基于問題 成于發現

邢成云

愛因斯坦曾經說過：“提出一個問題比解決一個問題更重要。”世界上許多發明創造都源于“疑問”，質疑是開啟創新之門的鑰匙，但要學生能發現問題、提出問題，能主動地質疑問難，就需要執教者營造一個激發學生動機的場。一元二次方程是初中學段的核心知識，也是落實數學應用價值的良好素材。但作為復習課，若處理不慎，學生往往情緒不高，這種“似曾相識”、沒有多少新鮮度的課堂，難有心靈的震撼、智能的挑戰。基于現實，需要讓復習課沖破常態的平淡，通過具有挑戰性的問題，激發學生的學習欲望，讓學生體悟到復習課同樣思維靈動、激情四射！通過“學答”到“學問”的轉變，培養學生的問題意識，發展創新思維，讓復習課成為知識內化、方法再建、思想升華的平臺。

開放思維，啟動課堂

師：根據自己對一元二次方程概念的理解，能寫出一個你喜歡的一元二次方程嗎？（生板演，其他同學互查）

生1：2x2+3x-4=0（1）

生2： x2-x-3=0（2）

生3：2x2+ x-3=0（3）

生4：x2-3=0 （4）

生5：x2+5x=0（5）

生6：ax2+bx+c=0（6）

師：就這6位同學寫出的6個方程（為表述方便，編了序號），誰能提出一些問題供同學們思考？

生7：判斷他們寫的方程是否是一元二次方程？

生8：分別解這些方程。

生9：不解方程，判斷這些方程實數根的情況。

生10：不解方程，求每一個一元二次方程兩根的平方和？

…………

師：同學們表現非同一般，能提出這么多好問題！下面我們首先解答生7提出的問題。

大部分認為方程（1）～（5）都是一元二次方程，而（6）不是，有少數同學質疑方程（3）和（6）。

師：既然有不同的聲音，我們就重新審視一下方程（3）、（6），認為（3）不是一元二次方程的同學，有誰說一下自己的理由是什么？

生11：因為里面有無理數 ，而一元二次方程需要保證是整式方程。

生（眾）： 是無理數沒錯，但它也是整式啊！

師：同學們說得對，縱然是無理數，但屬于整式中的單項式，因為——

生（眾）：單獨的一個數或一個字母都是單項式。

師：對（6）有疑問的同學請回答。

生12：老師，我現在知道了，需要a、b、c為常數，并且a不等于0才行。

師（追問）：哪你能寫出一個含字母的一元二次方程嗎？

生12：能，3x2+px+q=0，p、q都是常數。

師：好！不錯。對于解方程，我相信同學們都能操作，現在我們不具體求解，看分別用什么方法較為合適？

生（眾）：（1）求根公式法，（2）配方法，（3）求根公式法，（4）直接開平方法，（5）因式分解法。

…………

在本教學片段中，教師以開放題“根據自己對一元二次方程概念的理解，能寫出一個你喜歡的一元二次方程嗎”為先行組織者，誘發學生的問題欲，然后以問題：“就這6位同學寫出的6個方程，誰能提出一些問題供同學們思考？”乘勝追擊，引出其定義、解法、根的存在情況及其根與系數關系等知識，在交流中加深了對它們的理解，發展了思維能力，培養了問題意識；另外，通過交流活動，讓學生進一步感知到方程個性特點對優化選擇解方程方法的定位，滲透了解題的策略意識。從這一教學片段中不難發現，不管學生的數學水平高低，他們都帶著自己的知識經驗、思考、靈感參與到課堂教學活動中來，給課堂注入了活力，學生在多變情境的交互作用與思維的碰撞中，不斷萌生出了新的問題（如一開始的6個方程、生7至生10的4個問題），見證了學生不凡的思考能力。作為課堂的組織者，教師及時甄別并捕捉到了這些生成性資源，或追問、或轉問、或評點激勵、或留白蓄勢，將其整合、組織、協調、策劃，把它們作為進一步開展教學的素材，問題意識就在這你來我往的過程中得以滋養、得以涵育。

