適用于Kappel槳的面元法尾渦模型

王 睿，熊 鷹，王展智

(海軍工程大學 艦船工程系，湖北 武漢430033)

0 引 言

流體力學的相關理論表明，對于近似為有限翼展的單個螺旋槳槳葉而言，存在很明顯的翼端效應，它導致了槳葉的徑向環量分布發生變化，從而形成尾渦面。面元法計算中的尾渦模型即是基于這樣的實際給出的。對于Kappel槳，幾何結構如圖1所示。圖中的Kappel槳選取了臺灣海洋大學的Kap5XX 系列槳［1－3］。

由圖1 可以看出，Kappel槳在葉梢端彎曲比較劇烈，從幾何參數上表述即是Kappel槳葉梢端剖面的縱傾沿徑向變化比較明顯，具體情況如圖2所示。

普通螺旋槳的縱傾線(葉片參考線在圖2 平面內的投影)一般如圖2 中OAC 段所示，即在AC 段縱傾不劇烈，但Kappel槳從圖2 中A 點處開始向葉背一側彎折，縱傾值沿徑向劇烈變化?？v傾變化的不同導致了Kappel槳AB 段的槳葉剖面垂直于縱傾線，而不是垂直于圖中的R 軸，否則在葉梢端槳葉厚度將不能保證。

圖1 Kappel槳側視圖和正視圖Fig.1 The side view and front view of Kappel propeller

圖2 葉片參考線變化示意圖Fig.2 The diagram of blade reference line

初步分析Kappel槳的幾何結構與流場的相互作用可知，梢部彎折能夠防止梢部繞流，起到了耗散梢渦的作用，從而增加了槳葉的載荷?；谶@樣的事實，若用面元法計算Kappel槳時，繼續沿用已有的尾渦面，就沒有考慮到梢部彎折所造成的梢渦耗散，有可能造成較大的誤差。因此有必要對已有的面元法尾渦進行相關的修正，而如何定量描述梢部彎折后所帶來的尾渦面的變化，是需要研究的問題。

1 面元法計算的相關說明

在修正尾渦前，先對面元法計算中的有關問題加以說明，以明確本文修正尾渦的思路。面元法是以調和函數的格林公式為數學基礎，在槳葉表面和尾渦面上布置奇點來模擬流場經過槳葉時的運動狀態。面元法基于勢流理論，因此無法模擬流場中渦的形成過程，實際情況下，由于粘性作用，螺旋槳尾流是非勢流區(嚴格來講，槳葉周圍流體也有非勢流區)，因此運用基于勢流理論的面元法求解時需要將這一部分非勢流區去掉，已有面元法的處理是將其視為無厚度的勢流間斷面，在這個間斷面的兩側速度勢有跳躍，速度勢的法向導數連續，以此尾渦面及螺旋槳表面構成了整個面元法的求解邊界。其中，尾渦面一般由根據經驗和假設構建的尾渦模型表示。對于定常問題，假設尾渦模型上每一半徑處的尾渦條帶上，偶極子順著尾渦模型下泄，因此偶極子強度相等，式(1)可以說明這一假設的合理性。

圖3 葉剖面環量示意圖Fig.3 The circulation of the section

圖3 中，A，B 可以是尾渦面上的任意位置，而Γ1和Γ2相等。由此，結合式(1)可知，與每一剖面對應的尾渦條帶上，速度勢的突躍值相等，均等于繞剖面的環量值。而由尾渦面與螺旋槳的連續性，可以假定尾渦面上偶極子強度值等于對應的槳葉隨邊處上、下葉面的速度勢之差，這也是Morino 庫塔條件的由來，Morino 庫塔條件如下式:

式中:Γ 對應槳葉葉剖面的環量;SW為尾渦面;φ+(－)為對應半徑處隨邊上、下葉面的速度勢。顯然，對于二維問題，以上假設成立，但在實際流場中，由于積分周線內葉剖面區域外有渦的存在，這樣的處理會有誤差。

