壓電舵翼動力學模型研究

周玉華，周長省，陳 雄

（南京理工大學 機械工程學院，南京210094）

智能彈藥系統（IMS）是要整合進未來戰斗系統共同作戰環境的系統之一，特別是一些能同時執行飛行巡邏和攻擊的微小型智能彈藥，因其使用方便，成本低，隱蔽性好等優點而備受關注，作為飛行控制的舵翼結構是這類系統的重要組成部分［1－2］。在微機電驅動技術中，壓電驅動器由于結構簡單，兼容性好而被廣泛應用。許多學者嘗試將壓電驅動器應用在舵翼驅動上［3－9］。對于壓電舵翼的動力學性能研究，目前主要是通過實驗測量。本文針對一種壓電舵翼結構，建立了其動力學模型，為壓電驅動器的動力學特性研究提供了理論依據。

1 壓電舵翼結構與工作原理

壓電舵翼結構如圖1所示，壓電舵翼總體由三部分組成：固定支架、壓電雙晶片驅動器以及襟翼。固定支架為壓電雙晶片驅動器和襟翼提供了固定與運行的平臺，同時也是將舵翼系統固定于機身的部件；壓電雙晶片驅動器是該系統的運行動力源，使舵翼按照控制實現偏轉；襟翼在驅動器的作用下發生偏轉，其氣動特性發生變化，從而實現對飛行的控制。固定支架前部有一個卡槽，用來固定壓電雙晶片驅動器。后面有一對支座通過轉軸連接襟翼。固定支架與后面的襟翼形成一個鉸鏈結構。壓電驅動器的自由端通過一個滑槽驅動器襟翼雙向偏轉。整個舵翼系統的工作原理是固定支架將系統安裝于機身之上，壓電雙晶片驅動器左端固定在支架前部的卡槽內，另一端再裝配在襟翼的滑槽內。當對壓電雙晶片驅動器施加電壓時，驅動器發生彎曲變形，自由端產生橫向位移，通過滑槽撥動后面襟翼繞轉軸偏轉。

圖1 壓電舵翼結構示意圖

舵翼整體尺寸為80mm×40mm×8mm，壓電驅動器尺寸40mm×30mm×1.1mm，除去固定部分長度，實際運動部分長度約為38mm，驅動軸到襟翼轉軸之間的距離應該為4.59mm。

動力學模型中涉及的材料參數主要有壓電陶瓷密度7 600kg／mm，銅基底密度8 900kg／mm，壓電陶瓷短路條件下的方向彈性模量為59.8GPa，銅彈性模量為115GPa。

2 壓電舵翼動力學模型

由前面對壓電舵翼結構和工作原理的表述可知，該結構可用圖2表示其工作原理。壓電雙晶片驅動器一端固定，一端自由，屬于典型的懸臂梁結構，而在驅動器工作過程中所受的所有外載荷均是通過襟翼上的滑槽施加在壓電雙晶片驅動器的自由端。

圖2 壓電舵翼原理圖

建立模型時，可以認為結構中任一單元的橫向平動動能遠大于該單元的轉動動能。對單元的轉動動能予以忽略。基于以上能量方面的結論，則可以進一步認為結構任一單元的彎曲變形所引起的勢能變化遠大于剪切變形所引起的勢能變化，從而忽略結構變形時的剪切變形。

驅動器彎曲變形如圖3所示，圖中Q為橫截面剪應力，M為橫截面彎矩，q為分布載荷。這里以撓曲線為對象以描述結構的振動，設變形后的撓曲線為

圖3 驅動器彎曲變形示意圖

為了說明普遍情況下的結構振動狀態，這里分析分布載荷下結構的動力學響應。沿長度方向上在壓電驅動器上取長度為dx的單元進行分析。單元所受分布載荷以及左右2個橫截面剪應力和彎矩的情況如圖3所示。這里按材料力學中的規定，認為使單元向下凹的彎矩為正。由單元的受力情況，根據力和轉矩的平衡方程可得：

式中：m（x）為結構的面密度，即單位長度的質量；J為單元的轉動慣量；θx為單元轉角。由本節開始的假設，在研究動力學特性時，單元的轉動分量是忽略的，因此式（2）右端可以認為是0。對上述兩方程化簡，略去高階微分項可得：

