正、余弦定理及其應用

夏志輝

重點：①正確理解正、余弦定理的概念，了解正、余弦定理之間的內在聯系，掌握公式的一些常用變形；②判斷三角形的形狀；③解斜三角形；④運用正、余弦定理解決一些實際問題以及與其他知識的滲透綜合.

難點：①解三角形時解的情況的討論；②正、余弦定理與三角恒等變換等知識相聯系的綜合問題.

1. 加強對正、余弦定理及三角形面積公式的記憶

正、余弦定理揭示了三角形中邊、角之間的內在聯系，是溝通三角形邊、角關系的橋梁，應正確理解兩個定理的內涵，熟悉它們的推論及常見變式，并能靈活應用.

（1）正弦定理：在△ABC中，===2R（R為△ABC的外接圓的半徑）.

由此可得變形：①a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；

②sinA=，sinB=，sinC=；

③a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC；

④==2R.

（2）余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA， b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.

由此可得變形：cosA=，cosB=，cosC=.

（3）三角形面積公式：S△=absinC=acsinB=bcsinA==（a+b+c）·r（r是三角形的內切圓的半徑），并由此計算R，r.

2. 運用正、余弦定理解三角形

（1）運用正、余弦定理可以實現邊與角的互化，從而把相應問題轉化為只有角關系的三角函數問題或只有邊關系的代數問題. 對正、余弦定理的特征（次數、元素個數等）的準確把握是選取公式的關鍵.

（2）解三角形就是已知三角形中的三個獨立元素（至少已知一邊）求出其他元素的過程. 三角形中的基本元素（邊和角）與非基本元素（如中線、高、角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑）之間的聯系要通過對有關的概念與公式（周長、面積、射影定理、勾股定理、內角和定理、全等關系、正弦定理、余弦定理等）的掌握來實現.

（3）要多角度（幾何作圖、三角函數定義、正弦定理、余弦定理、勾股定理等角度）去理解已知兩邊和其中一邊的對角解斜三角形時，有一解、兩解或無解三種情況，并會判斷哪些條件使得三角形有一解、兩解或無解. 如在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：

（4）解決三角形中的計算與證明問題，要注意以下幾點：

①三角形中常用的關系：sinA=sin（B+C），cosA=-cos（B+C），sin=cos，sin2A=-sin2（B+C），cos2A=cos2（B+C）.

②解決三角形中的問題，要從統一著手，或統一成角的關系，或統一成邊的關系，要視情況靈活運用.

a. 解三角形時，要注意解題的完整性，謹防失根.

b. 要熟記一些常見結論，如三內角成等差數列，則必有一個角為60°；若三內角的正弦值成等差數列，則三邊也成等差數列.

c. 對三角形中的不等式，要利用正、余弦的有界性進行適當“放縮”.

③已學過的一些結論：如邊角不等關系；全等關系；三角形的面積公式，等等. 在解三角形的過程中可能要用到.

④注意三角公式的靈活運用，主要是利用兩角和與兩角差的三角函數，二倍角的三角函數，誘導公式等進行三角函數變換.

⑤由正弦定理可推導出一些非常有用的結論，如在△ABC中，A>B？圳sinA>sinB.

例1 如圖1，在平面四邊形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=.

（1）求cos∠CAD的值；

（2）若已知cos∠BAD=-，sin∠CBA=，求BC的長.

圖1

思索 （1）已知△ACD的三條邊，利用∠CAD的余弦定理即可得到該角的余弦值；（2）利用（1）問得到的∠CAD的余弦值可求得該角的正弦值，再利用正、余弦之間的關系即可得∠BAD，而∠BAD與∠CAD之差即為∠BAC，此時利用正弦的和差角公式可得∠BAC的正弦值，最后在△ABC中運用正弦定理即可求出BC的長.

破解 （1）在△ACD中，由余弦定理可得cos∠CAD===，所以cos∠CAD=.

