基于末段修正迫彈命中概率的射角優化

李興隆，于紀言，姚文進，王曉鳴，吳 巍

（1.南京理工大學 智能彈藥技術國防重點學科實驗室，南京210094；2.中國人民解放軍63863部隊，吉林 白城137001）

激光半主動末段修正迫彈的工作原理是利用彈外目標指示器發射激光束照射目標，然后彈載激光探測器通過接收的目標反射激光信號得到目標方位信息，彈載處理器生成修正指令控制執行機構（如舵機或脈沖發動機）工作，實現對末段彈道的修正［1］。

常規迫彈發射時以無控彈道落點為目標點，在理想情況下，迫彈能夠捕獲并命中目標，但在實際發射和飛行過程中受到多種隨機干擾，導致彈道偏離名義彈道，末修迫彈導引頭有可能一直無法捕獲目標，造成脫靶，尤其是在小射角范圍45°～57°內，影響效果明顯；在大射角范圍57°～85°內，由于落角較大，導引頭在地面的視場一般都會覆蓋目標，不易脫靶。導引頭的視場角、作用距離、彈體姿態角和彈體位置坐標都與捕獲概率有關［2］，修正執行機構的啟控時間、最大修正能力、末制導律和控制策略［3－5］等都與命中概率有關，而以上因素均受到彈丸發射角的影響。因此，本文主要從優化發射角的角度研究了提高末修迫彈對目標命中概率的方法。

1 末段修正彈命中過程建模

1.1 末段修正彈命中目標的物理過程

彈丸出炮口后進行無控飛行，在彈道末段，當目標進入導引頭最大作用距離Lmax內，且目標在導引頭視場內，即跟蹤誤差角ε小于導引頭探測器視場角φ時，可認定導引頭捕獲目標，其表達式為［6］

文中取Lmax＝3km，φ＝±6°。末段修正彈導引頭捕獲域示意圖如圖1所示。

圖1 捕獲域示意圖

導引頭捕獲到目標后由彈上計算機決定啟控時機，進入有控飛行階段，由執行機構修正末段彈道。若目標在最大修正區域內，則有可能命中目標。令事件A為捕獲目標，事件B為命中目標，兩事件相互獨立，末修迫彈總命中概率的數學模型可表述為

式中：P（A）為捕獲概率，P（B｜A）為已捕獲目標的條件下命中目標的概率。

1.2 捕獲概率模型

末修迫彈導引頭的捕獲概率和命中概率都與啟控距離有關，啟控距離越大，修正能力越強。若啟控距離過大，則末段修正彈道越長，受到的不確定因素的影響就越大，修正精度就越低；若啟控距離過小，則修正執行機構來不及響應，或者由于啟控過晚導致最大修正量小于落點偏差量，都會導致脫靶。為研究導引頭捕獲概率的一般規律，經估算后，取啟控距離δ＝1km，此時修正能力基本滿足要求，且δ＜Lmax。若此刻跟蹤誤差角ε≤｜φ｜，則捕獲到目標，反之則未捕獲。

由于彈丸發射和飛行過程中受到各種隨機擾動，在啟控距離δ＝1km時刻，誤差角ε服從正態分布，ε～N（με，σ2ε）。將初始擾動模型和飛行過程中隨機擾動模型［7］引入到彈丸六自由度彈道模型［8］中，利用蒙特卡洛方法模擬打靶n次，可得出跟蹤誤差角均值με和標準差σε。

跟蹤誤差角ε≤｜φ｜的概率即為導引頭對目標的捕獲概率，可由下式求取：

可轉化為下式查標準正態分布表進行求解：

由式（5）可知，捕獲概率是關于誤差角ε的函數。由激光探測器模型［9］可知，誤差角是由質心位置（x，y，z）和姿態角（?，ψ）決定的（?為俯仰角，ψ為偏航角），在6DOF彈道方程中，若時間確定，則（x，y，z）和（?，ψ）只與初始條件有關，若初速一定，不考慮初始擾動誤差，則在δ＝1km時刻彈丸捕獲目標的概率P（A）＝f（θ）是關于發射角θ的函數。

1.3 捕獲條件下命中概率模型

彈丸在發射和飛行過程中受到的擾動越大，則彈道偏離名義彈道越大，即使在導引頭探測器作用距離內捕獲到目標，也可能由于修正能力不夠導致脫靶。為研究已捕獲目標條件下彈丸能否命中目標問題，取彈丸在啟控距離δ＝1km處的最大修正量為lx＋，lx－ ，lz＋，lz－ 。lx＋，lx－ ，lz＋，lz－ ，分別 表 示 射程x向正向、射程x向負向、偏流z向正向、偏流z向負向4個方向上的最大修正距離。

