三角函數的圖象與性質

鄔堅耀

重點：掌握“五點法”畫三角函數的圖象及其逆向思維，能運用轉化思想，通過恒等變形、換元等方法熟練地求解三角函數的周期、單調區間、奇偶性、對稱性；熟練求解三角函數的值域；理解參數A，ω，φ對函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變化的影響以及掌握圖象變換.

難點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象的綜合變換；由函數y=Asin（ωx+φ）的圖象確定A，ω，φ的值或范圍. 前者一般先逆用誘導公式化為同名同號，再分解成若干個中間步驟，并注意變換順序；后者常常以“五點法”中的五個點作為突破口，從圖象的升降情況找準對應的五個點的位置，如何把多對一的問題轉化為一對一的問題，并恰當運用待定系數法是解題的關鍵.

解決三角函數的圖象與性質的相關問題，一般是把圖象或目標恒等式變形化為一個角的一種三角函數的形式：y=Asin（ωx+φ）+B，并注意角的范圍，然后化歸為y=Asinx+B的性質；要注意數形結合思想的應用.具體包括以下幾個方面：

（1）求三角函數的定義域實際上是構造簡單的三角不等式（組），常借助三角函數線或三角函數的圖象來求解.

（2）求三角函數的值域的方法有：①利用sinx和cosx的值域直接求；②把形如y=asinx+bcosx的三角函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式求值域；③利用sinx±cosx和sinxcosx的關系轉換成二次函數求值域.

（3）求y=Asin（ωx+φ）（ω≠0）的對稱軸，只需令ωx+φ=+kπ（k∈Z），求出x的值，寫成直線方程的形式即得對稱軸；求y=Asin（ωx+φ）（ω≠0）的對稱中心的橫坐標，只需令ωx+φ=kπ（k∈Z），求出x的值即為對稱中心的橫坐標.

（4）三角函數單調區間的確定，一般先將函數式化為y=Asin（ωx+φ）+B的形式，再將ωx+φ看做一個整體，代入y=sint的相應單調區間求解.

（5）求三角函數式的最小正周期時，一般地，先經過恒等變形變成y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ），y=Atan（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求解即可.

（6）作函數y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖象的方法主要是五點作圖法（簡稱“五點法”）和圖象變換法. 用五點作圖法作函數y=Asin（ωx+φ）的簡圖，主要是通過變量代換，設z=ωx+φ，由z取0，，π，π，2π來求出相應的x，通過列表，計算得出五點的坐標，描點后得出圖象；用圖象變換法作函數y=Asin（ωx+φ）的簡圖，先將三角函數y=Asinx的圖象進行平移變換，再沿x軸方向進行伸縮變換，平移的量是φ個單位；而先沿x軸方向進行伸縮變換，再作平移變換，則平移的量是個單位.

（7）已知y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的部分圖象求其解析式時，從圖中易直接得A，再由ω=可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側圖象上升（或下降）的“零點”橫坐標x0，則令ωx0+φ=0（或ωx0+φ=π），即可求出φ.

例1 將函數y=sin（2x+φ）的圖象沿x軸向左平移個單位后，得到一個偶函數的圖象，則φ的一個可能取值為（ ）

A. B.

C. 0 D. -

思索 利用平移規律求得解析式，驗證得出答案.

破解 y=sin（2x+φ）的圖象向左平移個單位得y=sin2x++φ=sin2x++φ的圖象. 所以，當φ=π時，y=sin（2x+π）=-sin2x，為奇函數；當φ=時，y=sin2x+=cos2x，為偶函數；當φ=0時，y=sin2x+，為非奇非偶函數；當φ=-時，y=sin2x，為奇函數. 故選B.

點評 此題考查了三角函數的平移規律、誘導公式、三角函數的奇偶性等知識，屬于中檔題.

例2 已知定義在R上的函數f（x）滿足：當sinx≤cosx時， f（x）=cosx；當sinx>cosx時， f（x）=sinx.

