坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換參數(shù)的相關(guān)性分析

張亞囡

（國(guó)投新集公司板集煤礦 地測(cè)科，安徽 利辛236700）

坐標(biāo)系統(tǒng)是測(cè)量中很重要的一個(gè)部分，我們進(jìn)行平面測(cè)量，空間測(cè)量都需要對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系來(lái)對(duì)其進(jìn)行計(jì)算。坐標(biāo)系統(tǒng)的相互轉(zhuǎn)換是坐標(biāo)計(jì)算的核心點(diǎn)，為了獲取不同用途的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，我們需要進(jìn)行坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。 而坐標(biāo)轉(zhuǎn)換主要涉及到坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)。 這里我們主要研究坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換參數(shù)的相關(guān)性分析。

GPS 單點(diǎn)定位的坐標(biāo)以及相對(duì)定位中解算的基線向量屬于WGS-84 大地坐標(biāo)系，而使用的測(cè)量成果一般都是屬于某一國(guó)家坐標(biāo)系或地方坐標(biāo)系[1]。所以應(yīng)用中心必須進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，才能進(jìn)行正常使用。 坐標(biāo)系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)換包括不同參心大地坐標(biāo)系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)換，參心大地坐標(biāo)系統(tǒng)與地心大地坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換以及大地坐標(biāo)與高斯平面坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換等。進(jìn)行兩個(gè)不同空間直角坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，需要求出坐標(biāo)系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)換參數(shù)。 因此需要進(jìn)行轉(zhuǎn)換參數(shù)的相關(guān)性分析。

求解7 參數(shù),當(dāng)公共點(diǎn)多于3 個(gè)時(shí),便可用最小二乘法來(lái)求解7 個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù), 各個(gè)參數(shù)間相關(guān)性就可以由協(xié)方差元素求得, 即為Q 為求解7 個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù)所得到的協(xié)方差矩陣[2]。 參數(shù)組與參數(shù)組之間的相關(guān)性就稱為廣義相關(guān)性。 將7 個(gè)參數(shù)分成兩組,3個(gè)平移參數(shù)看成一組X,3 個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)和1 個(gè)尺度參數(shù)看成另一組,將求解7 個(gè)參數(shù)得到的協(xié)方差陣寫為:

x,y 的線性關(guān)聯(lián)陣Myx為：

若x,y 的相關(guān)秩為r,r=rk(Myx)=rk(x,y),求出Myx的特征根,非零特征根有r 個(gè), 表示為λ1,λ2,…，λr則x,y 的廣義相關(guān)系數(shù)可以用以下幾種方式表示:

所以要證明七參數(shù)轉(zhuǎn)換模型中平移參數(shù)、 旋轉(zhuǎn)參數(shù)及尺度參數(shù)之間強(qiáng)相關(guān)性,只需證明其廣義相關(guān)系數(shù)接近1 即可[3]。

1 數(shù)據(jù)分析

在一區(qū)域GPS 網(wǎng)上，有公共點(diǎn)既有在WGS-84 坐標(biāo)系上的坐標(biāo)，又有在北京54 坐標(biāo)系上的坐標(biāo)。 假設(shè)在一個(gè)區(qū)域GPS 網(wǎng)內(nèi), 共有4個(gè)公共點(diǎn),并且4 個(gè)公共點(diǎn)既有在WGS-S84 坐標(biāo)系上的坐標(biāo), 又有在北京54 坐標(biāo)系上的坐標(biāo),該網(wǎng)范圍: 南北約有130km;東西約有70k m對(duì)一個(gè)工程而言, 這是比較大的一個(gè)GPS 網(wǎng), 可以相當(dāng)于我國(guó)大城市所覆蓋的范圍了,但相對(duì)于地球來(lái)說(shuō)卻是很小的一個(gè)區(qū)域。

表1 是四組公共點(diǎn)坐標(biāo)。

采用最小二乘法，求解7 個(gè)參數(shù)，由公式：

求得，為了方便計(jì)算，其中平移參數(shù)單位取為m，旋轉(zhuǎn)參數(shù)單位取為1/30s，尺度參數(shù)單位取為k×10-6中的k。

表1 公共點(diǎn)坐標(biāo)

根據(jù)公共點(diǎn)的坐標(biāo)，我們可以算出七個(gè)參數(shù)的值。

下面就是一組七個(gè)參數(shù)的數(shù)值：

x=-1444716.36 ，y= 6366858.38，z=-2803229.13

α= -0.68020946，β=-0.96949331，γ=-0.00642779

k=-1.7404629

由七參數(shù)列出協(xié)方差陣為：

表2 參數(shù)轉(zhuǎn)換的協(xié)方差陣

2 坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換參數(shù)之間的相關(guān)性分析

坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換參數(shù)之間的相關(guān)性，對(duì)平移參數(shù)，旋轉(zhuǎn)參數(shù)，縮放參數(shù)之間的相關(guān)性分別進(jìn)行分析。 目前，傳感技術(shù)與測(cè)量技術(shù)的迅速發(fā)展和普及，除了點(diǎn)位坐標(biāo)外，獲取的同名信息種類也不斷的增加。相對(duì)定位技術(shù)提供高精度基線向量，自由度傳感器則可以直接提供各種姿態(tài)信息等，各種技術(shù)的測(cè)量精度也是有所差別，所以如何充分利用多傳感信息數(shù)據(jù)解算轉(zhuǎn)換參數(shù)將會(huì)是信息融合中的新問題。我們采用公共點(diǎn)點(diǎn)位的分析方法，去將各類同名信息逐一加以考察，即對(duì)平移、旋轉(zhuǎn)與縮放變換是否具有敏感性，從而可以確定其對(duì)相應(yīng)轉(zhuǎn)換參數(shù)的貢獻(xiàn)量及其計(jì)算方法。

