的線性運(yùn)算，向量的模a==或AB==.
6. 正弦、余弦定理及其應(yīng)用
（1）正、余弦定理的各種表達(dá)形式你還記得嗎？如何實(shí)現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)化來(lái)解斜三角形？
作答：______________________
（2）你知道三角形的面積公式嗎？
作答：______________________
（1）正弦定理：===2R？圳a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA？圯cosA=.
（2）S△ABC=absinC==（a+b+c）r，其中R為三角形外接圓半徑，r為三角形內(nèi)切圓半徑.
重要結(jié)論：
（1）a+b2+a-b2=2（a2+b2）；
（2）在△ABC中，O是△ABC的重心？圳++=0，O，.endprint
1. 平面向量的基本概念
（1）你能說(shuō)出與零向量有關(guān)的一些結(jié)論嗎？
作答：______________________
（2）你還記得向量a的單位向量的定義嗎？非零向量a的單位向量如何表示？
作答：______________________
（3）你還記得相等向量嗎？
作答：______________________
（4）你知道平行向量和共線向量的區(qū)別嗎？
作答：______________________
（1）0的方向是任意的；a=0？圳a+（-a）=0；以正n（n≥3，n∈N）邊形的中心為始點(diǎn)、各頂點(diǎn)為終點(diǎn)的n個(gè)向量的和為零向量；0與任一向量平行（共線）.
（2）與非零向量a同方向且長(zhǎng)度為1的向量；非零向量a的單位向量是.
（3）a=b且a，b同向？圳a=b.
（4）當(dāng)向量可自由平移后，平行向量為共線向量.
2. 平面向量的線性運(yùn)算
（1）你記得向量的加法法則與減法法則嗎？
作答：______________________
（2）你記得向量與實(shí)數(shù)λ相乘后的幾何意義嗎？
（1）向量的加法法則，三角形法則：+=；
平行四邊形法則：平行四邊形ABCD中，+=；
多邊形法則：++…+=.
向量的減法法則，-=.
（2）當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a方向相反；當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0.
3. 平面向量的基本定理
（1）平面向量的基本定理和共線定理你熟記了嗎？
作答：______________________
（2）你知道平面向量的基本定理和共線定理的用途嗎？
作答：______________________
（1）①平面向量的基本定理：e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，其中e1，e2是一組基底；
②共線定理：如果b≠0，則a∥b？圳a=λb（λ∈R且唯一）.
（2）用途：
①判斷若干個(gè)向量是否共線；
②把平面內(nèi)的任一向量用平面內(nèi)的一組基底表示；
③求參數(shù)的取值.
4. 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
（1）你記得平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算嗎？
作答：______________________
（2）你知道平面向量平行（共線）的坐標(biāo)表示嗎？
作答：______________________
（1）若a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a±b=（x1±x2，y1±y2）；若A（x1，y1），B（x2，y2），則=（x2-x1，y2-y1）；若a=（x，y），λ∈R，則λa=（λx，λy）.
（2）設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2）（b≠0），則a∥b？圳x1y2-x2y1=0.
5. 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用
設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2）是兩個(gè)非零向量，夾角為θ（或〈a，b〉）.
（1）兩個(gè)非零向量的夾角的定義及其取值范圍你還記得嗎？它們的數(shù)量積是如何定義的？
作答：______________________
（2）一個(gè)向量在另外一個(gè)向量方向上的投影指的是什么？其正負(fù)值如何確定？
作答：______________________
（3）對(duì)于向量的應(yīng)用，你記得哪些？
作答：______________________
（1）兩個(gè)非零向量，的夾角是∠AOB，其取值范圍是[0，π]；②兩個(gè)非零向量的數(shù)量積，向量式：a·b？圳a·bcosθ；坐標(biāo)式：a·b=x1x2+y1y2.
（2）b在a方向上的投影為b· cosθ，其正負(fù)取決于兩向量的夾角. 當(dāng)0≤θ<時(shí)，它是正值；當(dāng)<θ≤π時(shí)，它是負(fù)值.
（3）證明平行問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用向量平行（或共線）的充要條件：
a∥b？圳a=λb？圳x1y2-x2y1=0（b≠0）；
證明垂直問(wèn)題，常用向量垂直的充要條件：
a⊥b？圳a·b=0？圳x1x2+y1y2=0；
求夾角或判斷夾角問(wèn)題，常利用夾角公式：
cosθ==，由此可得a·b>0？圳0≤θ<；a·b<0？圳<θ≤π.
求線段的長(zhǎng)度，常用向量的線性運(yùn)算，向量的模a==或AB==.
6. 正弦、余弦定理及其應(yīng)用
（1）正、余弦定理的各種表達(dá)形式你還記得嗎？如何實(shí)現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)化來(lái)解斜三角形？
作答：______________________
（2）你知道三角形的面積公式嗎？
作答：______________________
（1）正弦定理：===2R？圳a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA？圯cosA=.