給出以下結論：

①f（x）是周期函數；

②f（x）的最小值為-1；

③當且僅當x=2kπ（k∈Z）時， f（x）取得最小值；

④當且僅當2kπ-0；

⑤f（x）的圖象上相鄰兩個最低點的距離是2π.

其中正確的結論序號是______.

思索 該分段函數為周期函數，通過數形結合，化抽象為直觀，畫出函數f（x）在一個周期內的圖象，利用圖象的直觀性依次檢驗結論.

破解 易知函數f（x）是周期為2π的周期函數. 函數f（x）在一個周期內的圖象如圖1所示.

圖1

由圖象可得，函數f（x）的最小值為-，當且僅當x=2kπ+（k∈Z）時， f（x）取得最小值；當且僅當2kπ-0；f（x）的圖象上相鄰兩個最低點的距離是2π.所以正確的結論的序號是①④⑤.

點評 本題主要考查三角函數的圖象及分段函數的性質，同學們要多多注意三角函數與其他知識的融合.

例3 函數f（x）=Asin（ωx+φ）A>0，ω>0，φ<的一段圖象如圖2所示.

（1）求函數f（x）的解析式；

（2）求函數f（x）的單調減區間，并求出f（x）的最大值及取到最大值時x的集合.

圖2

思索 第（1）小題，已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的部分圖象求其解析式時，A比較容易由圖得出；令X=ωx+φ，現利用已知圖象中的兩個關鍵點的對應關系，運用待定系數法求ω和φ，也可由圖象間接得出周期，再由ω=即可求出ω；確定φ時，將最低點的坐標代入解析式即可.

破解 （1）解法一：令X=ωx+φ，由圖可得ω+φ=0，4πω+φ=π ？圯ω=，φ=-π， 所以f（x）=3sinx-.

解法二：由圖知A=3，T=4π-=π，所以T=5π，所以ω=，所以f（x）=3sinx+φ.因f（x）的圖象過點（4π，-3），故-3=3sin+φ，所以+φ=2kπ-，k∈Z，所以φ=2kπ-，k∈Z.因為φ<，所以φ=-，所以f（x）=3sinx-.？搖

（2）由2kπ+≤x-≤2kπ+，k∈Z，解得函數f（x）的單調減區間為5kπ+，5kπ+4π，k∈Z；函數f（x）的最大值為3，取到最大值時x的集合為xx=5kπ+，k∈Z.

點評：本題主要考查三角函數y=Asin（ωx+φ）+k的性質及解析式的求法，考查讀圖、識圖能力，數據處理能力和運算求解能力.

例4 已知函數f（x）=2sinωx，其中常數ω>0.

（1）若y=f（x）在-，上單調遞增，求ω的取值范圍；

（2）令ω=2，將函數y=f（x）的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數y=g（x）的圖象，區間[a，b]（a，b∈R且a

思索 第一小問是常考的復合三角函數的單調性逆用，只需要求出ωx的整體范圍，再與y=sinx的單調區間比較即可；第二小問需要結合函數的圖象，聯系周期和零點個數之間的關系.

破解 （1）因為ω>0，根據題意有-ω≥-，ω≤？圯0<ω≤.

（2）由已知， f（x）=2sin2x，g（x）=2sin2x++1=2sin2x++1，g（x）=0？圯sin2x+=-？圯x=kπ-或x=kπ-，k∈Z，即g（x）的零點相離間隔依次為和. 若y=g（x）在[a，b]上至少含有30個零點，則b-a的最小值為14×+15×=.

點評 此題體現了函數與方程的思想，具有一定的綜合性. 考查熟練運用基礎知識解決綜合問題的能力，需要同學們有較強的運算能力和思維能力.