值得稱道的是，教師有意識地引導學生自己提出問題，開辟了學生問題意識涵育的重要路徑，能讓學生親身體驗到問題的提出不只是教師的專利，學生同樣可以有自己的問題，可以解答自己的問題，而不僅是解答教師提出的問題，這種編擬問題的成就感會推動學生的深度思考，會有助于學生思維的發展，為創新意識的萌動積蓄能量。

縱向變式，引申課堂

師：好，同學們提出了這么多問題，并做了解答，特別是識別出了生6提供的方程不是一元二次方程，表現不錯。下面哪一位同學對方程1做一下改造，使得系數變為待定字母，給學習增加一點挑戰性。

生1：我變二次項系數，把“2”改為“2m-1”。

師（板書出來）：（2m-1）x2+3x-4 =0，這還是一元二次方程嗎？

（學生有的說是，有的說不是）

師：為何不一致了，到底是不是呢？請同學們思考后交流。

生2：當m為常數時，就是一元二次方程；可以說是關于x的一元二次方程……

師：同學們說得合理嗎？

生3：要保證是一元二次方程，需要2m-1≠0，

師：對，只有界定了2m-1≠0，才能保證它是關于x的一元二次方程，否則，就是一元一次方程了。這是這類問題的一道坎，需要我們當心！剛才同學們說得都非常好，說明大家對概念領會得不錯。

師：我們就這一方程（2m-1）x2+3x-4=0，能否再提出幾個問題供思考、解答？

（甄別選擇，鎖定以下7個問題，并編序號（7）～（12））：

生2：（7）m為何值時，方程有兩個不同的實數根？

生3：（8）m為何值時，方程有兩個相同的實數根？endprint

生4：（9）m為何值時，方程沒有實數根？

生5：（10）m為何值時，方程有實數根？

生6：（11）若方程的一個根為1，求m的值，并求方程的另外一個根是多少？

生7：（12）m為何值時，方程的兩根互為倒數？

…………

師：同學們都有了自己的問題，現在呈現給大家6個較為典型的問題，請各位同學先思考定位，不具體求解，5分鐘后交流思路。

生8：問題（7），讓根的判別式大于0，然后解關于m的不等式。

生9（反駁）：不行，要用根的判別式，需要保證它是一元二次方程，本題說“方程有兩個不同的實數根”暗示了這是個一元二次方程，因此要補上“2m-1≠0”！

生10：問題（8），在2m-1≠0的前提下，讓Δ=0，解方程后綜合確定即可。

生11：問題（9），在2m-1≠0的前提下，讓Δ<0，解它們組成的不等式組即可。

生12（質疑）：不用考慮2m-1≠0，因為若2m-1=0，它就是一元一次方程3x-4=0，一定有實根。

師（點評）：這位同學認識深刻，想得全面，的確，不需要考慮2m-1的限制，若改為“m為何值時，一元二次方程沒有實數根”同學們認為該如何思考？

生（眾）：那就必須保證2m-1≠0！

師：說得好！有時候區別就在細節上，認真審題至關重要！

生13：問題（10），我認為它就是問題（7）、（8）綜合在一塊，在2m-1≠0的前提下，讓Δ≥0，解它們組成的不等式組即可。

生14：方程有實根，并沒有說有兩個實根，因此，只考慮當2m-1≠0時Δ≥0，不全面，還需要考慮2m-1=0的時候。

…………

從邏輯上講，一元二次方程的定義、解法、根的判別式、根與系數的關系環環相扣、層層推進，構成了一個完整的、無缺口的單元知識鏈結構。而學生在知識結構的構建、理解上的偏差和學習上的遺忘等諸多原因，表現在“四基”上常常會出現缺口。因此，對學生而言，它可能是一個不完備的數學知識結構體系。基于此，教師在教學片段一的基礎上，以問題“哪一位同學對方程（1）做一下改造，使得系數變為待定字母，給學習增加一點挑戰性”起承，以“我們就這一方程（2m-1）x2+3x-4=0，能否再提出幾個問題供思考、解答”轉合，再次放逐學生的思維，通過變動二次項系數，由“靜”變“動”，拉大思維的場域，組織學生再次思維沖浪，把知識鏈二次凸顯出來，形成新的經驗，為以后的遷移造勢、蓄能。整個教學片段，立足于知識的通透穩固、思維的縝密深入，在學生編擬題目與形成思路的過程中，教師有效地發揮了主導作用，通過變式與學生的深度參與，加強了對“四基”的梳理，使它們能順利鏈接、有效融合，實現了“厚積”“薄發”，提高了綜合運用知識的能力。