令目標的有效毀傷幅員是以目標點為中心的矩形，矩形的邊分別平行于x軸、z軸，正面為2Lz，縱深為2Lx。只要彈丸落在該幅員內，目標必然被毀傷。

由射擊理論的假設可知，無控彈道的落點x，z服從二維正態分布定律，且相互獨立，概率論中這種分布概率密度f（x，z）的數學描述式為

類似于1.2節，通過蒙特卡洛法模擬打靶，若在啟控距離δ＝1km時導引頭捕獲目標，則轉入命中概率的計算，得到已捕獲目標情況下落點坐標均值（μx，μz）和 標 準 差 （σx，σx）。 記 目 標 點 坐 標 為（xT，zT），若 無 控 彈 道 落 點 （xi，zi）滿 足，則在距離δ＝1km時啟控，彈丸能命中目標。

因此，命中概率就等于概率密度函數f（x，z）在此區間的積分：

可轉化為下式查標準正態分布表進行求解：

由于彈丸落點與發射角θ有關，因此，命中概率P（B｜A）＝g（θ）是關于θ的函數。

1.4 命中概率計算流程

根據上述命中目標的物理過程和數學模型，結合蒙特卡洛法仿真數據，即可求解命中概率，計算流程圖如圖2所示。

圖2 命中概率計算流程圖

1.5 平均落點偏差計算模型

令目標點坐標為（xT，zT），取發射角為θ，用蒙特卡洛法模擬打靶n次，得到彈丸無控飛行的n個落點，平均落點偏差用R表示，其計算公式如下：

顯然，平均落點偏差R是關于發射角θ的函數，即R＝h（θ）。落點偏差越大，則表明實際彈道偏離名義彈道越多，彈丸命中目標所需的修正量也越大；落點偏差越小，則所需修正量越小，則越容易修正。修正量的大小與命中率直接相關，因此，平均落點偏差也是研究命中概率不可忽略的因素。

2 優化數學模型的建立

2.1 設計變量及目標函數的確定

單發命中率是評價末修迫彈性能優劣的指標之一，同時，彈丸無控飛行的平均落點偏差越小，則越容易修正。因此，以末修迫彈最大命中率maxP（X）和最小落點偏差minR（X）為目標函數。由前文得P＝P（A）P（B／A）＝f（θ）g（θ），R＝h（θ），末修迫彈總命中率P和平均落點偏差R均是關于發射角θ的函數，因此，以發射角為優化設計變量，即X＝θ，此問題轉化為單變量雙目標函數的優化問題。

2.2 約束條件

常規迫彈命中誤差在70～80m以上，要命中目標常常需要較大的火力密集度才能完成，而末修迫彈殺傷力要求是2發或更少就能命中目標［10］，令2發末修迫彈命中目標的概率大于90%即可認為達到精度要求，根據1－（1－P（X））2≥90%，可得到單發末修迫彈命中概率約束條件為P（X）≥68.38%。令給定射程的名義發射角為θ＊，變量的取值約束條件為θ＊－4≤X≤θ＊＋4。

2.3 優化算法

多目標規劃解法的基本思想是轉化為單目標規劃問題，功效系數法就是其中的一種方法。其主要內容是對不同類型的目標函數統一量綱，分別得到一個功效系數函數，然后求所有功效系數乘積的最優解。

命中概率單項功效系數為

平均落點偏差單項功效系數為

總功效系數為

式中：ω1，ω2分別為單個評價指標的權重系數，當總功效系數D取最大值時，對應的X即為問題的最優解。

3 算例分析

根據以上優化模型可對給定射程的發射角進行優化設計。以某型末修迫彈為研究對象，導引頭視場角φ＝±6°，目標點坐標為xT＝7 189m，zT＝－19m，名義發射角θ＊＝49°，啟控距離δ＝1km，對應啟控距離下4個方向上的最大修正量［11］為lx＋＝169m，lx－ ＝143m，lz＋＝133m，lz－ ＝133m，武器系統綜合可靠性為95%，蒙特卡洛法計算機模擬打靶次數n＝200，單個評價指標的權重系數ω1＝0.5，ω2＝0.5。

3.1 計算結果

通過第2章的數學模型計算得出命中概率和平均落點偏差，結果如表1所示。

表1 命中概率和平均落點偏差計算結果

由表1得知，以名義射角49°發射的迫彈平均落點偏差最小，但其命中概率不及射角50°和射角51°的高，原因在于以名義射角發射的炮彈落點散布在目標點周圍，部分彈道偏差過于靠前，這導致彈丸在整個末段彈道飛行過程中目標都不會進入導引頭視場域中或進入視場域的時機過晚，彈道偏差無法得到及時修正，以至于脫靶。而增加射角后彈丸落點偏后，目標進入視場內的時機更早，捕獲目標的概率更大［12］，但若落點偏差過大，超過最大修正能力，也會導致脫靶，因此存在一個最優射角，使捕獲和命中的概率最大。

3.2 多項式擬合

為研究最優射角，需要得到目標函數，利用多項式擬合得到的函數能較準確地描述變量與函數值的關系。以發射角為自變量，對表1中的命中概率和平均落點偏差進行多項式擬合，得到的多項式分別為

圖3、圖4中虛線表示計算結果數據，曲線為擬合值，結果顯示多項式擬合與計算值能較好地符合。

圖3 不同發射角命中概率

圖4 不同發射角平均落點偏差

3.3 優化結果

將3.2節得到的2個目標函數代入到功效系數表達式中，可得到總功效系數關于射角的函數。圖5給出了不同發射角下總功效系數曲線。通過一維搜索黃金分割法可求出最大總功效系數max［D（X）］＝0.917，對應的射角X＝49.87°，即為最優射角，射角優化后命中概率為P（X）＝0.767。

