基于修正RNG k-ε模型的葉片泵非設計工況數值模擬

任 嘉，張 瑤，沈正帆

(中國艦船研究設計中心，湖北 武漢430064)

0 引 言

流體機械中的湍流是一種高度復雜的非穩態三維流動［1］。特別是對于非標準工況下流體機械的流場計算，由于流動狀態十分復雜，各種分離流、二次流、旋渦流使得用數值模擬手段預測其流場狀態更加困難。為準確模擬出非設計工況下通用流體機械的內流場，選擇合適的湍流模型，并對其進行相應修正以提高數值預測精度至關重要。已有很多實驗證明，RNG k-ε［2］模型能較好地模擬具有強曲率影響的湍流分離流動，是工程湍流計算中具有很好的應用前景且值得推廣的一種模式［3-5］。目前，對RNG k-ε 模型的修正主要集中在渦粘性系數Cμ上。

Leschziner和Rodi 認為，流線曲率對切應力和正應力進而對湍流耗散結構均有不可忽視的影響，而Cμ作為常數，反映不出這種變化，因而有必要對模型系數Cμ進行修正［6］。Masamichi 通過相關實驗也證實，對于平板邊界層、圓管內流和圓柱尾流，Cμ值的差別很大［7］。陳慶光結合模型系數Cμ的一種修正表達式和一種改進的近壁處理方法，將RNG k-ε 模式推廣應用于沖擊射流場的數值模擬，結果表明改進模型對滯止區附近的湍動能分布有較高的預測精度［8］。王少平考慮了附加曲率應變率對模型系數Cμ的影響，提出了一種新的兩方程湍流模型，將模型應用于后臺階湍流分離流動和180°強曲率彎道內的分離流動，均獲得了令人滿意的結果［6］。

本文通過對RNG k-ε 模型中的渦粘性系數Cμ進行修正，將其與流場湍流脈動動能和湍流耗散率的變化相關聯，得到了修正RNG k-ε 模型。為驗證修正模型的有效性，分別應用修正RNG 模型和原始RNG 模型，數值模擬了一葉片離心泵的內部流動，得到了其在全流量區間內的揚程、效率曲線及內部流場分布，通過比較改進前后RNG 湍流模型的數值計算結果，并與實驗結果進行對比，可以得出修正RNG 模型能更準確預測出非設計工況下葉片泵的流場特性。

1 控制方程及湍流模型

1.1 控制方程

基于RNG k-ε 湍流模型的穩態、三維不可壓縮，湍流流動控制方程為:

連續性方程:

湍流脈動動能方程:

動量方程:

湍流耗散率方程:

其中，渦粘系數和生成項分別為:

Cε1，Cε2，Cμ，σk，σε都為模型常數，其取值為:σk=0.7179;σε=0.7179;η0=4.38;β=0.012。(其中。

1.2 修正RNG k- ε 模型

本文基于以上的Cμ改進式來提高RNG k-ε 湍流模型的預測精度，在倪漢根［9］的推導中，由于假定的形式，即在-uv 中已經包括了(?U/?y+?V/?x)的影響。同時，由于，所以k和ε 也間接包括了(?U/?y+?V/?x)的影響，故可在Cμ中舍棄(?U/?y+?V/?x)項，而采用下面更為簡捷的改進式:

其中α1≈0.254，α2≈0.132。α1和α2為選取了湍流平板邊界層、圓管內流和圓柱尾流場中相關的實驗數據，采用最小二乘法擬合確定的常數。

由此，修正后的RNG k-ε 模型系數與原始模型系數對比如表1所示。

表1 RNG 模型與修正RNG 模型系數值Tab.1 Turbulence constant of original and improved RNG model

2 修正RNG k-ε 模型在葉片泵中的應用

2.1 幾何模型及數值模擬方法

為驗證修正RNG k-ε 湍流模型的有效性，針對一葉片泵包括吸入管、葉輪、導葉、蝸殼在內的全流道進行了數值模擬，如圖1所示。其中，葉片泵的基本參數如表2所示。

模型采用的是三維、非結構化六面體網格，整個流道的網格節點總數為56 萬個，單元總數為165萬個。對流項的離散采用了二階精度格式，收斂殘差設置為10-4。

邊界條件的設置為:進口給定質量流量條件，出口給定平均靜壓，固體壁面為無滑移邊界條件。在此模型的計算中，有3 個動靜交界面，分別是蝸殼和導葉的交接面，導葉和葉輪的交接面，葉輪和吸入導管的交接面。

圖1 葉片泵幾何模型Fig.1 Numerical model of centrifugal pump

表2 葉片泵主要幾何參數Tab.2 Specification of centrifugal pump

2.2 數值計算結果

2.2.1 揚程計算結果對比

修正RNG k-ε 與原始RNG 模型計算所得揚程曲線與實驗結果的對比如圖2所示，揚程相對誤差計算結果對比如圖3所示。

由圖2 中泵的實驗揚程曲線可知，此葉片泵外特性曲線在Q/Qd∈(0.815，0.955)范圍內呈現出明顯的雙駝峰非穩定區域。由于在此非穩定區域內揚程波動大，流動極不穩定，數值模擬的難度很大，故能否對非穩定區域的揚程預測準確，是衡量湍流模型優劣的主要指標。

