小議極限理論

王莎莎

【摘 要】本文主要總結(jié)了一些求一元函數(shù)極限的常用方法，以便深入的理解和掌握極限概念，并把極限的思想運(yùn)用到更廣泛的區(qū)域中。

【關(guān)鍵詞】極限理論;歸結(jié)原則;拉格朗日定理

一、引言

極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論為主要工具來(lái)研究函數(shù)的一門學(xué)科。極限思想是微積分的基本思想，所謂極限思想，是用極限概念分析和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想，用極限思想解決問(wèn)題的一般步驟可概括為：對(duì)于被考察的未知量，先設(shè)法構(gòu)造一個(gè)與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過(guò)無(wú)限過(guò)程的結(jié)果就是所求的未知量，最后用極限計(jì)算來(lái)得到這結(jié)果。所以證明極限存在和求極限的方法就需要我們?nèi)ヌ骄俊?/p>

二、求一元函數(shù)極限的一般方法

1.極限定義求極限

定義1.1 設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)xo的某個(gè)空心領(lǐng)域U·（xo;δ）內(nèi)有定義，A為定數(shù)。若對(duì)任給的ε>0，存在正數(shù)ε（無(wú)論它多么小），總存在正數(shù)δ，使得當(dāng)x滿足不等式0<|x-xo|<δ時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x）都滿足不等式：

|f（x）-A|<ε或f（x）→A

那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f（x）當(dāng)x→xo時(shí)的極限。

例1.1設(shè)f（x）=，證明f（x）=4。

證 由于當(dāng)x≠2時(shí)，|f（x）-4|=|-4|=|x-2|

故對(duì)給定的ε>0，只要取δ=ε，則當(dāng)0>|x-2|<δ時(shí)有|f（x）-4|<ε.這就證明了f（x）=4。定義1.1設(shè)f為定義在[a，+∞）上的函數(shù)，A為定數(shù)。若對(duì)任給的ε>0，存在正數(shù)M（≥a），使得當(dāng)x>M時(shí)有

|f（x）-A|<ε，

則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于+∞時(shí)以A為極限，記作

f（x）=A或f（x）→A（x→∞）

例1.2 證明=0。

證 任給ε>0，取=M，則當(dāng)|x|>M時(shí)有

|-0|=<=ε

所以=0.

2.利用兩個(gè)重要的極限求極限

=1;=e

例2.1 求（1+2x）。

解（1+2x）=[（1+2x）.（1+2x）]=e2。

3.利用變量替換及等價(jià)無(wú)窮小量求極限

通過(guò)變量替換，把求某個(gè)極限轉(zhuǎn)化為求另一個(gè)極限，若后者是已知的，則問(wèn)題就解決了。

（1）設(shè)φ（x）=+∞，f（u）=A，則f[φ（x）]=f（u）=A，（u=φ（x））。

例3.1 求[x-x2ln（1+）]

解 用變量替換法，令x=，則

原式=[-]==

==

（2）常用的等價(jià)無(wú)窮小：當(dāng)x→0時(shí)，sinx～x，tanx～x，（1+x）α～1+ax，arctanx～x，1-cosx～，ln（1+x）～x，ex-1～x。

4.用洛比達(dá)法則求極限

洛比達(dá)法則只直接適用于型和型不定式極限，0·∞，1∞，0o，∞o，∞，-∞等類型，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單變換，可化為型或型極限。

例4.1求x·lnx

解 由是0·∞型不定式極限，有恒等xlnx=轉(zhuǎn)化為型不定式極限。

所以，原式===0

5.利用歸結(jié)原則求極限

歸結(jié)原則：f（x）=A?對(duì)任何xn→x0（n→∞）有f（xn）=A。

6.利用拉格朗日中值定理求極限

定理[1]若函數(shù)f（x）滿足如下條件：

①在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù);

