天體運(yùn)動(dòng)專(zhuān)題教學(xué)探究

陳偉山

（鹽城高等師范學(xué)校，江蘇 鹽城224005）

航天是當(dāng)代非常熱門(mén)而又現(xiàn)實(shí)的話題之一。隨著該話題的不斷升溫，天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題在近幾年的高考中，牢牢占據(jù)了一定的比例，知識(shí)考查點(diǎn)逐步深入，題型也在創(chuàng)造性地發(fā)生變革。如何讓學(xué)生正確認(rèn)識(shí)，準(zhǔn)確把握這一知識(shí)模塊？ 筆者在教學(xué)中作了如下探究。

1 認(rèn)清一個(gè)本質(zhì)

由運(yùn)動(dòng)學(xué)、牛頓力學(xué)知識(shí)可以知道，運(yùn)動(dòng)中存在因果關(guān)系。物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，與物體所受的內(nèi)因和外因有必然的因果聯(lián)系。 即物體在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(位移、速度、加速度等)由物體的內(nèi)因（初始位移、初始速度、質(zhì)量）和外因（所受力、受力時(shí)間等）決定。 其數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式：

天體運(yùn)動(dòng)作為一個(gè)具體的運(yùn)動(dòng)形式，必然遵循上述因果關(guān)系。 只不過(guò)，此時(shí)的物體是某些具體的天體，起主導(dǎo)作用的作用力為萬(wàn)有引力而已。因此，在天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的教與學(xué)的過(guò)程中，要牢牢把握住這樣一個(gè)本質(zhì)特征：天體運(yùn)動(dòng)的位移（軌跡）、速度等運(yùn)動(dòng)參量由天體的質(zhì)量、初始位移、初始速度、所受的力及受力時(shí)間等共同決定。

認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，就不難理解天體為何或做圓周運(yùn)動(dòng)、或做橢圓運(yùn)動(dòng)、或做拋物線運(yùn)動(dòng)。人造天體在繞地運(yùn)行中發(fā)生變軌，也是因?yàn)槿嗽焯祗w的速度與受力的關(guān)系發(fā)生了變化。通過(guò)改變?nèi)嗽焯祗w的速度大小或方向，就可以提升或降低天體運(yùn)行的軌道。

2 融合三大定律

從該專(zhuān)題在教材中出現(xiàn)的位置來(lái)看， 天體運(yùn)動(dòng)為開(kāi)普勒三定律、牛頓三大運(yùn)動(dòng)定律及萬(wàn)有引力定律的綜合應(yīng)用。它綜合了經(jīng)典力學(xué)中的力、運(yùn)動(dòng)、能量等多方面的知識(shí)，是對(duì)力、運(yùn)動(dòng)、能量等知識(shí)加深理解的絕好楔入點(diǎn)。

2.1 開(kāi)普勒三定律從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度闡述了天體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的軌道、速度、周期等參數(shù)的數(shù)學(xué)特性，又分別稱(chēng)為軌道定律、面積定律和周期定律。其核心是周期定律，即：。其中，a 為橢圓軌道半長(zhǎng)軸，T 為周期，，M 為中心天體的質(zhì)量。

2.2 牛頓三大運(yùn)動(dòng)定律從動(dòng)力學(xué)的角度闡述了物體運(yùn)動(dòng)與受力之間的關(guān)系，表明力是物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變的原因。其核心是牛頓第二定律，即：。 其中，F(xiàn) 為物體受到的外力，m 為物體的慣性質(zhì)量。

2.3 萬(wàn)有引力定律則給出了天體間相互作用的具體形式——萬(wàn)有引力。 其大小的表達(dá)形式：，其中M、m 分別為兩相互作用天體的質(zhì)量，r 為兩相互作用天體間的距離；方向：由受力天體指向施力天體。

可見(jiàn)，開(kāi)普勒三定律、牛頓三大運(yùn)動(dòng)定律及萬(wàn)有引力定律三者之間是一般規(guī)律（牛頓三大運(yùn)動(dòng)定律）與具體運(yùn)動(dòng)形式（天體運(yùn)動(dòng)）之間的關(guān)系。 由此，可以得到以下關(guān)系圖：

再結(jié)合重力、圓周運(yùn)動(dòng)等相關(guān)概念，就會(huì)形成一系列較為復(fù)雜的特別具體的天體運(yùn)動(dòng)情形，從而就有了相當(dāng)多的計(jì)算公式。 如何恰當(dāng)使用有關(guān)公式，分析某個(gè)天體運(yùn)動(dòng)情形，就成了一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。這也是不少學(xué)生害怕天體運(yùn)動(dòng)這一類(lèi)問(wèn)題的根本原因。

在教學(xué)中，就是要引導(dǎo)學(xué)生在厘清三大定律的基礎(chǔ)上，緊扣F向=F萬(wàn)這一核心關(guān)系，理解各類(lèi)天體運(yùn)動(dòng)情形的分析過(guò)程，掌握相關(guān)公式的推演。 在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生甄別天體運(yùn)動(dòng)情形，恰當(dāng)使用有關(guān)公式，提升分析解決問(wèn)題的能力。

3 掌握五類(lèi)典型問(wèn)題

為進(jìn)一步加強(qiáng)教學(xué)效果， 加深對(duì)天體運(yùn)動(dòng)專(zhuān)題的理解和認(rèn)識(shí)，這里列舉天體運(yùn)動(dòng)五個(gè)典型問(wèn)題說(shuō)明。

