期權定價中的隨機模型

許陽 羅旭 段白楊

(安徽工程大學數理學院,安徽蕪湖 241000)

期權定價中的隨機模型

許陽 羅旭 段白楊

(安徽工程大學數理學院,安徽蕪湖 241000)

隨機模型在期權定價中有著廣發的應用,本文介紹了期權定價中的常見隨機模型,并分析了各模型的優劣。

期權定價 隨機模型 布朗運動

期權是一類重要的金融衍生產品，它賦予持有者將來某一時刻以實現約定的價格購買或出售一定數量資產的權利而非義務。1900年法國數學家兼經濟學家巴切列爾首次提出用布朗運動描述股票價格過程的變化，開創了隨機模型在期權定價中應用的先河。巴切列爾在他的博士論文里假設股票價格在 t時刻價格為隨機變量St，在不相交的時間區間內是獨立同分布的。并且在股票價格模型為(Bt為布朗運動)情形下，得到了看漲期權的定價公式為

其中N(X)為正態分布的累計函數，φ(?)為標準正態分布的密度函數。該模型的缺點是：1)股票價格可能為負，并且在足夠長的時間里，期權價格會超過標的資產價格；2)假設股票的期望收益率為零；3)模型未考慮時間價值。

在隨后的半個世紀，巴切列爾的工作都沒有引起重視，直到1961年Sprenkle才在股票價格服從對數正態分布的假設下提出了新的股票定價模型。Sprekle假設該分布中的股票價格平均值和方差是固定的，且價格有正向漂移，看漲期權價值公式為：

其中，參數π是“價格杠桿”的調節量.當π的值是0時，就可得出期權的最終預期值。

隨后Boness將貨幣的時間價值引入到期權定價過程，他對股票收益假定了一個固定的對數分布，并且認識到風險保險的重要性。為簡明，他假定“投資者不在乎風險”。他利用這一假設證明了用股票的預期收益率α來貼現最終期權的預期值。他的最終模型是：

Samuelson于1965年認識到，由于不同的風險特性，期權和股票的預期收益率一般來說是不同的他的歐式看漲期權的模型是：

其中d1與d2的定義與前面相同，而當α=β時即為前面的Boness模型。

但是，上述期權定價理論都缺乏實用價值。1973年，Black和Scholes提出了股票著名的B-S期權定價模型，其服從以下幾條假設：

(2)允許使用全部所得賣空衍生證券；

(3)在衍生證券的有效期內沒有紅利支付；

(4)不存在無風險套利機會；

(5)證券交易是連續的；

(6)無風險利率r為常數且對所有到期日均相同；

(7)允許使用全部所得賣空衍生證券；

并在此模型下得到了期權定價公式：

在B-S模型中的利率和波動率都是假設為常數的，而在實際中利率和波動率常常是一個變化過程。因此不少學者對利率和波動率模型做了一些改進。其中常見的利率模型有：

常見的波動率模型有：

由于對股票市場的實證分析發現，股票價格常常受一些突發事件的影響使得價格發生跳躍，因此Merton提出了用泊松過程描述股票價格跳躍的股票價格模型：

其中N( t)為強度為 λ的泊松過程，Jt為跳躍高度這里 N( t)、Jt、B( t)相互獨立。

傳統的模型都是在股票服從對數正態分布下研究期權定價的，但是近年來對金融市場的大量研究發現，金融資產的價格過程并非服從對數正態分布，而是呈現尖峰肥尾現象，并且資產價格過程存在長相依性而非獨立增量過程。因此Peters提出了分形市場假說，分數布朗運動是一Hurst參數為 H(0＜H＜1)連續的Gaussian過程，滿足，并且。當時，。分數布朗運動具有自相似性，即對α＞0，過程與過程有相同的有限維分布，并且當即為標準布朗運動時，分數布朗運動具有長期依賴性。Hu和ksendal建立了股票價格服從幾何分數布朗運動的期權定價模型：

Hu和ksendal、Necula等利用Wick乘積下的隨機積分得到了歐式期權的定價公式。

分數布朗運動下的期權定價模型能更好的描述資產價格的長期依賴性和自相似性，并且實證研究也證實了金融市場的分形性質。

[1]張衛國,肖煒麟.分數布朗運動下股本權證定價研究[M].北京：科學出版社,2013.

[2]宋逢明.金融工程原理[M].北京：清華大學出版社,2003.

[3]林清泉.金融工程[M].北京：中國人民大學出版社,2013.

國家級大學生創新訓練項目(201210363222),安徽工程大學教研項目(2012xjy59)。