證明三角形角平分線定理的六法

李奇

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2014）20-282-01

定理：在ΔABC中，∠A的平分線AD交BC邊于點(diǎn)D，則： 。

證明：

一、構(gòu)造平行線法

如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AD交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，

∴ ∵ AD平分∠A ∴ ∠BAD=∠CAD

∵AD∥CE ∴ ∠E=∠BAD ∠ACE=∠CAD ∴ ∠E=∠ACE

∴AC=AE ∴

二、構(gòu)造相似三角形法

如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，

過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD于F，則BE∥CF，∴ΔBDE∽ΔCDF

∴ ∵ ∠BAD=∠CAD，∠AEB=∠AFC=90°

∴ΔAEB∽ΔAFC ∴ ∴

三、面積法

如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，

∵ ∠BAD=∠CAD ∴ DE=DF ∴

∴ 又∵ΔABD和ΔACD同高

∴ ∴

四、構(gòu)造圓法

如圖，作ΔABC的外接圓，延長(zhǎng)AD交圓于點(diǎn)E，

連接BE、CE，∵ ∠BAD=∠CAD ∴ BE=CE

∴∠EBD=∠BAE ∠AEB=∠BED ∴ ΔAEB∽ΔBED

∴ 同理ΔAEC∽ΔCED ∴

∴ ∴

五、應(yīng)用正弦定理

如圖，∵ ∠BAD=∠CAD ∴ sin ∠BAD=sin∠CAD

∵∠BDA+∠CDA=180° ∴ sin∠BDA=sin（180°-∠CDA）=sin∠CDA

在ΔABD中， （1）；在ΔACD中， （2）

（1）÷（2） ∴

六、解析法

如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=m，AC=n，∠BAD=∠CAD=

則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（mcos ，msin ），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ncos ，-nsin ）

設(shè)直線BC為： y=kx+b 則

解之得： b= -

∴ 直線BC為： y= x-- ∴ 點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ，0）

∴ = = = .