1. 為了得到函數y=sin3x+cos3x的圖象，可以將函數y=cos3x的圖象（ ）

A. 向右平移個單位？搖

B. 向左平移個單位

C. 向右平移個單位？搖

D. 向左平移個單位

2. 已知函數f（x）=2sin（ωx+φ）對任意x都有f+x=f-x，則f 等于（ ）

A. 2或0？搖 B. -2或2？搖？搖？搖

C. 0？搖？搖？搖 D. -2或0

3. 已知函數f（x）=πsin，如果存在實數x1，x2，使得對任意的實數x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），則x1-x2的最小值是（ ）

A. 8π B. 4π C. 2π D. π

4. 已知函數f（x）=a2cos2+sinx+b.

（1）若a=-1，求函數f（x）的單調增區間；

（2）若x∈[0，π]時，函數f（x）的值域是[5，8]，求a，b的值.

5. 已知函數f（x）=sin2ωx+2·sinωx·cosωx-cos2ωx+λ（x∈R）的圖象關于直線x=π對稱，其中ω，λ為常數，且ω∈，1.

（1）求函數f（x）的最小正周期；

（2）若函數y=f（x）的圖象經過點，0，求函數f（x）的值域.

參考答案

1. C 2. B 3. B？搖

4. f（x）=a（1+cosx+sinx）+b=asinx++a+b.

（1）當a=-1時，函數f（x）=-·sinx++b-1，由2kπ+≤x+≤2kπ+（k∈Z），得2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），所以f（x）的單調增區間為2kπ+，2kπ+（k∈Z）.

（2）因為0≤x≤π，所以≤x+≤，所以-≤sinx+≤1，由題意知a≠0.當a>0時，可得a+a+b=8，b=5，解得a=3-3，b=5；當a<0時，可得b=8，a+a+b=5，解得a=3-3，b=8.

綜上所述，a=3-3，b=5或a=3-3，b=8.

6. （1）由已知f（x）=sin2ωx-cos2ωx+2sinωx·cosωx+λ=-cos2ωx+sin2ωx+λ=2sin2ωx-+λ. 由直線x=π是y=f（x）圖象的一條對稱軸，可得sin2ωπ-=±1，所以2ωπ-=kπ+（k∈Z），即ω=+（k∈Z）.又ω∈，1，故ω=. 所以f（x）的最小正周期是.

（2）由已知，函數y=f（x）的圖象過點，0，得f=0，從而可得λ=-2sin×-=-2sin=

-，即λ=-. 故f（x）=2sinx--，所以函數f（x）的值域為-2-，2-.

破解 （1）解法一：令X=ωx+φ，由圖可得ω+φ=0，4πω+φ=π ？圯ω=，φ=-π， 所以f（x）=3sinx-.

解法二：由圖知A=3，T=4π-=π，所以T=5π，所以ω=，所以f（x）=3sinx+φ.因f（x）的圖象過點（4π，-3），故-3=3sin+φ，所以+φ=2kπ-，k∈Z，所以φ=2kπ-，k∈Z.因為φ<，所以φ=-，所以f（x）=3sinx-.？搖

（2）由2kπ+≤x-≤2kπ+，k∈Z，解得函數f（x）的單調減區間為5kπ+，5kπ+4π，k∈Z；函數f（x）的最大值為3，取到最大值時x的集合為xx=5kπ+，k∈Z.

點評：本題主要考查三角函數y=Asin（ωx+φ）+k的性質及解析式的求法，考查讀圖、識圖能力，數據處理能力和運算求解能力.

例4 已知函數f（x）=2sinωx，其中常數ω>0.

（1）若y=f（x）在-，上單調遞增，求ω的取值范圍；

（2）令ω=2，將函數y=f（x）的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數y=g（x）的圖象，區間[a，b]（a，b∈R且a

思索 第一小問是常考的復合三角函數的單調性逆用，只需要求出ωx的整體范圍，再與y=sinx的單調區間比較即可；第二小問需要結合函數的圖象，聯系周期和零點個數之間的關系.