②在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)。

則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）（1）

或者f（b）-f（a）=f′（a+θ（b-a））（b-a） （0<θ<1）（2）

在教學(xué)過(guò)程中可將這些求一元函數(shù)極限的方法充分運(yùn)用于教學(xué)實(shí)踐中，能使學(xué)生在解題過(guò)程中享受創(chuàng)造的樂(lè)趣，從而能夠激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和刻苦研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的熱情和毅力，培養(yǎng)學(xué)生縝密的思維能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際生活中遇到的各類問(wèn)題。

【參考文獻(xiàn)】

[1]趙顯曾，黃安才著.數(shù)學(xué)分析的方法與題解.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2005.3

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.上冊(cè).北京：高等教育出版社，2006.8

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.下冊(cè).北京：高等教育出版社，2006.6

[4]李志林.高等數(shù)學(xué)：經(jīng)濟(jì)管理、計(jì)算機(jī)類.西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2008.7

[5]數(shù)學(xué).中國(guó)就業(yè)培訓(xùn)技術(shù)指導(dǎo)中心組織編寫.北京：中國(guó)勞動(dòng)社會(huì)保障出版社，2002.3

[6]李永樂(lè)，李正元.考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書.國(guó)家行政學(xué)院出版社，2011.2

[7]陳文燈，黃先開(kāi).主編.考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南.北京理工大學(xué)出版社，2012.1

（作者單位：陜西省商業(yè)學(xué)校）

【摘 要】本文主要總結(jié)了一些求一元函數(shù)極限的常用方法，以便深入的理解和掌握極限概念，并把極限的思想運(yùn)用到更廣泛的區(qū)域中。

【關(guān)鍵詞】極限理論;歸結(jié)原則;拉格朗日定理

一、引言

極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論為主要工具來(lái)研究函數(shù)的一門學(xué)科。極限思想是微積分的基本思想，所謂極限思想，是用極限概念分析和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想，用極限思想解決問(wèn)題的一般步驟可概括為：對(duì)于被考察的未知量，先設(shè)法構(gòu)造一個(gè)與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過(guò)無(wú)限過(guò)程的結(jié)果就是所求的未知量，最后用極限計(jì)算來(lái)得到這結(jié)果。所以證明極限存在和求極限的方法就需要我們?nèi)ヌ骄俊?/p>

二、求一元函數(shù)極限的一般方法

1.極限定義求極限

定義1.1 設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)xo的某個(gè)空心領(lǐng)域U·（xo;δ）內(nèi)有定義，A為定數(shù)。若對(duì)任給的ε>0，存在正數(shù)ε（無(wú)論它多么小），總存在正數(shù)δ，使得當(dāng)x滿足不等式0<|x-xo|<δ時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x）都滿足不等式：

|f（x）-A|<ε或f（x）→A

那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f（x）當(dāng)x→xo時(shí)的極限。

例1.1設(shè)f（x）=，證明f（x）=4。

證 由于當(dāng)x≠2時(shí)，|f（x）-4|=|-4|=|x-2|

故對(duì)給定的ε>0，只要取δ=ε，則當(dāng)0>|x-2|<δ時(shí)有|f（x）-4|<ε.這就證明了f（x）=4。定義1.1設(shè)f為定義在[a，+∞）上的函數(shù)，A為定數(shù)。若對(duì)任給的ε>0，存在正數(shù)M（≥a），使得當(dāng)x>M時(shí)有

|f（x）-A|<ε，

則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于+∞時(shí)以A為極限，記作

f（x）=A或f（x）→A（x→∞）

例1.2 證明=0。

證 任給ε>0，取=M，則當(dāng)|x|>M時(shí)有

|-0|=<=ε

所以=0.