2 彎折三維翼和平直三維翼剖面環量計算與分析

式(2)的重要意義在于它建立了槳葉剖面環量與對應半徑處尾渦條帶上偶極子強度關系，聯系到前面提到的Kappel槳梢部彎折能夠起到槳葉加載的作用，可以認為Kappel槳的梢部加載實際上是增大了槳葉剖面處的環量值，因此有必要運用一定手段來模擬彎折后槳葉環量分布的變化情況。本文為了研究問題的方便而又不失模擬的有效性，選擇幾何尺寸相似的平直三維翼和彎折三維翼進行CFD 模擬，所研究的三維翼剖面參數和展長以及彎折情況都是以Kappel槳單個槳葉為原型的。CFD 計算的過程 中，選 擇 0.3R，0.4R，0.5R，0.6R，0.7R，0.8R，0.9R的剖面處環量作為計算的目標，積分周線選取包圍剖面的圓周線，理論上積分周線可以是包含槳葉剖面的任意周線，但實際情況中，考慮流場中渦的存在，積分周線最好不要延伸到尾流區，同時，積分周線應避免在葉剖面的邊界層內(實際上本文對同一剖面不同半徑的積分周線環量進行了計算，結果略有差別)。具體三維翼的幾何外形和積分周線的選取如圖4和圖5所示。

圖4 彎折三維翼幾何外形和積分圓周線Fig.4 The geometry and circular integral line of curve 3－D foil

圖5 平直三維翼幾何外形和積分圓周線Fig.5 The geometry and circular integral line of stright 3－D foil

圖6 彎折三維翼和平直三維翼環量分布對比表Fig.6 The circulation distribution of curve 3－D foil and straight 3－D foil

CFD 基于粘性流求解，它考慮了流場中渦的存在，面元法僅在槳葉表面布置奇點，但它也等效得到了槳葉周圍速度的分布狀況。因此，在一定的誤差范圍內，運用CFD 計算得到各個周線上的速度分布，將其沿周線積分即得到各個剖面的環量分布與面元法求得的環量分布等效，因此可以將其作為面元法計算中的槳葉剖面環量分布。具體計算結果如圖6所示，計算過程中來流速度設為2.5 m/s，翼根界面當作對稱面。本文對計算得到的剖面環量運用升力公式求得的升力能較好符合CFD 求得的三維翼的升力，從而可以認為環量的結果可信。由圖6 可知梢部彎折后的三維翼環量在0.3～0.5 R 之間比平直三維翼環量略小，從0.5 R 左右環量分布開始逐步增大，越靠近梢端環量值增大越多，在0.9 R 處環量增幅最大。因此可以認為彎折的梢端對三維翼加載的范圍有限，對于本文所研究的問題可以認為加載范圍是從0.5 R 左右到葉梢端，由此對比可以近似認為，Kappel槳的梢端加載范圍也是0.5 R 以后。

3 尾渦修正及計算

在大多數情況下，尾渦面模型是經驗的模型，在某種程度上，它能夠得到較好的計算結果。但這并不能說明它很好的模擬了尾流真實的運動狀態。因此在遇到特殊問題時，已有的尾渦模型可能得不到較好的數值計算結果。例如，對于本文所研究的Kappel槳，已有的尾渦模型就無法模擬出葉梢部的加載情況。這就有必要在分析流體與Kappel槳的作用狀況后，對已有的尾渦模型進行相關修正，以得到較好的數值計算結果。目前已公開發表的有關面元法分析Kappel槳的文章［2－5］還很少，尤其對細節方面的處理描述不多，對于已有面元法計算分析Kappel槳的效果也沒有較明確的說明。對Kappel槳分析時，最初運用已有面元法對臺灣海洋大學的Kap5XX 系列槳進行敞水性能計算，所得到的結果與試驗值差距較大，于是在前面分析基礎上，考慮對面元法計算分析Kappel槳的尾渦進行修正。

修正尾渦模型主要從兩方面考慮:1)Kappel槳葉梢端的彎折，導致了葉梢端的加載，從而葉梢部分半徑處剖面的環量將增大，葉梢剖面的環量增大后，所對應的尾渦半徑處的偶極子強度將增大，若運用以前的尾渦模型將不能很好的體現這一點;2)由于Kappel槳的梢端彎向葉背一側，梢端的螺距角較小，因此來流在Kappel槳沿葉梢端的徑向也有一定的速度，面元法中認為尾渦的走向和流線平行，因此可以認為尾渦收縮的比率比普通螺旋槳要大。