破解 （1）因為ω>0，根據題意有-ω≥-，ω≤？圯0<ω≤.

（2）由已知， f（x）=2sin2x，g（x）=2sin2x++1=2sin2x++1，g（x）=0？圯sin2x+=-？圯x=kπ-或x=kπ-，k∈Z，即g（x）的零點相離間隔依次為和. 若y=g（x）在[a，b]上至少含有30個零點，則b-a的最小值為14×+15×=.

點評 此題體現了函數與方程的思想，具有一定的綜合性. 考查熟練運用基礎知識解決綜合問題的能力，需要同學們有較強的運算能力和思維能力.

1. 為了得到函數y=sin3x+cos3x的圖象，可以將函數y=cos3x的圖象（ ）

A. 向右平移個單位？搖

B. 向左平移個單位

C. 向右平移個單位？搖

D. 向左平移個單位

2. 已知函數f（x）=2sin（ωx+φ）對任意x都有f+x=f-x，則f 等于（ ）

A. 2或0？搖 B. -2或2？搖？搖？搖

C. 0？搖？搖？搖 D. -2或0

3. 已知函數f（x）=πsin，如果存在實數x1，x2，使得對任意的實數x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），則x1-x2的最小值是（ ）

A. 8π B. 4π C. 2π D. π

4. 已知函數f（x）=a2cos2+sinx+b.

（1）若a=-1，求函數f（x）的單調增區間；

（2）若x∈[0，π]時，函數f（x）的值域是[5，8]，求a，b的值.

5. 已知函數f（x）=sin2ωx+2·sinωx·cosωx-cos2ωx+λ（x∈R）的圖象關于直線x=π對稱，其中ω，λ為常數，且ω∈，1.

（1）求函數f（x）的最小正周期；

（2）若函數y=f（x）的圖象經過點，0，求函數f（x）的值域.

參考答案

1. C 2. B 3. B？搖

4. f（x）=a（1+cosx+sinx）+b=asinx++a+b.

（1）當a=-1時，函數f（x）=-·sinx++b-1，由2kπ+≤x+≤2kπ+（k∈Z），得2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），所以f（x）的單調增區間為2kπ+，2kπ+（k∈Z）.

（2）因為0≤x≤π，所以≤x+≤，所以-≤sinx+≤1，由題意知a≠0.當a>0時，可得a+a+b=8，b=5，解得a=3-3，b=5；當a<0時，可得b=8，a+a+b=5，解得a=3-3，b=8.

綜上所述，a=3-3，b=5或a=3-3，b=8.

6. （1）由已知f（x）=sin2ωx-cos2ωx+2sinωx·cosωx+λ=-cos2ωx+sin2ωx+λ=2sin2ωx-+λ. 由直線x=π是y=f（x）圖象的一條對稱軸，可得sin2ωπ-=±1，所以2ωπ-=kπ+（k∈Z），即ω=+（k∈Z）.又ω∈，1，故ω=. 所以f（x）的最小正周期是.

（2）由已知，函數y=f（x）的圖象過點，0，得f=0，從而可得λ=-2sin×-=-2sin=

-，即λ=-. 故f（x）=2sinx--，所以函數f（x）的值域為-2-，2-.

破解 （1）解法一：令X=ωx+φ，由圖可得ω+φ=0，4πω+φ=π ？圯ω=，φ=-π， 所以f（x）=3sinx-.

解法二：由圖知A=3，T=4π-=π，所以T=5π，所以ω=，所以f（x）=3sinx+φ.因f（x）的圖象過點（4π，-3），故-3=3sin+φ，所以+φ=2kπ-，k∈Z，所以φ=2kπ-，k∈Z.因為φ<，所以φ=-，所以f（x）=3sinx-.？搖

（2）由2kπ+≤x-≤2kπ+，k∈Z，解得函數f（x）的單調減區間為5kπ+，5kπ+4π，k∈Z；函數f（x）的最大值為3，取到最大值時x的集合為xx=5kπ+，k∈Z.

