GOM和時間序列組合模型在地表沉降預測中的應用

唐佑輝，黃 騰，趙兵帥

（河海大學 地球科學與工程學院，江蘇 南京210098）

在對序列建模預測預報方面，傳統GM（1，1）模型的建立都是基于正向累加數據，越舊的數據占的權重越大，而對沉降監測這種實時系統而言，最新的數據越能反映目前沉降的趨勢，對未來監測的預報更有準確性［1］。而時間序列要求數據序列平穩，需對數據進行差分處理，造成對殘差信息的浪費，導致精度不理想［2］。由于變形體的變形通常是非平穩序列，通常包括趨勢項和隨機項，單純采用灰色模型或時間序列模型進行建模預測，精度不是很好［3］。因此，本文結合改進反向累加灰色模型GOM用以提取趨勢項，對剩余平穩殘差采用時間序列AR模型建模，達到了很高的預測精度。

1 反向累加灰色模型GOM

1.1 普通灰色GM模型的建立

自從灰色GM（1，1）模型提出后，以其建模數據少、建模簡單、短期預報可靠等特點，已經在人口、經濟、生態、水文、變形監測等許多領域得到廣泛應用［4］。

已知原始非負序列 x（0）＝｛x（0）（1），x（0）（2），x（0）（3），…，x（0）（n）｝，一次正向累加生成新序列x（1）＝｛x（1）（1），x（1）（2），x（1）（3），…，x（1）（n）｝，其中：

可建立灰色 GM（1，1）模型

1.2 基于反向累加的GOM模型

設x（0）為非負準光滑序列，則x（0）的一次累加生成序列x（1）具有準指數規律，普通灰色模型GM（1，1）正是依此理論基礎進行建模預測的。如果一次累加后的曲線不光滑，則二次累加后的序列就比較光滑，假定一個3項的觀測序列｛x（0）（1），x（0）（2），x（0）（3）｝，一次正向累加后的序列為｛x（0）（1），x（0）（1）＋ x（0）（2），x（0）（1）＋ x（0）（2）＋ x（0）（3）｝，可見一次正向累加序列每一項均含有原始序列中的最“陳舊”的數據x（0）（1）。對一次累加序列而言，x（0）（1）在新序列中占得權可以看做是含有x（0）（1）的項占新序列總元素數的比例，可以看出在一次正向累加序列中x（0）（1）占得權為1，而在一次反向累加序列中x（0）（1）占得權為1／3，最新的數據x（0）（3）占得權為1。事實上，對于沉降這樣一個動態過程或動態系統而言，越新的數據越能代表當前的狀態和未來的發展趨勢，在建模中占的權應越大。但是對基于一次累加生成的GM（1，1）模型而言，越舊的數據在模型中占的權反而越大，這對沉降監測系統而言顯然是不合理的。

定義1設原始序列為x（0）＝｛x（0）（1），x（0）（2），x（0）（3），…，x（0）（n）｝，令

稱 x（1）＝ ｛x（1）（1），x（1）（2），x（1）（3），…，x（1）（n）｝為x（0）的一次反向累加序列。

定義2設原始序列為 x（0）＝｛x（0）（1），x（0）（2），x（0）（3），…，x（0）（n）｝，取

則x（-1）＝（x（-1）（-1），x（-1）（2），…，x（-1）（n））稱為x（0）的一次反向累減生成序列。易知，反向累加、累減生成是互逆運算，并且

通過上述兩定義可知，x（0）的一次反向累加生成序列通過一次反向累減生成還原為原始序列。依據反向累加數據x（1）即可建立反向累加灰色模型GOM。

1.3 改進傳統GOM模型背景值

在解求參數a，u的過程中背景值的選擇至關重要，在傳統GM和GOM模型中一般取兩點間觀測值的平均，即用梯形的面積替代曲線下的面積，但這樣會產生以直代曲的誤差，但當數據經過一次反向累加后曲線較陡峭時，會產生較大誤差。而現有對背景值的研究表明從背景值的幾何意義出發，應用齊次指數曲線在區間［k-1，k］上的積分即曲線與x軸圍成的面積作為背景值，可以更充分、準確地反映出背景值的真實情況［4］。可推導出GOM（1，1）模型改進的背景值計算公式為