基于以上尾渦模型修正的考慮，一方面應增大尾渦半徑的收縮比率，多收縮的徑向長度可以近似認為是槳葉葉梢端彎折段的長度。另一方面應增大葉梢附近的尾渦面上偶極子強度，偶極子強度增加值應以CFD 計算得到的三維彎折翼的剖面環量增加值為基礎。但在本文中，為了利用已有的尾渦模型，采取了一種等效上述效果的處理辦法。本文的Kappel槳槳葉從0.9 R 左右開始劇烈彎折，于是選擇將0.9 R 到槳葉葉梢的尾渦條帶上偶極子平均疊加到槳葉0.5～0.9 R 半徑段的尾渦條帶上，而0.9 R 到槳葉葉梢的尾渦條帶上偶極子強度將置0，同時，對尾渦收縮到不變的半徑值減小0.1 R。將0.9 R 到槳葉葉梢的尾渦條帶上偶極子置0，即是將這一部分尾渦去掉，相當于尾渦收縮，而將0.9 R 到槳葉末端的偶極子強度疊加到0.5～0.9 R 段的尾渦條帶上，相當于增加這一半徑段的剖面環量值。處理辦法可用下式表示:

式中:mp為徑向劃分網格數;Δφi為尾渦面第i個半徑處的偶極子強度。對于本文的20 ×20 網格劃分，mp－9 近似為0.5 R 左右，符合前文驗證的彎折三維翼的剖面加載范圍，mp－3 近似為0.9 R 左右。

實際上式(3)是一種等效的處理辦法，它是尾渦收縮和梢端環量加載的一種綜合作用效果，這樣的處理并沒有改變尾渦作為勢流邊界這一原則性問題，只是將邊界上值的大小和范圍作了改變，而實際上決定尾渦面上的偶極子強度的Morino 庫塔條件也只是近似成立。因此從面元法數值求解角度看以上的處理辦法合理。

修正尾渦面后，重新對Kap505槳和Kap512槳進行了敞水性能的分析并與未修改尾渦的面元法計算結果以及試驗值進行對比。計算過程中選擇Kap505和Kap512槳作對比，主要是考慮到它們幾何構造的差別相對較大，葉梢剖面最大彎折角度(剖面與縱傾線的夾角)分別為66.04°和88.2°。具體結果如圖7和圖8所示。圖中BEMG 代表修正尾渦面的面元法計算結果，BEM 代表未修改尾渦面的面元法計算結果，EXP 代表試驗值。

圖7 Kap505 敞水性能計算結果對比圖Fig.7 The open water performance comparison of Kap505

圖8 Kap512 敞水性能計算結果對比圖Fig.8 The open water performance comparison of Kap512

由圖7和圖8 可看出，修正尾渦面后，面元法的計算結果有很大改善。圖7和圖8 采用的計算結果均是Morino 庫塔條件下得到的結果。這是由于在用此方法進行尾渦修正后，等壓庫塔條件的數值處理還有待進一步探討。但目前面元法計算時，大部分采用牛頓迭代法，以Morino 庫塔條件求出的奇點強度作為迭代初值，以等壓庫塔條件作為迭代式，而實際上牛頓迭代法要求初值與真值很接近，因此可以認為Morino 庫塔條件結果與等壓庫塔條件結果差別不大。結合前文對于Morino 庫塔條件的說明，認為文中所提出的尾渦修正，能很好的符合Kappel槳敞水性能的計算精度要求。

對于Kappel槳，大部分從0.875 R 左右開始彎折，計算過程中也對從不同徑向處(分別是0.8 R，0.9 R，0.93 R)開始彎折的三維翼進行了剖面環量值的計算，結果表明梢端彎折所造成環量增加范圍和大小變化不大。另外計算所選的Kap505槳和Kap512槳葉梢端的彎折程度不同，因此，可以初步認為文中所提出的尾渦模型對Kappel槳適用。

4 結 語

本文運用CFD 對幾何尺寸相似的彎折三維翼和平直三維翼進行環量分析，得出了梢端彎折后對三維翼剖面環量分布狀況的改變。并以此為基礎，結合Kappel槳特殊結構對梢端流場的影響，對已有面元法的尾渦模型進行修正，在Morino 庫塔條件下得到了與試驗值符合較好的計算結果，同時針對Kappel槳的庫塔條件進行相關分析，對本文選擇Morino 庫塔條件下的面元法計算結果作出說明。

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