淺談結合圖形分析有關上？琢分位點的問題

侯英

摘 要：上？琢分位點的概念在區間估計和假設檢驗的公式推導中都有應用，如果利用各分布的概率密度圖象分析有關問題，將有助于學生理解所學的內容。

關鍵詞：上？琢分位點；置信區間；假設檢驗

上？琢分位點的概念在概率論與數理統計中占有重要的位置，它是教學中的一個難點，通常學生理解起來總感覺困難。如何能更好地掌握它，直接影響著對數理統計知識的學習。下面以正態分布為例，從幾個方面探討利用概率密度的圖象分析與上？琢分位點有關的問題。

1 結合圖形理解定義

定義：設X～N（0，1），若u？琢滿足條件P{X>u？琢}=？琢，0<？琢<1，則稱點u？琢為標準正態分布的上？琢分位點。

圖1 圖2

對于這個定義，我們可以結合圖1說明：根據定積分的幾何意義，P{X>u？琢}=■？漬（x）dx表示從點u？琢到正無窮，直線x=u？琢、曲線？漬（x）和x軸所夾部分的面積，其值為？琢，與u的下標一致。而u？琢這點就稱為上？琢分位點，它的具體數值可以通過查標準正態分布表求得。例如：已知X～N（0，1），P{X>u0.05}=0.05，求u0.05的值。由于P{X>u0.05}=1-P{X？燮u0.05}，所以P{X？燮u0.05}=？椎（u0.05）=1-0.05=0.95。查表得？椎（1.65）≈0.95，所以上？琢分位點u0.05的值就是1.65。通過畫圖解釋定義，學生可以形象地理解它的含義，符號和數值之間的關系也一目了然；另一方面，對抽樣分布涉及的？字2分布、 t分布和F分布的上？琢分位點的概念，學生會以此類推，很容易掌握，大大化解了教學中的難點。

2 結合圖形求置信區間

首先給出置信區間的定義：設總體X的分布函數F（x；？茲）含有一個未知參數？茲。對于給定值？琢（0<？琢<1），若由樣本X1，X2，...，Xn，確定的兩個統計量■=■（X1，X2，…，Xn）和■=■（X1，X2，…，Xn）滿足P{■（X1，X2，…，Xn）<？茲<■（X1，X2，…，Xn}=1-？琢，則稱隨機區間（■，■）是？茲的置信度為1-？琢的置信區間。

例：設總體X～N（？滋，？滓2），？滓2已知，？滋未知，設X1，X2，…，Xn是來自X的樣本，求？滋的置信度為1-？琢的置信區間。

解：因為■～N（0，1），由標準正態分布的上？琢分位點的定義和其概率密度圖象的軸對稱性，有P{■

如圖2，即在點-z？琢/2和z？琢/2的兩側，曲線和x軸所夾的面積都是■，所以直線x=-z？琢/2、x=z？琢/2、曲線f（x）和x軸所圍成的面積就是1-？琢，符合置信度為1-？琢的置信區間的定義。（1）式去掉絕對值變形為P{■-■z？琢/2<？滋<■+■z？琢/2}=1-？琢，于是得到？滋的置信度為1-？琢的置信區間

（■-■z？琢/2，■+■z？琢/2）

這里通過上？琢分位點的定義，很容易得到（1）式，且符合置信區間的定義。同樣，若？滓2未知，求？滋的置信度為1-？琢的置信區間，以及求？滓2的置信區間，都可以用圖象進行分析。

3 結合圖形求假設檢驗中的拒絕域

以u檢驗中的雙側檢驗為例。

設總體X服從正態分布X～N（？滋，？滓2），X1，X2，…，Xn為一個取自總體X的樣本，樣本均值X=■■Xi，顯著性水平為？琢。當？滓2為已知時，檢驗假設H0：？滋=？滋0，H1：？滋≠？滋0。