可得到改進的GOM模型的白化方程為

則方程（1）的時間響應序列為

模擬值為

2 GOM和時間序列模型的建立及預測步驟

1）對n個觀測序列數據x0（t）（t＝1，2，…，n），建立改進反向累加灰色模型GOM（1，1），并求出殘差向量序列｛yt｝（t＝1，2，…，n），yt＝x0（t）-（t）；

2）用步驟1）的殘差向量序列｛yt｝的絕對值組成一正置序列；

3）對步驟2）組成的正置序列用最小二乘算法計算φi（1，2，…，p）；并進行偏相關函數截尾性檢驗，初步判斷模型的類別。若偏相關函數具有截尾性則為AR模型，繼續進行下面的步驟；

5）用F檢驗準則檢驗AR（p）是否合適，若不合適，則階數為p＋1，返回4），或與BIC準則相結合進行綜合判斷，決定是否增加階數；

6）用改進反向累加灰色模型GOM和AR（p）模型的組合模型GOM-AR進行預測：

其中等號右側第1項為改進反向累加灰色模型預測公式，第2項為時間序列模型預測公式。

3 GOM和時間序列模型的實際應用

表1是某地鐵隧道一號線縱線地表上的3號沉降監測數據［5］，共觀測了55期沉降數據。

表1 地表沉降監測數據

首先用前45期的數據建立改進的反向累加灰色模型GOM（1，1）進行沉降序列趨勢項的提取，通過計算可得參數a＝0.072 7，b＝-0.080 6，可得模擬值公式

通過計算可得前45期的殘差圖，可以看出殘差序列基本平穩，明顯消除了趨勢性，且通過ADF檢驗殘差序列的平穩性，殘差圖如圖1所示。

圖1 GOM模型模擬殘差圖

經計算當p＝2時，偏自相關系數截尾，自相關系數拖尾，因此，對殘差序列可建立AR（2）模型，且AR（2）通過了F準則檢驗，利用最小二乘原理可計算得ψ1＝0.331 6，ψ2＝0.099 3，所以AR（2）模型為

因此，可以建立改進反向累加灰色模型GOM和時間序列AR（2）模型的組合模型為

利用建立的GOM-AR模型對后10期（46～55期）數據進行預測，并與實測值比較，如圖2所示，表2同時列出了采用單一改進反向累加灰色模型GOM預測誤差。

表2 46～55期數據預測值與實測值

圖2 預測值與實測值比較

從圖2可以看出無論是單一改進GOM預測模型還是GOM-AR模型預測值均比實測值要小，GOM-AR組合模型預測值要更接近實測值。從圖3GOM與GOM-AR組合模型預測殘差圖可以明顯看出采用GOM-AR模型預測的殘差值均小于單一GOM模型，GOM-AR模型預測誤差約0.1mm，GOM模型預測誤差約0.15mm。可以看出兩種擬合模型對近期的預報誤差較小，隨著期數的增加預報誤差變大。

圖3 GOM與GOM-AR組合模型預測殘差

4 結束語

對沉降觀測系統而言，采用反向累加模型讓最新的數據在模型中所占的權重較大，對于后期的數據預測才更準確，更能反映實際的沉降趨勢。采用灰色模型和時間序列的組合模型，不僅能反映沉降系統的趨勢性，同時能反映其隨機性，符合沉降數據的規律，并且組合模型在數據預測方面的精度優于單一模型，具有一定的實際應用價值。本文還可得出對這種沉降趨勢明顯的序列，單一的GOM模型預測精度也達到了0.2mm以內，采用灰色模型和時間序列的組合模型對近期的預測精度有一定的提高，隨著期數的增加精度提高不是很明顯。對沉降趨勢不明顯的序列，灰色模型和時間序列的組合模型的預測精度還有待進一步研究。

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