2.利用兩個(gè)重要的極限求極限

=1;=e

例2.1 求（1+2x）。

解（1+2x）=[（1+2x）.（1+2x）]=e2。

3.利用變量替換及等價(jià)無(wú)窮小量求極限

通過(guò)變量替換，把求某個(gè)極限轉(zhuǎn)化為求另一個(gè)極限，若后者是已知的，則問(wèn)題就解決了。

（1）設(shè)φ（x）=+∞，f（u）=A，則f[φ（x）]=f（u）=A，（u=φ（x））。

例3.1 求[x-x2ln（1+）]

解 用變量替換法，令x=，則

原式=[-]==

==

（2）常用的等價(jià)無(wú)窮?。寒?dāng)x→0時(shí)，sinx～x，tanx～x，（1+x）α～1+ax，arctanx～x，1-cosx～，ln（1+x）～x，ex-1～x。

4.用洛比達(dá)法則求極限

洛比達(dá)法則只直接適用于型和型不定式極限，0·∞，1∞，0o，∞o，∞，-∞等類型，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單變換，可化為型或型極限。

例4.1求x·lnx

解 由是0·∞型不定式極限，有恒等xlnx=轉(zhuǎn)化為型不定式極限。

所以，原式===0

5.利用歸結(jié)原則求極限

歸結(jié)原則：f（x）=A?對(duì)任何xn→x0（n→∞）有f（xn）=A。

6.利用拉格朗日中值定理求極限

定理[1]若函數(shù)f（x）滿足如下條件：

①在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù);

②在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)。

則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）（1）

或者f（b）-f（a）=f′（a+θ（b-a））（b-a） （0<θ<1）（2）

在教學(xué)過(guò)程中可將這些求一元函數(shù)極限的方法充分運(yùn)用于教學(xué)實(shí)踐中，能使學(xué)生在解題過(guò)程中享受創(chuàng)造的樂(lè)趣，從而能夠激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和刻苦研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的熱情和毅力，培養(yǎng)學(xué)生縝密的思維能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際生活中遇到的各類問(wèn)題。

【參考文獻(xiàn)】

[1]趙顯曾，黃安才著.數(shù)學(xué)分析的方法與題解.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2005.3

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.上冊(cè).北京：高等教育出版社，2006.8

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.下冊(cè).北京：高等教育出版社，2006.6

[4]李志林.高等數(shù)學(xué)：經(jīng)濟(jì)管理、計(jì)算機(jī)類.西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2008.7

[5]數(shù)學(xué).中國(guó)就業(yè)培訓(xùn)技術(shù)指導(dǎo)中心組織編寫.北京：中國(guó)勞動(dòng)社會(huì)保障出版社，2002.3

[6]李永樂(lè)，李正元.考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書.國(guó)家行政學(xué)院出版社，2011.2

[7]陳文燈，黃先開(kāi).主編.考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南.北京理工大學(xué)出版社，2012.1

（作者單位：陜西省商業(yè)學(xué)校）

【摘 要】本文主要總結(jié)了一些求一元函數(shù)極限的常用方法，以便深入的理解和掌握極限概念，并把極限的思想運(yùn)用到更廣泛的區(qū)域中。

【關(guān)鍵詞】極限理論;歸結(jié)原則;拉格朗日定理

一、引言

極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論為主要工具來(lái)研究函數(shù)的一門學(xué)科。極限思想是微積分的基本思想，所謂極限思想，是用極限概念分析和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想，用極限思想解決問(wèn)題的一般步驟可概括為：對(duì)于被考察的未知量，先設(shè)法構(gòu)造一個(gè)與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過(guò)無(wú)限過(guò)程的結(jié)果就是所求的未知量，最后用極限計(jì)算來(lái)得到這結(jié)果。所以證明極限存在和求極限的方法就需要我們?nèi)ヌ骄俊?/p>