材料力學中，彎矩與變形存在如下關系：

式中：D（x）為截面的抗彎模量。聯立式（3）～式（5），可得：

自由振動情況下，同時假設結構的橫截面保持不變，則式（6）中的D（x）和m（x）為恒定值，從而方程可以寫成：

根據振動學“同步運動”理論，結構上各點在振動時，位移隨時間的變化可以分解成兩部分，即：

式中：Z（x）為振型函數，它表示整個結構振動時的空間形狀，是與時間無關的；η（t）為振動函數，它表示振動隨時間的變化規律。將式（8）代入式（7）中，并在所得方程兩邊同除以z（x，t），可得：

式（9）的左端為x的微分項，而右端為t的微分項，若要兩邊相等則必定左右兩端等于常數，設這個常數為ω2，則式（9）可以分開寫成2個等式：

上述兩方程的通解可以寫為

由于外載荷全部通過襟翼滑槽作用在驅動器自由端，則可以認為驅動器的邊界條件為左端固定，右端受到集中載荷的作用。因此，壓電舵翼工作時，驅動器左端邊界條件可以表示為

F為驅動器自由端所受載荷。由邊界條件（14）可得：

則式（13）可以寫為

再由邊界條件（15），有：

壓電驅動器自由端的集中力必定與自由端的運動相關，根據式（8）可知，自由端的運動可以表示為

若將集中力看作為一個等效的集中質量塊作用在壓電雙晶片驅動器自由端，則集中力可以表示為

式中：為等效集中質量。則式（17）可以寫為

同樣，方程組需要滿足行列式：

等效集中質量是由壓電雙晶片驅動器自由端所受的集中載荷決定的，通過分析可知，產生集中載荷的因素主要來源于兩個方面：襟翼自身轉動慣性以及飛行過程中作用在襟翼上的空氣動力所產生的鉸鏈力矩。這個鉸鏈力矩可以表示為

式中：k為比例系數，由舵翼的尺寸、翼型、飛行條件等決定；θ為攻角；l為氣動中心到襟翼轉軸的距離。根據上式可知，對于確定舵翼結構的翼型和尺寸，l為固定不變的。舵翼所受氣動力的大小主要由飛行速度以及舵翼的攻角所決定。舵翼的翼型與尺寸是由飛行器的飛行要求以及飛行器質量決定的。根據這兩點可以推論，作用在襟翼上空氣動力的大小其實是由飛行器的飛行要求以及飛行器的質量決定的。微型飛行器的飛行是相對平穩的，同時對于尺寸比較小的微型飛行器，其質量必然也是較小的。通過以上分析可知，作用在襟翼上的空氣動力是一個變化不劇烈、不太大的力。由于空氣動力的不確定，這里主要分析襟翼自身慣性的影響。

襟翼通過轉軸固定在前面的固定支架上，舵翼運作時，襟翼作繞轉軸的定軸轉動，因此對襟翼有：

式中：Fˉm為襟翼與驅動器自由端之間的作用力，J為襟翼相對于轉軸的轉動慣量。上式可以變形為

襟翼外形是不規則的，人工計算其轉動慣量比較困難。因此，為了簡單快捷地得到襟翼的轉動慣量，這里用Pro／Engineer軟件對襟翼進行三維建模，尼龍材料的比重為1.15，軟件計算繞模型坐標系z軸的轉動慣量為J33＝6.869 5×10－1。襟翼工作時并不是以質心為中心轉動，而是繞轉軸作定軸轉動。襟翼繞轉軸的轉動慣量可以用移軸公式計算。軟件計算襟翼的質量為9.236g，質心坐標為（18.783 5，0，0），而模型中轉軸的坐標為8.37。利用移軸公式可以計算出襟翼繞轉軸的轉動慣量：

由式（21）中等效集中質量的表達式以及lL的設計值，可以得到襟翼的等效質量為

這里主要考慮襟翼的轉動慣量對舵翼系統動態性能的影響。將參數α代入式（20），并用數值法解之可得壓電舵翼系統的一階頻率的特征值為βl＝0.673 4。代入方程中，可得：

根據頻率關系ω＝2πf，可以計算出壓電舵翼的一階頻率為46.85Hz。

3 壓電舵翼動力學響應測量與動力學參數計算

根據信號分析的理論可知，時域中的階躍跳變信號在頻域中包含了無限的頻率分量。因此，用階躍信號對系統進行激勵時，相當于用各種不同頻率的信號激勵系統。同時階躍信號也是系統運行遇到的最多的輸入激勵。

對于壓電舵翼系統動態性能的測量，這里考慮轉化為使用應變片測量壓電雙晶片驅動器陶瓷片的應變來實現，由于系統裝配后尺寸小，結構緊湊，因此粘貼應變片的工作必須在壓電舵翼系統裝配之前完成。