表3 參數(shù)之間的相關(guān)性

3 平移參數(shù)與旋轉(zhuǎn)和縮放參數(shù)之間的相關(guān)性

根據(jù)上文，我們分別定義平移參數(shù)為x0，y0，z0；旋轉(zhuǎn)參數(shù)為α，β，γ；縮放參數(shù)為k 。

根據(jù)表3 參數(shù)之間的相關(guān)性，就可以分別定義兩組參數(shù)：

通過計(jì)算，可以對(duì)上面兩組算得線性關(guān)聯(lián)矩陣為：

根據(jù)計(jì)算可以解出的特征根為：0，0，0，1。由此特征根可得線性關(guān)聯(lián)矩陣的秩為3。 然后根據(jù)廣義相關(guān)系數(shù)定義來(lái)解算，則由非零特征根可求出相關(guān)系數(shù)，Pi=1（i=①，②，...，⑤）。 由此我們可以得到的結(jié)論是平移參數(shù)與旋轉(zhuǎn)參數(shù)和縮放參數(shù)是強(qiáng)相關(guān)的。

4 平移參數(shù)與縮放參數(shù)之間的相關(guān)性

根據(jù)上文，我們分別定義平移參數(shù)為x0，y0，z0；縮放參數(shù)為k。

根據(jù)表1-3 參數(shù)之間的相關(guān)性，就可以分別定義兩組參數(shù)：

通過計(jì)算，對(duì)上面兩組算得線性關(guān)聯(lián)矩陣Mxy為：

所以解出的特征根為：1。 由此特征根可得線性關(guān)聯(lián)矩陣Mxy的秩.然后根據(jù)廣義相關(guān)系數(shù)定義來(lái)解算，則由非零特征根可求出相關(guān)系數(shù)，Pi=1（i=①，②，..，⑤）。 由此可以得到結(jié)論是平移參數(shù)和縮放參數(shù)是強(qiáng)相關(guān)的。

5 平移參數(shù)與旋轉(zhuǎn)參數(shù)之間的相關(guān)性

根據(jù)上文，我們分別定義平移參數(shù)為x0，y0，z0；旋轉(zhuǎn)參數(shù)為α，β，γ。

根據(jù)表3 參數(shù)之間的相關(guān)性，可以分別定義兩組參數(shù)：

通過計(jì)算，對(duì)上面兩組算得線性關(guān)聯(lián)矩陣為：

所以解出的特征根為：0，1，1，0。由此特征根可得線性關(guān)聯(lián)矩陣的秩.然后根據(jù)廣義相關(guān)系數(shù)定義來(lái)解算，則由非零特征根可求出相關(guān)系數(shù)，Pi=1（i=①，②，...，⑤）。 由此可以得到結(jié)論是平移參數(shù)與旋轉(zhuǎn)參數(shù)之間是強(qiáng)相關(guān)的。

6 縮放參數(shù)與旋轉(zhuǎn)參數(shù)之間的相關(guān)性

根據(jù)上文，我們分別定義旋轉(zhuǎn)參數(shù)為α，β，γ；縮放參數(shù)為k 。

根據(jù)表3 參數(shù)之間的相關(guān)性，可以分別定義兩組參數(shù)：

通過計(jì)算，對(duì)上面兩組算得線性關(guān)聯(lián)矩陣Mxy為：

解出的特征根為：0。由此特征根可得線性關(guān)聯(lián)矩陣的Mxy秩.然后根據(jù)廣義相關(guān)系數(shù)定義來(lái)解算，則由非零特征根可求出相關(guān)系數(shù)，Pi=1（i=①，②，...，⑤）。 故旋轉(zhuǎn)參數(shù)和縮放參數(shù)是完全不相關(guān)的。

綜合分析可得：通過上面幾個(gè)參數(shù)的相關(guān)性分析，在七參數(shù)轉(zhuǎn)換模型中，3 個(gè)平移參數(shù)與3 個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)及縮放參數(shù)之間是強(qiáng)相關(guān)的，平移參數(shù)和縮放參數(shù)是強(qiáng)相關(guān)的， 平移參數(shù)與旋轉(zhuǎn)參數(shù)是強(qiáng)相關(guān)的，旋轉(zhuǎn)參數(shù)和縮放參數(shù)是完全不相關(guān)的。

大部分的實(shí)際工程應(yīng)用中, 測(cè)區(qū)一般都不是很大。 在同一測(cè)區(qū)測(cè)定兩次或者已知點(diǎn)坐標(biāo)有微小的變化,由于七參數(shù)間的相關(guān)性,求出的參數(shù)在數(shù)值上可能將會(huì)差別很大, 如平移參數(shù)的變化可能達(dá)到很大。然而只要沒有粗差, 轉(zhuǎn)換殘差仍然會(huì)是很小, 所以轉(zhuǎn)換結(jié)果也不會(huì)有大的差異。 因此七參數(shù)轉(zhuǎn)換模型仍然是有效和可用的。 在小區(qū)域應(yīng)用時(shí), 旋轉(zhuǎn)參數(shù)和縮放參數(shù)對(duì)各點(diǎn)的影響基本一樣, 所起的作用可以包含在平移參數(shù)中的。

［1］余學(xué)祥,呂偉才.空間直角坐標(biāo)的協(xié)因數(shù)陣轉(zhuǎn)換到高斯平面上的計(jì)算公式[J].測(cè)繪信息與工程,1997,22(4):18-21.

［2］楊元興.應(yīng)用最小二乘法進(jìn)行平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換[J].地礦測(cè)繪,2010,26(1):44-45.

［3］郭秋英,胡振琪.GPS 衛(wèi)星坐標(biāo)的計(jì)算[J].全球定位系統(tǒng),2006,13(4):13-14.