二、求一元函數(shù)極限的一般方法

1.極限定義求極限

定義1.1 設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)xo的某個(gè)空心領(lǐng)域U·（xo;δ）內(nèi)有定義，A為定數(shù)。若對(duì)任給的ε>0，存在正數(shù)ε（無(wú)論它多么?。?，總存在正數(shù)δ，使得當(dāng)x滿足不等式0<|x-xo|<δ時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x）都滿足不等式：

|f（x）-A|<ε或f（x）→A

那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f（x）當(dāng)x→xo時(shí)的極限。

例1.1設(shè)f（x）=，證明f（x）=4。

證 由于當(dāng)x≠2時(shí)，|f（x）-4|=|-4|=|x-2|

故對(duì)給定的ε>0，只要取δ=ε，則當(dāng)0>|x-2|<δ時(shí)有|f（x）-4|<ε.這就證明了f（x）=4。定義1.1設(shè)f為定義在[a，+∞）上的函數(shù)，A為定數(shù)。若對(duì)任給的ε>0，存在正數(shù)M（≥a），使得當(dāng)x>M時(shí)有

|f（x）-A|<ε，

則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于+∞時(shí)以A為極限，記作

f（x）=A或f（x）→A（x→∞）

例1.2 證明=0。

證 任給ε>0，取=M，則當(dāng)|x|>M時(shí)有

|-0|=<=ε

所以=0.

2.利用兩個(gè)重要的極限求極限

=1;=e

例2.1 求（1+2x）。

解（1+2x）=[（1+2x）.（1+2x）]=e2。

3.利用變量替換及等價(jià)無(wú)窮小量求極限

通過(guò)變量替換，把求某個(gè)極限轉(zhuǎn)化為求另一個(gè)極限，若后者是已知的，則問(wèn)題就解決了。

（1）設(shè)φ（x）=+∞，f（u）=A，則f[φ（x）]=f（u）=A，（u=φ（x））。

例3.1 求[x-x2ln（1+）]

解 用變量替換法，令x=，則

原式=[-]==

==

（2）常用的等價(jià)無(wú)窮小：當(dāng)x→0時(shí)，sinx～x，tanx～x，（1+x）α～1+ax，arctanx～x，1-cosx～，ln（1+x）～x，ex-1～x。

4.用洛比達(dá)法則求極限

洛比達(dá)法則只直接適用于型和型不定式極限，0·∞，1∞，0o，∞o，∞，-∞等類型，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單變換，可化為型或型極限。

例4.1求x·lnx

解 由是0·∞型不定式極限，有恒等xlnx=轉(zhuǎn)化為型不定式極限。

所以，原式===0

5.利用歸結(jié)原則求極限

歸結(jié)原則：f（x）=A?對(duì)任何xn→x0（n→∞）有f（xn）=A。

6.利用拉格朗日中值定理求極限

定理[1]若函數(shù)f（x）滿足如下條件：

①在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù);

②在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)。

則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）（1）

或者f（b）-f（a）=f′（a+θ（b-a））（b-a） （0<θ<1）（2）

在教學(xué)過(guò)程中可將這些求一元函數(shù)極限的方法充分運(yùn)用于教學(xué)實(shí)踐中，能使學(xué)生在解題過(guò)程中享受創(chuàng)造的樂(lè)趣，從而能夠激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和刻苦研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的熱情和毅力，培養(yǎng)學(xué)生縝密的思維能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際生活中遇到的各類問(wèn)題。

【參考文獻(xiàn)】

[1]趙顯曾，黃安才著.數(shù)學(xué)分析的方法與題解.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2005.3

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.上冊(cè).北京：高等教育出版社，2006.8

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.下冊(cè).北京：高等教育出版社，2006.6

[4]李志林.高等數(shù)學(xué)：經(jīng)濟(jì)管理、計(jì)算機(jī)類.西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2008.7

[5]數(shù)學(xué).中國(guó)就業(yè)培訓(xùn)技術(shù)指導(dǎo)中心組織編寫.北京：中國(guó)勞動(dòng)社會(huì)保障出版社，2002.3

[6]李永樂(lè)，李正元.考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書.國(guó)家行政學(xué)院出版社，2011.2

[7]陳文燈，黃先開(kāi).主編.考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南.北京理工大學(xué)出版社，2012.1

（作者單位：陜西省商業(yè)學(xué)校）