一些最優化問題的Matlab實現

陳小平 史雪瑩

(南京航空航天大學金城學院 基礎部，江蘇 南京211156)

Matlab 是美國Math Works 公司推出的一個應用軟件,它已被廣泛的應用于工程計算、控制設計、信號處理與通訊、圖像處理、信號檢測、金融建模設計與分析等方面。 本文就Matlab 在解決優化問題中的一些應用結合一些實例列來加以說明，主要目的便于學生在解決數學建模的一些問題時能起到一定的幫助，因為數學建模中的許多問題都可以轉化為最優化模型， 比如大家比較熟悉的往年數學建模真題中的“逢山開路”問題，本質上為路線設計最優化問題；投資的收益和風險問題，本質為數學規劃問題，以及車燈線光源的設計和飲酒駕車問題等等本質上均為最優化問題。 鑒于以上原因，下面將Matlab 中一些求解數學建模中的一些最優化方法結合本人在指導學生數學建模競賽的經驗來做一簡單的歸納與分析,希望能起到拋磚引玉的作用。

首先先介紹一下什么是優化問題。它是指用最好的方式使用或分配有限的資源即勞動力原材料機器資金等使得費用最小或利潤最大。

其數學模型如下：

其中是x＝（x1，x2，...，xn）T為n 維向量，稱f（x）為目標函數，稱gi（x）≤0 為約束條件，稱若只有（1）的模型為無約束優化模型；稱由（1）、（2）組成的模型為約束優化模型。

若上述優化模型中的目標函數f（x）和約束條件gi（x） 均為線性函數，則稱該模型為線性規劃；若目標函數或約束條件中至少有一個為非線性函數，則此時的優化問題稱之為非線性規劃問題。 下面分為三個方面來介紹。

1 無約束優化問題

Matlab 中求無約束優化模型最基本的是fmin 與fmins 函數，具體格式、功能及舉例如下：

（a）x=fmin('fun',x1,x2);

（b）x=fminu('fun',x0)或者x=fmins('fun',x0);

（c）x=fminu('fun',x0,options)或者x=fmins('fun',x0,options);

其中：（a）用于求解一元函數無約束極小化問題, x1,x2分別為x 的上、下界；而（b）和（c）用于求多元函數的無約束極小化問題,x0為初始迭代值。 此外，fmin 與fmins 可以直接定義函數F（x）,不一定非要用M-文件,而fminu 必須先用M-文件定義函數F（x）。

例1 用Matlab 求f（x）=2e-xsinx 在（0,8）中的最小值和最大值。在Matlab 命令窗口輸入如下命令:

以上命令運行結果為：

2 線性規劃問題

Matlab中求無約束優化模型最基本的是linprog 函數， 具體格式、功能及舉例如下：

（a） x=linprog(c,A,b)

（b） x=linprog(c,A,b,vlb,vub)

（c） x=linprog(c,A,b,vlb,vub,x0)

也用于求解（b）中的模型，其中x0表示初始點。

（d） x=linprog(c,A,b,vlb,vub,x0,N)

也用于求解（b）中的模型，其中x0表示初始點，N 表示Ax≤b 中的前N 個約束是等式約束。

在Matlab 命令窗口輸入如下命令：

c=[-80 -125]; A=[8 5；6 4；4 5];b=[3500;1800;2800];vlb=[0;0];vub=[inf;inf];

x=lp(c,A,b,vlb,vub),f=c*x

以上命令運行結果為：

x = 0

450

f =-5.625e+004

3 非線性規劃問題

此部分主要以二次規劃問題為例， 討論如何使用Matlab 求解這類問題。 二次規劃模型一般表達式為：minF（x），s.t.A≤b。

Matlab 中求二次規劃模型最基本的是quadprog 函數， 具體格式、功能及舉例如下：

（a） x=quadprog(H,c,A,b);

（b） x=quadprog(H,c,A,b,vlb,vub);

（c） x=quadprog(H,c,A,b,vlb,vub,x0);

（d） x=quadprog (H,c,A,b,vlb,vub,x0,N); N 表示前N 個等式約束的數目。

在Matlab 命令窗口輸入如下命令：

>> H=[1 -1;-1 2];c=[-2;-6];A=[1 1;-1 2；2 1];b =[2;2;3];vlb =[0;0];vub =[inf,inf];x =quadprog (H,c,A,b,vlb,vub)，z =0.5*x'*H*x+c'*x

以上命令運行結果為：

x=0.6667

1.3333

z=-8.2222

本文只是簡單的介紹了求最優化問題的一些常用函數調用格式，并用一些數學實例加以說明， 當然Matlab 中還有許多求解這一問題的方法，比如：拉格朗日乘子法、制約函數法、可行方向法、近似型算法等等，感興的讀者可以參見文獻[3]。總的來說，希望通過本文的探討，能給參加數學建模的同學對求解最優化問題提供一點入門的知識,以幫助其更快地掌握數學建模中求解最優化問題的方法。

［1］王沫然.Matlab 與科學計算[M].北京:電子工業出版社,2003.

［2］薛嘉慶.最優化原理與方法[M].北京:冶金工業出版社,1983.

［3］趙書蘭.Matlab 編程與最優化設計應用[M].北京:電子工業出版社,2013.