應變片由于應變而產生的阻值變化通過電橋轉變為電信號，該信號經過電阻應變儀的濾波、放大等處理后用美國Tektronix公司生產的TDS3000C型數字示波器進行采集記錄。實驗結束后，通過示波器自身的USB接口，將所得數據存儲在電腦中。實驗系統實物如圖4所示。

圖4 舵翼動態試驗系統

對系統施加250V階躍信號，舵翼系統的響應如圖4所示。由圖可知，舵翼系統在階躍信號作用下存在一個明顯的振蕩過程，然后很快到達平衡狀態。由振動學理論可知，舵翼系統在階躍信號激勵下調整至穩定狀態之前的振蕩頻率稱為有阻尼自振角頻率。圖5為壓電舵翼階躍響應，圖中U為測量信號。由圖5可知，舵翼系統的有阻尼自振周期約為23ms，超調約為15%。

根據控制工程理論，系統響應的峰值時間為

前文已經求得系統無阻尼頻率ωn＝294.345rad／s。由舵翼系統的階躍響應曲線可以測量得到峰值時間為tp＝13ms。將ωn，tp代入式（22）中可以得到壓電舵翼系統的阻尼比為ξ＝0.571 5。阻尼比的計算結果驗證了舵翼系統在階躍信號作用下的欠阻尼響應。

另一方面，根據理論計算得到系統無阻尼自振角頻率ωn＝294.345rad／s，阻尼比ξ＝0.571 5，可以代入公式：

計算舵翼系統的有阻尼自振角頻率為ωr＝241.54rad／s，代入公式：

可以得到舵翼系統的理論有阻尼自振周期T＝26ms，這與實驗測量得到的23ms接近，驗證了所建立的壓電舵翼系統動態模型的正確性。

圖5 壓電舵翼階躍響應

4 結束語

本文建立了一種壓電舵翼的動力學模型，揭示了這種結構壓電舵翼是二階系統的動力學本質。再結合該動力學模型，通過測量舵翼系統在階躍信號激勵下的動態響應，得到系統的動力學參數，為舵翼的結構優化以及控制奠定了基礎。

［1］BARRETT R，GROSS R S，BROZOSKI F.Missile flight control using active flexspar actuators［J］.Smart Materials and Structures，1996，5（2）：121.

［2］BARRETT R，VOS R.Design，development and testing of a transonic missile fin employing PBP／DEAS actuators［C］／／The 15th International Symposium on：Smart Structures and Materials ＆Nondestructive Evaluation and Health Monitoring.California，USA：International Society for Optics and Photonics，2008：693011－693011－11.

［3］ROGET B，CHOPRA I.Wind－tunnel testing of rotor with individually controlled trailing－edge flaps for vibration reduction［J］.Journal of Aircraft，2008，45（3）：868－879.

［4］STRAUB F K，KENNEDY D K，DOMZALSKI D B，et al.Smart material－actuated rotor technology–SMART［J］.Journal of Intelligent Material Systems and Structures，2004，15（4）：249－260.

［5］DIETERICH O，ENENKL B，ROTH D.Trailing edge flaps for active rotor control－aeroelastic characteristics of the ADASYS rotor system［C］／／Annual Forum Proceedings－American Helicopter Society.Phoenix，USA：American Helicopter Society，INC，2006，62（2）：965.

［6］J¨ANKER P，HERMLE F，FRIEDL S，et al.Advanced piezoelectric servo flap system for rotor active control［C］／／32nd European Rotorcraft Forum.Moscow：Russian Helicopter，JSC，2006：237－247.

［7］GLAZ B，FRIEDMANN P P，LIU L.Vibration reduction and performance enhancement of helicopter rotors using an active／passive approach［C］／／Proceedings of the 49th AIAA／ASME／ASCE／AHS／ASC Structures，Structural Dynamics，and Materials Conference.Schaumburg， IL， USA： AIAA，2008：338－350.

［8］GIURGIUTIU V.Review of smart－materials actuation solutions for aeroelastic and vibration control［J］.Journal of Intelligent Material Systems and Structures 2000，11：525–44.

［9］ROTH D，ENENKL B，DIETERICH O.Active rotor control by flaps for vibration reduction—full scale demonstrator and first flight test results［C］／／32nd European Rotorcraft Forum.Moscow：Russian Helicopter，JSC，2006：801－814.