圖5 不同發射角總功效系數

3.4 結果對比

分別以射程方向x＝6 616，6 967，7 198，7 310m處為目標點，通過以上方法對其射角進行優化，優化前后的命中率如表2所示。結果表明，射角優化的方法對提高命中率效果顯著。

表2 不同目標距離射角優化前后命中率對比

4 結束語

本文考慮了末修迫彈發射時初始隨機誤差和飛行過程中隨機擾動的情況，推導了命中目標概率的計算模型，以發射角為優化變量，提出了以最大命中率和最小平均落點偏差為目標函數的優化算法。仿真和計算結果表明，當目標在6 600～7 300m遠處，通過射角優化，命中概率可提高10%以上，當目標距離小于6 600m時，命中概率已經很高，優化意義不大。該方法有效地彌補了利用常規射表發射末修迫彈時，激光導引頭對目標捕獲率低導致脫靶的問題，對于提高激光半動末修迫彈的命中精度具有重要意義。同時該方法對編制激光半主動末修彈藥的射表具有一定的參考價值。

［1］郭澤榮.基于激光半主動的彈道修正系統修正能力的研究［J］.光學技術，2008，34：321－325.GUO Ze－rong.Study on the correction system based on semiactive laser［J］.Optical Technique，2008，34：321－325.（in Chinese）

［2］李國英.末制導炮彈攻擊區仿真研究［J］.彈道學報，1997，9（1）：69－72.LI Guo－yin.Simulation of terminal guidance projectile attack area［J］.Journal of Ballistics，1997，9（1）：69－72.（in Chinese）

［3］劉巍，芮筱亭，王國平.簡易修正彈末段彈道修正能力分析與優化設計［J］.南京理工大學學報，2006，30（4）：449－453.LIU Wei，RUI Xiao－ting，WANG Guo－ping.Terminal trajectory correction capability analysis and optimization design for control projectile［J］.Journal of Nanjing University of Science and Technology，2006，30（4）：449－453.（in Chinese）

［4］徐勁祥.彈道修正彈追蹤制導律研究［J］.彈箭與制導學報，2004，24（4）：163－165.XU Jin－xiang.A study on pursuit guidance law of trajectory correction projectiles［J］.Journal of Projectiles，Rockets，Missiles and Guidance，2004，24（4）：163－165.（in Chinese）

［5］姚文進，王曉鳴，李文彬，等.末段修正迫彈脈沖發動機控制策略［J］.探測與控制學報，2008，30：8－14.YAO Wen－jin，WANG Xiao－ming，LI Wen－bin，et al.Control strategy of pulse engine in terminal correction mortar［J］.Journal of Detection ＆ Control，2008，30：8－14.（in Chinese）

［6］林德福，牟宇，常超，等.激光半主動末制導炮彈捕獲概率研究［J］.北京理工大學學報，2010，30（6）：698－701.LIN De－fu，MOU Yu，CHANG Chao，et al.A study of target acquisition probability for laser semi－active terminal guided projectile［J］.Transaction of Beijing Institute of Technology，2010，30（6）：698－701.（in Chinese）

［7］曹小兵.脈沖末修迫彈彈道特性分析與控制方案設計［D］.南京：南京理工大學，2012.CAO Xiao－bing.Analysis of ballistic characteristics and design of control scheme for terminal trajectory correction mortar projectile equipped with lateral impulses［D］.Nanjing：Nanjing U－niversity of Science ＆ Technology，2012.（in Chinese）

［8］韓子鵬.彈箭外彈道學［M］.北京：北京理工大學出版社，2008.HAN Zi－peng.Exterior ballistics of projectile and rocket［M］.Beijing：Beijing Institute of Technology Press，2008.（in Chinese）

［9］徐勁祥.末段修正迫彈激光探測器及目標方位模型［J］.兵工學報，2007，27（7）：793－795.XU Jin－xiang.Models of laser detector and target azimuth for terminal correction mortar projectile［J］.Acta Armamentarii，2007，27（7）：793－795.（in Chinese）

［10］一平.中國120毫米末修迫擊炮彈武器系統［J］.兵器知識，2007，10：24－25.YI Ping.Chinese 120mm terminal correction mortar projectile weapon system［J］.Ordnance Knowledge，2007，10：24－25.（in Chinese）

［11］王浩磊.基于脈沖控制的迫彈彈道末段修正研究［D］.南京：南京理工大學，2012.WANG Hao－lei.Study on terminal correction trajectory based on impulse control［D］.Nanjing：Nanjing University of Science＆ Technology，2012.（in Chinese）

［12］LI Xing－long，WANG Xiao－ming，YAO Wen－jin，et al.Optimization of launching angle based on the acquisition probability for laser semi－active terminal correction projectile［C］／／2nd International Conference on Opto－Electronics Engineering and Materials Research.Zhengzhou：Trans Tech Publication Ltd，2013：209－212.