“發現問題、提出問題”是發展學生合情推理與邏輯推理的出發點，是發展思維的入口，不管是哪一類課型，學生能力的發展應當成為課堂的主脈。縱觀這兩個教學片段，執教者自始至終以激發學生的問題欲、激活學生的問題因子為先導，都在引領學生自己提出問題上下足了功夫，通過問題的一路開放，誘使學生主動提出問題、創編問題。使得不同層次的學生都有話可說，不至于在復習課上被邊緣化，大大提高了學生的參與熱情與參與度。“問題讓學生提，方法讓學生悟，思路讓學生講，錯誤讓學生析”在本節課得以真情“綻放”。（本文系山東省教學研究課題——全息教學論下的跨越式教學（課題編號：pt-20120126）的階段性成果之一。 ）

責任編輯 周瑜芽

E-mail：jxjyzyy@163.comendprint

生4：（9）m為何值時，方程沒有實數根？

生5：（10）m為何值時，方程有實數根？

生6：（11）若方程的一個根為1，求m的值，并求方程的另外一個根是多少？

生7：（12）m為何值時，方程的兩根互為倒數？

…………

師：同學們都有了自己的問題，現在呈現給大家6個較為典型的問題，請各位同學先思考定位，不具體求解，5分鐘后交流思路。

生8：問題（7），讓根的判別式大于0，然后解關于m的不等式。

生9（反駁）：不行，要用根的判別式，需要保證它是一元二次方程，本題說“方程有兩個不同的實數根”暗示了這是個一元二次方程，因此要補上“2m-1≠0”！

生10：問題（8），在2m-1≠0的前提下，讓Δ=0，解方程后綜合確定即可。

生11：問題（9），在2m-1≠0的前提下，讓Δ<0，解它們組成的不等式組即可。

生12（質疑）：不用考慮2m-1≠0，因為若2m-1=0，它就是一元一次方程3x-4=0，一定有實根。

師（點評）：這位同學認識深刻，想得全面，的確，不需要考慮2m-1的限制，若改為“m為何值時，一元二次方程沒有實數根”同學們認為該如何思考？

生（眾）：那就必須保證2m-1≠0！

師：說得好！有時候區別就在細節上，認真審題至關重要！

生13：問題（10），我認為它就是問題（7）、（8）綜合在一塊，在2m-1≠0的前提下，讓Δ≥0，解它們組成的不等式組即可。

生14：方程有實根，并沒有說有兩個實根，因此，只考慮當2m-1≠0時Δ≥0，不全面，還需要考慮2m-1=0的時候。

…………

從邏輯上講，一元二次方程的定義、解法、根的判別式、根與系數的關系環環相扣、層層推進，構成了一個完整的、無缺口的單元知識鏈結構。而學生在知識結構的構建、理解上的偏差和學習上的遺忘等諸多原因，表現在“四基”上常常會出現缺口。因此，對學生而言，它可能是一個不完備的數學知識結構體系。基于此，教師在教學片段一的基礎上，以問題“哪一位同學對方程（1）做一下改造，使得系數變為待定字母，給學習增加一點挑戰性”起承，以“我們就這一方程（2m-1）x2+3x-4=0，能否再提出幾個問題供思考、解答”轉合，再次放逐學生的思維，通過變動二次項系數，由“靜”變“動”，拉大思維的場域，組織學生再次思維沖浪，把知識鏈二次凸顯出來，形成新的經驗，為以后的遷移造勢、蓄能。整個教學片段，立足于知識的通透穩固、思維的縝密深入，在學生編擬題目與形成思路的過程中，教師有效地發揮了主導作用，通過變式與學生的深度參與，加強了對“四基”的梳理，使它們能順利鏈接、有效融合，實現了“厚積”“薄發”，提高了綜合運用知識的能力。