點評：本題主要考查三角函數y=Asin（ωx+φ）+k的性質及解析式的求法，考查讀圖、識圖能力，數據處理能力和運算求解能力.

例4 已知函數f（x）=2sinωx，其中常數ω>0.

（1）若y=f（x）在-，上單調遞增，求ω的取值范圍；

（2）令ω=2，將函數y=f（x）的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數y=g（x）的圖象，區間[a，b]（a，b∈R且a

思索 第一小問是常考的復合三角函數的單調性逆用，只需要求出ωx的整體范圍，再與y=sinx的單調區間比較即可；第二小問需要結合函數的圖象，聯系周期和零點個數之間的關系.

破解 （1）因為ω>0，根據題意有-ω≥-，ω≤？圯0<ω≤.

（2）由已知， f（x）=2sin2x，g（x）=2sin2x++1=2sin2x++1，g（x）=0？圯sin2x+=-？圯x=kπ-或x=kπ-，k∈Z，即g（x）的零點相離間隔依次為和. 若y=g（x）在[a，b]上至少含有30個零點，則b-a的最小值為14×+15×=.

點評 此題體現了函數與方程的思想，具有一定的綜合性. 考查熟練運用基礎知識解決綜合問題的能力，需要同學們有較強的運算能力和思維能力.

1. 為了得到函數y=sin3x+cos3x的圖象，可以將函數y=cos3x的圖象（ ）

A. 向右平移個單位？搖

B. 向左平移個單位

C. 向右平移個單位？搖

D. 向左平移個單位

2. 已知函數f（x）=2sin（ωx+φ）對任意x都有f+x=f-x，則f 等于（ ）

A. 2或0？搖 B. -2或2？搖？搖？搖

C. 0？搖？搖？搖 D. -2或0

3. 已知函數f（x）=πsin，如果存在實數x1，x2，使得對任意的實數x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），則x1-x2的最小值是（ ）

A. 8π B. 4π C. 2π D. π

4. 已知函數f（x）=a2cos2+sinx+b.

（1）若a=-1，求函數f（x）的單調增區間；

（2）若x∈[0，π]時，函數f（x）的值域是[5，8]，求a，b的值.

5. 已知函數f（x）=sin2ωx+2·sinωx·cosωx-cos2ωx+λ（x∈R）的圖象關于直線x=π對稱，其中ω，λ為常數，且ω∈，1.

（1）求函數f（x）的最小正周期；

（2）若函數y=f（x）的圖象經過點，0，求函數f（x）的值域.

參考答案

1. C 2. B 3. B？搖

4. f（x）=a（1+cosx+sinx）+b=asinx++a+b.

（1）當a=-1時，函數f（x）=-·sinx++b-1，由2kπ+≤x+≤2kπ+（k∈Z），得2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），所以f（x）的單調增區間為2kπ+，2kπ+（k∈Z）.

（2）因為0≤x≤π，所以≤x+≤，所以-≤sinx+≤1，由題意知a≠0.當a>0時，可得a+a+b=8，b=5，解得a=3-3，b=5；當a<0時，可得b=8，a+a+b=5，解得a=3-3，b=8.

綜上所述，a=3-3，b=5或a=3-3，b=8.

6. （1）由已知f（x）=sin2ωx-cos2ωx+2sinωx·cosωx+λ=-cos2ωx+sin2ωx+λ=2sin2ωx-+λ. 由直線x=π是y=f（x）圖象的一條對稱軸，可得sin2ωπ-=±1，所以2ωπ-=kπ+（k∈Z），即ω=+（k∈Z）.又ω∈，1，故ω=. 所以f（x）的最小正周期是.

（2）由已知，函數y=f（x）的圖象過點，0，得f=0，從而可得λ=-2sin×-=-2sin=

-，即λ=-. 故f（x）=2sinx--，所以函數f（x）的值域為-2-，2-.