由圖2和圖3 可知，不同模型計算所得流量揚程曲線和實驗曲線的趨勢基本一致。在遠離設計點區域Q/Qd∈(0.73，0.815)內，原始RNG 模型和修正RNG 模型計算揚程值接近，相對誤差均在3%以內。在接近設計點區域Q/Qd∈(0.955，1.07)內，原始RNG 模型結果要略優于修正后的RNG 模型，兩者相差不大，相對誤差范圍都在6% ～8.5%之間。在雙駝峰非穩定區Q/Qd∈(0.815，0.955)，原始RNG 模型雖然模擬出了揚程的變動趨勢，出現了一個小的波峰，但誤差很大，在這部分區域的平均誤差為9.18%。修正后RNG 模型的計算結果與原始RNG 模型相比，有顯著改善，不僅揚程值更接近于實驗值，且很好的預測出了此區域內的波動趨勢，波峰明顯，此區域內的平均誤差為7.14%，由此說明修正后的RNG k-ε 具有更高的預測精度。

圖2 修正RNG k-ε 模型與RNG 模型計算揚程曲線對比Fig.2 Comparison of head curve calculated with original and improved RNG k-ε model

圖3 修正RNG k-ε 模型與RNG 模型計算揚程相對誤差對比Fig.3 Comparison of head curve error calculated with original and improved RNG k-ε model

2.2.2 葉輪效率計算結果對比

修正RNG k-ε 與原始RNG 模型計算所得葉輪效率曲線對比如圖4所示。由圖4 可知，修正RNG模型與原始RNG 模型的效率值均隨流量的增加而增大，在達到設計工況后，效率值趨于平穩。在小流量Q/Qd∈(0.73，0.815)和接近設計工況Q/Qd∈(0.955，1.07)區域范圍內，修正RNG 模型與原始模型的效率計算結果相差不大。在揚程駝峰區域Q/Qd∈(0.815，0.955)內，修正RNG 模型所得效率要顯著高于原始RNG 模型。由此也說明，修正RNG模型對流場預測精度的改善主要體現在雙駝峰非穩定區域內。

圖4 修正RNG k-ε 模型與RNG 模型計算的效率曲線對比圖Fig.4 Comparison of efficiency curve calculated with original and improved RNG k-ε model

2.2.3 內部流動評價與分析

由圖2和圖3 可知，Q/Qd=0.9 時，是修正RNG 模型的揚程計算值與原始RNG 模型值差別最大的流量點。這時，改進模型對揚程的數值預測準確度大大提高，對揚程的修正最為明顯，故選取此流量點為典型的內部流動分析對象。

修正RNG k-ε 與原始RNG 模型計算所得徑向面上葉輪和導葉的流線圖分別如圖5 ～圖6所示。由圖5可知，采用原始RNG 模型計算的葉輪流場，葉輪出口速度沿圓周分布不均，葉輪右上部的速度與左下部相比，要明顯的偏小。在葉輪出口速度小的區域，流體進入到導葉后，由于流道擴張，速度降低，壓力增加，在逆壓下如果進口速度很小就有可能引起回流。這由圖6 中由原始RNG 模型計算的導葉流場也可以看出，在導葉右上部，即葉輪出口速度偏小的區域，出現顯著的回流，所以原始RNG 模型的計算揚程值也偏小。

另一方面，由圖5 可知采用修正RNG 模型計算的葉輪流場，葉輪出口速度沿圓周均勻分布，所以導葉進口的速度分布也很均勻，在導葉內不容易發生回流。這由圖6 中由改進RNG 模型計算所得導葉流場也可以看出，導葉內流場分布均勻，只在2 個導葉流道內有很小的回流，流動情況大大改善，因此由改進RNG 模型計算的揚程值更接近實驗值。

圖5 改進RNG k-ε 模型與RNG 模型葉輪流線對比圖Fig.5 Comparison of impeller streamlines calculated with original and improved RNG k-ε model

圖6 改進RNG k-ε 模型與RNG 模型導葉流線對比圖Fig.6 Comparison of guide vane streamlines calculated with original and improved RNG k-ε model

修正RNG k-ε 與原始RNG 模型計算所得徑向面上蝸殼流線圖如圖7所示。從圖中可以看出，原始RNG 模型計算的蝸殼流場，在蝸殼出口處有明顯的回流，造成很大部分的能量耗散，從而使得計算揚程值誤差很大。而用修正RNG 模型計算的蝸殼流場，在蝸殼出口處無回流，流態良好，所以計算揚程誤差顯著減小。另一方面，由于此工況點與標準工況Q/Qd=0.9，已經很接近設計工況，不應該在導葉和蝸殼中出現如原始RNG 模型結果所示明顯的回流，所以，改進模型的計算結果更為合理，外特性值也更接近實驗值。所以，改進RNG 模型可以更準確的模擬非標準工況下的不穩定流動。

圖7 改進RNG k-ε 模型與RNG 模型蝸殼流線對比圖Fig.7 Comparison of volute streamlines calculated with original and improved RNG k-ε model

3 結 語

為提高RNG k-ε 湍流模型對非設計工況下葉片泵內流場的預測性能，采用將渦粘性系數Cμ與湍流脈動動能和湍流耗散率的變化相關聯的方法，對RNG k-ε 模型進行了修正。用此修正模型和原始RNG 模型對一葉片泵內流場分別進行了數值模擬，通過比較其揚程、效率曲線計算結果和典型工況下的內部流場流線分布，可已得到以下結論:

1)2 種湍流模型計算的流量揚程曲線和實驗揚程曲線的趨勢基本一致。

2)在非標準工況下的雙駝峰非穩定區域，原始RNG 模型計算揚程值誤差較大，而修正RNG 模型的計算結果在此區域內有顯著改善，不僅揚程計算誤差明顯減小，且很好的預測出了此區域內的揚程波動趨勢。

3)修正RNG k-ε 湍流模型能克服非設計工況下流動不穩定，分離流動嚴重的特點，較準確的預測葉片泵的外特性，可以提高對葉片泵非設計工況下流場的預測精度。

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