因為■～N（？滋，■），則U=■～N（0，1）。由P{|U|>u？琢/2}=？琢查標準正態分布表得臨界值u■，于是求得H0的拒絕域為（-∞，-u■）∪（u■，+∞）。這里臨界值u？琢/2的確定需要通過標準正態分布的概率密度圖象，借助上？琢分位點的定義。由圖2可以看出，當x>u？琢/2時（這里的u？琢/2相當于z？琢/2），曲線與x軸所夾的面積是■，即P{U>u？琢/2}=■，因此當x≤u？琢/2時，曲線與x軸所夾的面積為1-■，即？椎（u？琢/2）=P{U≤u？琢/2}=1-■，這樣就可以查標準正態分布表求u？琢/2的值了。

例如：已知顯著性水平？琢=0.05，則在？滓2已知，檢驗假設H0：？滋=？滋0，H1：？滋≠？滋0的條件下，由上面的公式可以得到？椎（u？琢/2）=？椎（u0.025）=1-■=1-0.025=0.975，查表得？椎（1.96）=0.975，所以u0.025=1.96，故H0的拒絕域為（-∞，-1.96）∪，（1.96，+∞）。

類似地，對于t檢驗法和？字2檢驗法都可以借助相應分布的概率密度圖象，分析各種檢驗假設的拒絕域問題。

教學實踐表明，結合圖形分析有關上？琢分位點的問題，有助于學生更好地理解公式的由來，便于他們記憶和掌握所學的知識，從而進一步提高了教學效果。

參考文獻

[1]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，1989，8.

摘 要：上？琢分位點的概念在區間估計和假設檢驗的公式推導中都有應用，如果利用各分布的概率密度圖象分析有關問題，將有助于學生理解所學的內容。

關鍵詞：上？琢分位點；置信區間；假設檢驗

上？琢分位點的概念在概率論與數理統計中占有重要的位置，它是教學中的一個難點，通常學生理解起來總感覺困難。如何能更好地掌握它，直接影響著對數理統計知識的學習。下面以正態分布為例，從幾個方面探討利用概率密度的圖象分析與上？琢分位點有關的問題。

1 結合圖形理解定義

定義：設X～N（0，1），若u？琢滿足條件P{X>u？琢}=？琢，0<？琢<1，則稱點u？琢為標準正態分布的上？琢分位點。

圖1 圖2

對于這個定義，我們可以結合圖1說明：根據定積分的幾何意義，P{X>u？琢}=■？漬（x）dx表示從點u？琢到正無窮，直線x=u？琢、曲線？漬（x）和x軸所夾部分的面積，其值為？琢，與u的下標一致。而u？琢這點就稱為上？琢分位點，它的具體數值可以通過查標準正態分布表求得。例如：已知X～N（0，1），P{X>u0.05}=0.05，求u0.05的值。由于P{X>u0.05}=1-P{X？燮u0.05}，所以P{X？燮u0.05}=？椎（u0.05）=1-0.05=0.95。查表得？椎（1.65）≈0.95，所以上？琢分位點u0.05的值就是1.65。通過畫圖解釋定義，學生可以形象地理解它的含義，符號和數值之間的關系也一目了然；另一方面，對抽樣分布涉及的？字2分布、 t分布和F分布的上？琢分位點的概念，學生會以此類推，很容易掌握，大大化解了教學中的難點。

2 結合圖形求置信區間

首先給出置信區間的定義：設總體X的分布函數F（x；？茲）含有一個未知參數？茲。對于給定值？琢（0<？琢<1），若由樣本X1，X2，...，Xn，確定的兩個統計量■=■（X1，X2，…，Xn）和■=■（X1，X2，…，Xn）滿足P{■（X1，X2，…，Xn）<？茲<■（X1，X2，…，Xn}=1-？琢，則稱隨機區間（■，■）是？茲的置信度為1-？琢的置信區間。

