同余格范疇的若干性質

李靜

(泰山學院 數學與統計學院,山東泰安 271021)

同余格范疇的若干性質

李靜

(泰山學院 數學與統計學院,山東泰安 271021)

本文研究了同余格范疇中的若干性質,并得到了相應的結論。

同余格 同余格范疇 乘積

格可以視為一個偏序集，也可以當做一個代數系統來研究．在格的結構中引入同余關系，便出現了同余格的概念。有關同余格的結論，可以參見文獻[1，2]。本文研究了以同余格為對象，以保格同余關系的格同態為態射的同余格范疇，并得到了此范疇的若干性質。本文中所涉及的范疇概念，可參見文獻[3]。

定義1[1]設θ是格 L的一個等價關系，如果對任意的可以推出，則稱θ為 L上的格同余關系，簡稱格同余。

注1[4]格 L上的一個等價關系θ是 L×L的子集，所以上述的定義也可敘述為:設θ是格 L的一個等價關系，如果對任意的ai, bi∈L( i=0,1)，由（a0, b0）∈θ，（a1, b1）∈θ，可以推出，則稱θ為 L上的格同余關系。

把格上 L的所有同余關系放在一起作成一個集合，記為ConL，在此集合上賦予偏序為集合的包含序，那么（ConL,?）作成一個偏序集。

定理1[1]若當且僅當存在一個由 L中的元素作成的序列x∨y，使得，且對任意的 i，0≤i≤n-1，有，則ConL作成一個格。

定義2[1]格 L上所有同余關系的集合賦予包含序作成的格稱為同余格。

定理2[1]設任意格 L，則ConL是分配的代數格。

本文中以同余格為對象，保格同余關系的格同態為態射的范疇，稱為同余格范疇，記作CON．有關同余格范疇中態射的有關性質可參考文獻[4]。

定理3 在同余格范疇中，(P, f)為{A}的乘積當且僅當f:P→A為同余格范疇中的同構態射。

證明(必要性)如下圖所示，(P, f)為{A}的乘積， A則 P到的態射唯一存在，從而態射f為單態射，又，所以f為收縮。

故f:P→A為同余格范疇中的同構態射。

(充分性)如下圖所示，由f:P→A為同構映射知f有逆映射f-1。從而對任一對象 B，及任一態射g: B→A，存在且。設存在h: B→P使得f?h=g，則有，即唯一存在。

所以(P, f)為{A}的乘積。

因為等價關系是同一集合的元素之間的關系，兩個不同的集合之間的關系不是等價關系，所以同余格范疇中的范疇積只能針對同一個對象而言．于是有下面的定理，它實際上也是定理3的具體化。

定理4 在同余格范疇中，同一對象的范疇積為笛卡爾積，可表示為

對任一對象 B，及任意態射f, g: B→ConL，作一映射＜f,g＞:B→ConL×ConL(即?α∈B,＜f, g＞(α)=(f(α),g (α)) )，顯然保持同余關系且為格同態，所以＜f, g＞為CON態射．并且π?＜f, g＞=f ，π?＜f, g＞=g ，這樣的態射＜f, g＞是唯一存在的，所以ConL×ConL是ConL的范疇積。

引理1[5]設R, T是集合 A的等價關系， RT為關系 R與 T的復合，則 RT是 A的等價關系當且僅當 RT=TR。

命題1 設θ, φ∈ConL，則當θφ=φθ時，θφ∈ConL。

證明 由上面引理知θφ為等價關系．設(a, b),(c, d)∈θφ，那么存在x, y∈L，使得(a, x)∈θ,(x, b)∈φ且(c, y)∈θ,(y, d)∈φ，又由θ, φ∈ConL，(a∨c, x∨y)∈θ且(x∨y, b∨d)∈φ，從而(a∨c, b∨d)∈θφ。

同理可證(a∧c, b∧d)∈θφ．所以θφ∈ConL。

令同余格范疇僅含有一個對象ConL，那么此范疇的態射類就是ConL，即態射為ConL中的同余關系，態射類的復合就是同余關系的復合，且由上面的命題知這種復合是有條件的．而對于任意的兩個同余格來說，則可視為兩個范疇，而兩個同余格之間的保格同余關系的格同態就是兩個范疇之間的函子。在這種情況下，伴隨函子將有簡單的刻畫。

定義3 設A, B是同余格，f:A→B與g: B→A都是保格同余關系的格同態，若?θ∈A,?φ∈B,θ?g(φ)當且僅當f(θ)?φ，此時稱f為左伴隨， g為右伴隨，或f與 g伴隨。

命題2 設A, B是同余格，f:A→B與g: B→A都是保格同余關系的格同態，則下列條件等價:

(i)f與 g伴隨；(ii)?θ∈A,?φ∈B,θ≤g?f(θ),f?g(φ)≤φ。

證明 由伴隨的定義很容易得證。

注2 若命題2的條件之一成立，則可推出f?g?f=f, g?f

定理5 設A, B是同余格，f:A→B與g: B→A都是保格同余關系的格同態，則

(i)f有右伴隨 g當且僅當f保任意并；(ii) g有左伴隨f當且僅當 g保任意交。

證明 可參見文獻[6]。

[2] Davey B. A. and Priestley H.A.Introduction to lattices and order[M].London:Cambridge University press,1990.

[3] Herrlich H.Category theory[M].Heldermann Verlag, Berlin,1979.

[4] 李靜.同余格范疇中態射的性質[J].泰山學院學報,2014(3),71.

[5] 胡長流,宋振明.格論基礎[M].開封:河南大學出版社,1990.

[6] 鄭崇友,樊磊,崔宏斌.Frame與連續格(第二版)[M].北京:首都師范大學出版社,2000.

In this paper, some properties in the category of congruence lattices are considered, and some conclusions are obtained.

a congruence lattice;the category of congruence lattices; the product

泰山學院青年教師科研基金科技計劃項目(課題編號T12QK03)。

李靜(1981—),女,漢,山東泰安人,單位:泰山學院數學與統計學院,講師,學歷:碩士,研究方向:格上拓撲學與模糊推理。