3.1 計(jì)算天體質(zhì)量或密度

通過(guò)物體在某個(gè)天體表面所受的“重力”或圍繞某個(gè)天體運(yùn)動(dòng)的情形，利用萬(wàn)有引力計(jì)算該天體質(zhì)量或密度。 這里以計(jì)算天體質(zhì)量為例。

情形一：通過(guò)物體在某個(gè)天體表面所受的“重力”，利用萬(wàn)有引力計(jì)算該天體質(zhì)量。

物體在天體表面所受到的萬(wàn)有引力近似等于物體的“重力”，不考慮天體自傳影響。

其中，G 為萬(wàn)有引力常數(shù)，g 為天體表面的“重力”加速度，R 為天體的半徑。

需要指出的是，這一近似在其他涉及近天體表面問(wèn)題中也被廣泛使用。

情形二：通過(guò)物體圍繞某個(gè)天體運(yùn)動(dòng)，利用萬(wàn)有引力計(jì)算該天體質(zhì)量。

可以先將物體圍繞某個(gè)天體運(yùn)動(dòng)近似地看成圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力。

其中，r、v、ω、T 分別為物體圍繞某個(gè)天體運(yùn)動(dòng)的半徑、線速度、角速度和周期。

3.2 同步衛(wèi)星

所謂“同步衛(wèi)星”，通常以地球?yàn)槔溉嗽煨l(wèi)星繞地球的周期和地球的自轉(zhuǎn)周期相同，又稱(chēng)“靜止衛(wèi)星”。可以證明，此時(shí)人造衛(wèi)星的動(dòng)行軌道只能在赤道上方，且T衛(wèi)=T自。

這樣，同步衛(wèi)星距離地面的高度：h=r-R。

3.3 雙星運(yùn)動(dòng)

兩顆質(zhì)量可以相比的恒星相互繞著旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象，叫雙星運(yùn)動(dòng)。 雙星運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是萬(wàn)有引力定律在天文學(xué)上的應(yīng)用的一個(gè)重要內(nèi)容，雙星中兩顆子星相互繞著旋轉(zhuǎn)可看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且周期相等，其向心力由兩恒星間的萬(wàn)有引力提供。

設(shè)雙星的兩子星的質(zhì)量分別為M1和M2，相距L，M1和M2的線速度分別為v1和v2，角速度分別為ω1和ω2（ω1=ω2，T1=T2），由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律得：

從而可以推得：v1∶v2=r1∶r2=m2∶m1

在這里要特別注意：兩子星間的距離L 與兩子星做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r1、r2之間的約束關(guān)系：L=r1+r2。

3.4 變軌問(wèn)題

衛(wèi)星在軌期間自主改變運(yùn)行軌道的過(guò)程稱(chēng)為變軌。 變軌的動(dòng)力學(xué)原因在于：衛(wèi)星在軌運(yùn)行時(shí)，由于某種需要， 改變了衛(wèi)星的線速度大小及方向，從而改變了所需的向心力；又因?yàn)槠溥\(yùn)動(dòng)的向心力由萬(wàn)有引力提供， 所以其所需的軌道半徑也相應(yīng)地發(fā)生變化，這就形成了變軌。如圖：

需要指出的是， 在切點(diǎn)（P、Q）處， 衛(wèi)星處在兩個(gè)不同軌道上的速度是不同的。以Q 點(diǎn)為例，當(dāng)衛(wèi)星處在軌道1 時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)，可以求得其線速度為（v1Q表示在軌道1 的Q 點(diǎn)處的線速度大小，下同。）而當(dāng)衛(wèi)星處在軌道2 時(shí)做橢圓運(yùn)動(dòng)，盡管高中階段不要求精確計(jì)算v2Q，我們還是可以定性地加以分析，可以這樣看，因v1Q變化到了v2Q， 衛(wèi)星必不能保持原有軌道1 的圓周運(yùn)動(dòng)， 而發(fā)生了離心運(yùn)動(dòng)，即v2Q＞v1Q；同理可知：v3P＞v2P。

由圓周運(yùn)動(dòng)線速度公式，可知v1Q＞v3P，所以就有：v2Q>v1Q>v3P＞v2P

3.5 能量轉(zhuǎn)化

在天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題中，還有一類(lèi)涉及到能量轉(zhuǎn)化。 視衛(wèi)星與地球構(gòu)成一獨(dú)立系統(tǒng)，萬(wàn)有引力為保守力，取無(wú)窮遠(yuǎn)處為該系統(tǒng)零勢(shì)能點(diǎn)，則衛(wèi)星在距離地球r 處的勢(shì)能為：

設(shè)衛(wèi)星在距離地球r 處的圓周軌道上運(yùn)行， 則此時(shí)衛(wèi)星的動(dòng)能為：

則系統(tǒng)機(jī)械能為：

可以看出，隨著軌道上升，r 增大，Epr增大，Ekr減小，Er增大。

所以，衛(wèi)星軌道越高，發(fā)射時(shí)所需要的能量就越多，火箭的推力要求也就越大。

除上述的五類(lèi)典型問(wèn)題外，近幾年的高考還相繼出現(xiàn)了新的考查點(diǎn)，如Lagrange 點(diǎn)、地球自轉(zhuǎn)效應(yīng)、黑洞等。

但萬(wàn)變不離其宗，在分析具體問(wèn)題時(shí)，只要深刻領(lǐng)悟天體運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)特征，將三大定律與其它相關(guān)知識(shí)融會(huì)貫通，緊扣F向=F萬(wàn)這一核心關(guān)系，便可抓住問(wèn)題實(shí)質(zhì)，起到事半功倍的效果。

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