“發現問題、提出問題”是發展學生合情推理與邏輯推理的出發點，是發展思維的入口，不管是哪一類課型，學生能力的發展應當成為課堂的主脈。縱觀這兩個教學片段，執教者自始至終以激發學生的問題欲、激活學生的問題因子為先導，都在引領學生自己提出問題上下足了功夫，通過問題的一路開放，誘使學生主動提出問題、創編問題。使得不同層次的學生都有話可說，不至于在復習課上被邊緣化，大大提高了學生的參與熱情與參與度。“問題讓學生提，方法讓學生悟，思路讓學生講，錯誤讓學生析”在本節課得以真情“綻放”。（本文系山東省教學研究課題——全息教學論下的跨越式教學（課題編號：pt-20120126）的階段性成果之一。 ）

責任編輯 周瑜芽

E-mail：jxjyzyy@163.comendprint

生4：（9）m為何值時，方程沒有實數根？

生5：（10）m為何值時，方程有實數根？

生6：（11）若方程的一個根為1，求m的值，并求方程的另外一個根是多少？

生7：（12）m為何值時，方程的兩根互為倒數？

…………

師：同學們都有了自己的問題，現在呈現給大家6個較為典型的問題，請各位同學先思考定位，不具體求解，5分鐘后交流思路。

生8：問題（7），讓根的判別式大于0，然后解關于m的不等式。

生9（反駁）：不行，要用根的判別式，需要保證它是一元二次方程，本題說“方程有兩個不同的實數根”暗示了這是個一元二次方程，因此要補上“2m-1≠0”！

生10：問題（8），在2m-1≠0的前提下，讓Δ=0，解方程后綜合確定即可。

生11：問題（9），在2m-1≠0的前提下，讓Δ<0，解它們組成的不等式組即可。

生12（質疑）：不用考慮2m-1≠0，因為若2m-1=0，它就是一元一次方程3x-4=0，一定有實根。

師（點評）：這位同學認識深刻，想得全面，的確，不需要考慮2m-1的限制，若改為“m為何值時，一元二次方程沒有實數根”同學們認為該如何思考？

生（眾）：那就必須保證2m-1≠0！

師：說得好！有時候區別就在細節上，認真審題至關重要！

生13：問題（10），我認為它就是問題（7）、（8）綜合在一塊，在2m-1≠0的前提下，讓Δ≥0，解它們組成的不等式組即可。

生14：方程有實根，并沒有說有兩個實根，因此，只考慮當2m-1≠0時Δ≥0，不全面，還需要考慮2m-1=0的時候。

…………

從邏輯上講，一元二次方程的定義、解法、根的判別式、根與系數的關系環環相扣、層層推進，構成了一個完整的、無缺口的單元知識鏈結構。而學生在知識結構的構建、理解上的偏差和學習上的遺忘等諸多原因，表現在“四基”上常常會出現缺口。因此，對學生而言，它可能是一個不完備的數學知識結構體系。基于此，教師在教學片段一的基礎上，以問題“哪一位同學對方程（1）做一下改造，使得系數變為待定字母，給學習增加一點挑戰性”起承，以“我們就這一方程（2m-1）x2+3x-4=0，能否再提出幾個問題供思考、解答”轉合，再次放逐學生的思維，通過變動二次項系數，由“靜”變“動”，拉大思維的場域，組織學生再次思維沖浪，把知識鏈二次凸顯出來，形成新的經驗，為以后的遷移造勢、蓄能。整個教學片段，立足于知識的通透穩固、思維的縝密深入，在學生編擬題目與形成思路的過程中，教師有效地發揮了主導作用，通過變式與學生的深度參與，加強了對“四基”的梳理，使它們能順利鏈接、有效融合，實現了“厚積”“薄發”，提高了綜合運用知識的能力。

“發現問題、提出問題”是發展學生合情推理與邏輯推理的出發點，是發展思維的入口，不管是哪一類課型，學生能力的發展應當成為課堂的主脈。縱觀這兩個教學片段，執教者自始至終以激發學生的問題欲、激活學生的問題因子為先導，都在引領學生自己提出問題上下足了功夫，通過問題的一路開放，誘使學生主動提出問題、創編問題。使得不同層次的學生都有話可說，不至于在復習課上被邊緣化，大大提高了學生的參與熱情與參與度。“問題讓學生提，方法讓學生悟，思路讓學生講，錯誤讓學生析”在本節課得以真情“綻放”。（本文系山東省教學研究課題——全息教學論下的跨越式教學（課題編號：pt-20120126）的階段性成果之一。 ）

責任編輯 周瑜芽

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