例：設總體X～N（？滋，？滓2），？滓2已知，？滋未知，設X1，X2，…，Xn是來自X的樣本，求？滋的置信度為1-？琢的置信區間。

解：因為■～N（0，1），由標準正態分布的上？琢分位點的定義和其概率密度圖象的軸對稱性，有P{■

如圖2，即在點-z？琢/2和z？琢/2的兩側，曲線和x軸所夾的面積都是■，所以直線x=-z？琢/2、x=z？琢/2、曲線f（x）和x軸所圍成的面積就是1-？琢，符合置信度為1-？琢的置信區間的定義。（1）式去掉絕對值變形為P{■-■z？琢/2<？滋<■+■z？琢/2}=1-？琢，于是得到？滋的置信度為1-？琢的置信區間

（■-■z？琢/2，■+■z？琢/2）

這里通過上？琢分位點的定義，很容易得到（1）式，且符合置信區間的定義。同樣，若？滓2未知，求？滋的置信度為1-？琢的置信區間，以及求？滓2的置信區間，都可以用圖象進行分析。

3 結合圖形求假設檢驗中的拒絕域

以u檢驗中的雙側檢驗為例。

設總體X服從正態分布X～N（？滋，？滓2），X1，X2，…，Xn為一個取自總體X的樣本，樣本均值X=■■Xi，顯著性水平為？琢。當？滓2為已知時，檢驗假設H0：？滋=？滋0，H1：？滋≠？滋0。

因為■～N（？滋，■），則U=■～N（0，1）。由P{|U|>u？琢/2}=？琢查標準正態分布表得臨界值u■，于是求得H0的拒絕域為（-∞，-u■）∪（u■，+∞）。這里臨界值u？琢/2的確定需要通過標準正態分布的概率密度圖象，借助上？琢分位點的定義。由圖2可以看出，當x>u？琢/2時（這里的u？琢/2相當于z？琢/2），曲線與x軸所夾的面積是■，即P{U>u？琢/2}=■，因此當x≤u？琢/2時，曲線與x軸所夾的面積為1-■，即？椎（u？琢/2）=P{U≤u？琢/2}=1-■，這樣就可以查標準正態分布表求u？琢/2的值了。

例如：已知顯著性水平？琢=0.05，則在？滓2已知，檢驗假設H0：？滋=？滋0，H1：？滋≠？滋0的條件下，由上面的公式可以得到？椎（u？琢/2）=？椎（u0.025）=1-■=1-0.025=0.975，查表得？椎（1.96）=0.975，所以u0.025=1.96，故H0的拒絕域為（-∞，-1.96）∪，（1.96，+∞）。

類似地，對于t檢驗法和？字2檢驗法都可以借助相應分布的概率密度圖象，分析各種檢驗假設的拒絕域問題。

教學實踐表明，結合圖形分析有關上？琢分位點的問題，有助于學生更好地理解公式的由來，便于他們記憶和掌握所學的知識，從而進一步提高了教學效果。

參考文獻

[1]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，1989，8.

摘 要：上？琢分位點的概念在區間估計和假設檢驗的公式推導中都有應用，如果利用各分布的概率密度圖象分析有關問題，將有助于學生理解所學的內容。

關鍵詞：上？琢分位點；置信區間；假設檢驗

上？琢分位點的概念在概率論與數理統計中占有重要的位置，它是教學中的一個難點，通常學生理解起來總感覺困難。如何能更好地掌握它，直接影響著對數理統計知識的學習。下面以正態分布為例，從幾個方面探討利用概率密度的圖象分析與上？琢分位點有關的問題。

1 結合圖形理解定義

定義：設X～N（0，1），若u？琢滿足條件P{X>u？琢}=？琢，0<？琢<1，則稱點u？琢為標準正態分布的上？琢分位點。

圖1 圖2

對于這個定義，我們可以結合圖1說明：根據定積分的幾何意義，P{X>u？琢}=■？漬（x）dx表示從點u？琢到正無窮，直線x=u？琢、曲線？漬（x）和x軸所夾部分的面積，其值為？琢，與u的下標一致。而u？琢這點就稱為上？琢分位點，它的具體數值可以通過查標準正態分布表求得。例如：已知X～N（0，1），P{X>u0.05}=0.05，求u0.05的值。由于P{X>u0.05}=1-P{X？燮u0.05}，所以P{X？燮u0.05}=？椎（u0.05）=1-0.05=0.95。查表得？椎（1.65）≈0.95，所以上？琢分位點u0.05的值就是1.65。通過畫圖解釋定義，學生可以形象地理解它的含義，符號和數值之間的關系也一目了然；另一方面，對抽樣分布涉及的？字2分布、 t分布和F分布的上？琢分位點的概念，學生會以此類推，很容易掌握，大大化解了教學中的難點。