（2）因為∠BAD為四邊形的內角，所以sin∠BAD>0且sin∠CAD>0，則由正、余弦的關系可得sin∠BAD==，sin∠CAD==.

再由正弦的和差角公式可得sin∠BAC=sin（∠BAD-∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD-sin∠CAD· cos∠BAD=×-×-=+=.

最后由△ABC的正弦定理可得=？圯BC=×=3.

點評 （1）仔細分析角與角之間的聯系、式子的聯系，是利用兩角和與差的三角函數公式和誘導公式進行三角函數求值的關鍵，掌握公式的正用、逆用、變形用的運用方法，注意整體思想方法，不要亂用公式；（2）注意三角形內角和定理在減少角的形式個數中的轉化作用；（3）在求解時要根據已知條件合理地使用正、余弦定理.

例2 △ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.

（1）若a，b，c成等差數列，證明：sinA+sinC=2sin（A+C）；

（2）若a，b，c成等比數列，求cosB的最小值.

思索 （1）因為a，b，c成等差數列，所以a+c=2b，再由正弦定理得sinA+sinC=2sinB；（2）因為a，b，c成等比數列，所以b2=ac，由余弦定理得cosB==-，再由基本不等式求解.

破解 （1）因為a，b，c成等差數列，所以a+c=2b，再由正弦定理得sinA+sinC=2sinB. 因為sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C），所以sinA+sinC=2sin（A+C）.endprint

（2）因為a，b，c成等比數列，所以b2=ac，由余弦定理得cosB===-.

因為a2+c2≥2ac（當且僅當a=c時等號成立），所以-≥（當且僅當a=c時等號成立），即cosB≥，所以cosB的最小值為.

點評 （1）三角形中內角和為180°，這是首先要考慮的隱含條件，三角條件等式或恒等式的計算、證明，都應化繁為簡，實現角、函數名稱的統一；（2）本題第（2）小問的本質就是已知兩個式子b2=ac和cosB=，去找出a，c的直接關系式，用到了消元的思想.

例3 如圖2，某公司要在A，B兩地連線上的定點C處建造廣告牌CD，其中D為頂端，AC長35米，CB長80米. 設A，B在同一水平面上，從A和B看D的仰角分別為α，β.

圖2

（1）設計中CD是鉛垂方向，若要求α≥2β，問：CD的長至多為多少？（結果精確到0.01米）

（2）施工完成后， CD與鉛垂方向有偏差，現在實測得α=38.12°，β=18.45°，求CD的長.（結果精確到0.01米）

思索 （1）條件α≥2β可以轉化為tanα≥tan2β，即tanα≥，而tanα，tanβ可用CD的長表示出來，從而得到關于CD的不等式，解之可得所求結論；（2）根據已知條件，要求CD的長，可在△ACD或△BCD中運用余弦定理求得，由此要知道AD或BD的長，而AD或BD兩邊在△ABD中，可用正弦定理求得.

破解 （1）由題得，因為α≥2β，且0<2β≤α<，所以tanα≥tan2β，即≥，從而解得CD≤20，所以CD≈28.28米.

（2）由題得∠ADB=180°-38.12°-18.45°=123.43°，因為=，所以AD≈43.61米.因為CD2=352+AD2-2.35·AD·cos38.12°，所以CD≈26.93米.

點評 本題是正、余弦函數的實際運用問題，關鍵是將條件α≥2β轉化為tanα≥tan2β，再用長度表示出正切值，找到長度間的關系，合理運用定理解決.

1. 已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，2bcosC=2a-c.

（1）求B；

（2）若△ABC的面積為，求b的取值范圍.

2. 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若acos2+ccos2=b.

（1）求證：a，b，c成等差數列；

（2）若∠B=60°，b=4，求△ABC的面積.

3. 在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且2asinA=（2b-c）·sinB+（2c-b）sinC.

（1）求角A的大小；

（2）若sinB+sinC=，試判斷△ABC的形狀.