（2）S△ABC=absinC==（a+b+c）r，其中R為三角形外接圓半徑，r為三角形內(nèi)切圓半徑.
重要結(jié)論：
（1）a+b2+a-b2=2（a2+b2）；
（2）在△ABC中，O是△ABC的重心？圳++=0，O，.endprint
1. 平面向量的基本概念
（1）你能說(shuō)出與零向量有關(guān)的一些結(jié)論嗎？
作答：______________________
（2）你還記得向量a的單位向量的定義嗎？非零向量a的單位向量如何表示？
作答：______________________
（3）你還記得相等向量嗎？
作答：______________________
（4）你知道平行向量和共線向量的區(qū)別嗎？
作答：______________________
（1）0的方向是任意的；a=0？圳a+（-a）=0；以正n（n≥3，n∈N）邊形的中心為始點(diǎn)、各頂點(diǎn)為終點(diǎn)的n個(gè)向量的和為零向量；0與任一向量平行（共線）.
（2）與非零向量a同方向且長(zhǎng)度為1的向量；非零向量a的單位向量是.
（3）a=b且a，b同向？圳a=b.
（4）當(dāng)向量可自由平移后，平行向量為共線向量.
2. 平面向量的線性運(yùn)算
（1）你記得向量的加法法則與減法法則嗎？
作答：______________________
（2）你記得向量與實(shí)數(shù)λ相乘后的幾何意義嗎？
（1）向量的加法法則，三角形法則：+=；
平行四邊形法則：平行四邊形ABCD中，+=；
多邊形法則：++…+=.
向量的減法法則，-=.
（2）當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a方向相反；當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0.
3. 平面向量的基本定理
（1）平面向量的基本定理和共線定理你熟記了嗎？
作答：______________________
（2）你知道平面向量的基本定理和共線定理的用途嗎？
作答：______________________
（1）①平面向量的基本定理：e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，其中e1，e2是一組基底；
②共線定理：如果b≠0，則a∥b？圳a=λb（λ∈R且唯一）.
（2）用途：
①判斷若干個(gè)向量是否共線；
②把平面內(nèi)的任一向量用平面內(nèi)的一組基底表示；
③求參數(shù)的取值.
4. 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
（1）你記得平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算嗎？
作答：______________________
（2）你知道平面向量平行（共線）的坐標(biāo)表示嗎？
作答：______________________
（1）若a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a±b=（x1±x2，y1±y2）；若A（x1，y1），B（x2，y2），則=（x2-x1，y2-y1）；若a=（x，y），λ∈R，則λa=（λx，λy）.
（2）設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2）（b≠0），則a∥b？圳x1y2-x2y1=0.
5. 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用
設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2）是兩個(gè)非零向量，夾角為θ（或〈a，b〉）.
（1）兩個(gè)非零向量的夾角的定義及其取值范圍你還記得嗎？它們的數(shù)量積是如何定義的？
作答：______________________
（2）一個(gè)向量在另外一個(gè)向量方向上的投影指的是什么？其正負(fù)值如何確定？
作答：______________________
（3）對(duì)于向量的應(yīng)用，你記得哪些？
作答：______________________
（1）兩個(gè)非零向量，的夾角是∠AOB，其取值范圍是[0，π]；②兩個(gè)非零向量的數(shù)量積，向量式：a·b？圳a·bcosθ；坐標(biāo)式：a·b=x1x2+y1y2.
（2）b在a方向上的投影為b· cosθ，其正負(fù)取決于兩向量的夾角. 當(dāng)0≤θ<時(shí)，它是正值；當(dāng)<θ≤π時(shí)，它是負(fù)值.
（3）證明平行問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用向量平行（或共線）的充要條件：
a∥b？圳a=λb？圳x1y2-x2y1=0（b≠0）；
證明垂直問(wèn)題，常用向量垂直的充要條件：
a⊥b？圳a·b=0？圳x1x2+y1y2=0；
求夾角或判斷夾角問(wèn)題，常利用夾角公式：
cosθ==，由此可得a·b>0？圳0≤θ<；a·b<0？圳<θ≤π.
求線段的長(zhǎng)度，常用向量的線性運(yùn)算，向量的模a==或AB==.
6. 正弦、余弦定理及其應(yīng)用
（1）正、余弦定理的各種表達(dá)形式你還記得嗎？如何實(shí)現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)化來(lái)解斜三角形？
作答：______________________
（2）你知道三角形的面積公式嗎？
作答：______________________
（1）正弦定理：===2R？圳a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA？圯cosA=.
（2）S△ABC=absinC==（a+b+c）r，其中R為三角形外接圓半徑，r為三角形內(nèi)切圓半徑.
重要結(jié)論：
（1）a+b2+a-b2=2（a2+b2）；
（2）在△ABC中，O是△ABC的重心？圳++=0，O，.endprint