2 結合圖形求置信區間

首先給出置信區間的定義：設總體X的分布函數F（x；？茲）含有一個未知參數？茲。對于給定值？琢（0<？琢<1），若由樣本X1，X2，...，Xn，確定的兩個統計量■=■（X1，X2，…，Xn）和■=■（X1，X2，…，Xn）滿足P{■（X1，X2，…，Xn）<？茲<■（X1，X2，…，Xn}=1-？琢，則稱隨機區間（■，■）是？茲的置信度為1-？琢的置信區間。

例：設總體X～N（？滋，？滓2），？滓2已知，？滋未知，設X1，X2，…，Xn是來自X的樣本，求？滋的置信度為1-？琢的置信區間。

解：因為■～N（0，1），由標準正態分布的上？琢分位點的定義和其概率密度圖象的軸對稱性，有P{■

如圖2，即在點-z？琢/2和z？琢/2的兩側，曲線和x軸所夾的面積都是■，所以直線x=-z？琢/2、x=z？琢/2、曲線f（x）和x軸所圍成的面積就是1-？琢，符合置信度為1-？琢的置信區間的定義。（1）式去掉絕對值變形為P{■-■z？琢/2<？滋<■+■z？琢/2}=1-？琢，于是得到？滋的置信度為1-？琢的置信區間

（■-■z？琢/2，■+■z？琢/2）

這里通過上？琢分位點的定義，很容易得到（1）式，且符合置信區間的定義。同樣，若？滓2未知，求？滋的置信度為1-？琢的置信區間，以及求？滓2的置信區間，都可以用圖象進行分析。

3 結合圖形求假設檢驗中的拒絕域

以u檢驗中的雙側檢驗為例。

設總體X服從正態分布X～N（？滋，？滓2），X1，X2，…，Xn為一個取自總體X的樣本，樣本均值X=■■Xi，顯著性水平為？琢。當？滓2為已知時，檢驗假設H0：？滋=？滋0，H1：？滋≠？滋0。

因為■～N（？滋，■），則U=■～N（0，1）。由P{|U|>u？琢/2}=？琢查標準正態分布表得臨界值u■，于是求得H0的拒絕域為（-∞，-u■）∪（u■，+∞）。這里臨界值u？琢/2的確定需要通過標準正態分布的概率密度圖象，借助上？琢分位點的定義。由圖2可以看出，當x>u？琢/2時（這里的u？琢/2相當于z？琢/2），曲線與x軸所夾的面積是■，即P{U>u？琢/2}=■，因此當x≤u？琢/2時，曲線與x軸所夾的面積為1-■，即？椎（u？琢/2）=P{U≤u？琢/2}=1-■，這樣就可以查標準正態分布表求u？琢/2的值了。

例如：已知顯著性水平？琢=0.05，則在？滓2已知，檢驗假設H0：？滋=？滋0，H1：？滋≠？滋0的條件下，由上面的公式可以得到？椎（u？琢/2）=？椎（u0.025）=1-■=1-0.025=0.975，查表得？椎（1.96）=0.975，所以u0.025=1.96，故H0的拒絕域為（-∞，-1.96）∪，（1.96，+∞）。

類似地，對于t檢驗法和？字2檢驗法都可以借助相應分布的概率密度圖象，分析各種檢驗假設的拒絕域問題。

教學實踐表明，結合圖形分析有關上？琢分位點的問題，有助于學生更好地理解公式的由來，便于他們記憶和掌握所學的知識，從而進一步提高了教學效果。

參考文獻

[1]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，1989，8.