參考答案

1. （1）B=

（2）[2，+∞）

2. （1）acos2+ccos2=a·+c·=b，即a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b. 由正弦定理得sinA+sinAcosC+sinC+cosAsin C=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，所以sinA+sinC=2sinB. 由正弦定理得a+c=2b，故a，b，c成等差數列.

（2）由∠B=60°，b=4及余弦定理得42=a2+c2-2accos60°，所以（a+c）2-3ac=16.又由（1）知a+c=2b，代入上式得4b2-3ac=16，解得ac=16.所以可知△ABC的面積S=acsinB=ac·sin60°=4.

3. （1）A=60°.

（2）因為A+B+C=180°，所以B+C=180°-60°=120°.由sinB+sinC=，得sinB+sin（120°-B）=，所以sinB+sin120°cosB-cos120°sinB=.所以sinB+cosB=，即sin（B+30°）=1. 又因為0°

（2）因為a，b，c成等比數列，所以b2=ac，由余弦定理得cosB===-.

因為a2+c2≥2ac（當且僅當a=c時等號成立），所以-≥（當且僅當a=c時等號成立），即cosB≥，所以cosB的最小值為.

點評 （1）三角形中內角和為180°，這是首先要考慮的隱含條件，三角條件等式或恒等式的計算、證明，都應化繁為簡，實現角、函數名稱的統一；（2）本題第（2）小問的本質就是已知兩個式子b2=ac和cosB=，去找出a，c的直接關系式，用到了消元的思想.

例3 如圖2，某公司要在A，B兩地連線上的定點C處建造廣告牌CD，其中D為頂端，AC長35米，CB長80米. 設A，B在同一水平面上，從A和B看D的仰角分別為α，β.

圖2

（1）設計中CD是鉛垂方向，若要求α≥2β，問：CD的長至多為多少？（結果精確到0.01米）

（2）施工完成后， CD與鉛垂方向有偏差，現在實測得α=38.12°，β=18.45°，求CD的長.（結果精確到0.01米）

思索 （1）條件α≥2β可以轉化為tanα≥tan2β，即tanα≥，而tanα，tanβ可用CD的長表示出來，從而得到關于CD的不等式，解之可得所求結論；（2）根據已知條件，要求CD的長，可在△ACD或△BCD中運用余弦定理求得，由此要知道AD或BD的長，而AD或BD兩邊在△ABD中，可用正弦定理求得.

破解 （1）由題得，因為α≥2β，且0<2β≤α<，所以tanα≥tan2β，即≥，從而解得CD≤20，所以CD≈28.28米.

（2）由題得∠ADB=180°-38.12°-18.45°=123.43°，因為=，所以AD≈43.61米.因為CD2=352+AD2-2.35·AD·cos38.12°，所以CD≈26.93米.

點評 本題是正、余弦函數的實際運用問題，關鍵是將條件α≥2β轉化為tanα≥tan2β，再用長度表示出正切值，找到長度間的關系，合理運用定理解決.

1. 已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，2bcosC=2a-c.

（1）求B；

（2）若△ABC的面積為，求b的取值范圍.

2. 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若acos2+ccos2=b.

（1）求證：a，b，c成等差數列；

（2）若∠B=60°，b=4，求△ABC的面積.

3. 在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且2asinA=（2b-c）·sinB+（2c-b）sinC.

（1）求角A的大小；

（2）若sinB+sinC=，試判斷△ABC的形狀.

參考答案

1. （1）B=

（2）[2，+∞）

2. （1）acos2+ccos2=a·+c·=b，即a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b. 由正弦定理得sinA+sinAcosC+sinC+cosAsin C=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，所以sinA+sinC=2sinB. 由正弦定理得a+c=2b，故a，b，c成等差數列.

（2）由∠B=60°，b=4及余弦定理得42=a2+c2-2accos60°，所以（a+c）2-3ac=16.又由（1）知a+c=2b，代入上式得4b2-3ac=16，解得ac=16.所以可知△ABC的面積S=acsinB=ac·sin60°=4.

3. （1）A=60°.

（2）因為A+B+C=180°，所以B+C=180°-60°=120°.由sinB+sinC=，得sinB+sin（120°-B）=，所以sinB+sin120°cosB-cos120°sinB=.所以sinB+cosB=，即sin（B+30°）=1. 又因為0°

（2）因為a，b，c成等比數列，所以b2=ac，由余弦定理得cosB===-.

因為a2+c2≥2ac（當且僅當a=c時等號成立），所以-≥（當且僅當a=c時等號成立），即cosB≥，所以cosB的最小值為.

點評 （1）三角形中內角和為180°，這是首先要考慮的隱含條件，三角條件等式或恒等式的計算、證明，都應化繁為簡，實現角、函數名稱的統一；（2）本題第（2）小問的本質就是已知兩個式子b2=ac和cosB=，去找出a，c的直接關系式，用到了消元的思想.

例3 如圖2，某公司要在A，B兩地連線上的定點C處建造廣告牌CD，其中D為頂端，AC長35米，CB長80米. 設A，B在同一水平面上，從A和B看D的仰角分別為α，β.

圖2

（1）設計中CD是鉛垂方向，若要求α≥2β，問：CD的長至多為多少？（結果精確到0.01米）

（2）施工完成后， CD與鉛垂方向有偏差，現在實測得α=38.12°，β=18.45°，求CD的長.（結果精確到0.01米）

思索 （1）條件α≥2β可以轉化為tanα≥tan2β，即tanα≥，而tanα，tanβ可用CD的長表示出來，從而得到關于CD的不等式，解之可得所求結論；（2）根據已知條件，要求CD的長，可在△ACD或△BCD中運用余弦定理求得，由此要知道AD或BD的長，而AD或BD兩邊在△ABD中，可用正弦定理求得.

破解 （1）由題得，因為α≥2β，且0<2β≤α<，所以tanα≥tan2β，即≥，從而解得CD≤20，所以CD≈28.28米.

（2）由題得∠ADB=180°-38.12°-18.45°=123.43°，因為=，所以AD≈43.61米.因為CD2=352+AD2-2.35·AD·cos38.12°，所以CD≈26.93米.

點評 本題是正、余弦函數的實際運用問題，關鍵是將條件α≥2β轉化為tanα≥tan2β，再用長度表示出正切值，找到長度間的關系，合理運用定理解決.

1. 已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，2bcosC=2a-c.

（1）求B；

（2）若△ABC的面積為，求b的取值范圍.

2. 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若acos2+ccos2=b.

（1）求證：a，b，c成等差數列；

（2）若∠B=60°，b=4，求△ABC的面積.

3. 在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且2asinA=（2b-c）·sinB+（2c-b）sinC.

（1）求角A的大小；

（2）若sinB+sinC=，試判斷△ABC的形狀.

參考答案

1. （1）B=

（2）[2，+∞）

2. （1）acos2+ccos2=a·+c·=b，即a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b. 由正弦定理得sinA+sinAcosC+sinC+cosAsin C=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，所以sinA+sinC=2sinB. 由正弦定理得a+c=2b，故a，b，c成等差數列.

（2）由∠B=60°，b=4及余弦定理得42=a2+c2-2accos60°，所以（a+c）2-3ac=16.又由（1）知a+c=2b，代入上式得4b2-3ac=16，解得ac=16.所以可知△ABC的面積S=acsinB=ac·sin60°=4.

3. （1）A=60°.

（2）因為A+B+C=180°，所以B+C=180°-60°=120°.由sinB+sinC=，得sinB+sin（120°-B）=，所以sinB+sin120°cosB-cos120°sinB=.所以sinB+cosB=，即sin（B+30°）=1. 又因為0°