利率期限結構理論研究綜述

李保林 阿卜杜瓦力·艾佰、2

（1.中央財經大學，北京 100081；2.新疆財經大學，新疆 烏魯木齊 830012）

利率期限結構是某個時點不同期限的利率所組成的一條曲線，由于零息票債券的到期收益率等于該時期的利率，所以利率期限結構也可以表示為某個時點零息票債券收益率與到期期限的關系。它不僅是資產定價、風險管理等的基準，還是政府制定宏觀經濟政策的重要參考，其形狀的變化反映了市場對未來利率走勢和經濟運行趨勢的預期。由于國外有關利率期限結構理論的研究起步較早，根據傳統的劃分標準，以20世紀70年代為界，利率期限結構理論的發展主要經歷了定性描述和定量分析兩個階段。定性描述階段的理論包括純預期理論、流動性偏好理論和市場分割理論等，研究范圍主要集中在討論市場上存在的利率期限結構的形狀、形成原因以及他們所代表的含義。之后的定量分析主要是引入隨機過程，建立一些利率期限結構模型，包括均衡模型和無套利模型。

一、傳統的利率期限結構理論

（一）預期理論

利率期限結構的預期假說首先由歐文·費雪（Fisher）于1896年提出，是較早建立的期限結構理論。該理論認為，長期債券是一組短期債券的理想替代物，即不論人們所投資的債券期限長短，投資所取得的單一時期的預期收益率都相同，期限結構中隱含的遠期利率是未來即期利率的無偏估計。用公式表示為：

R(0,n)表示現在開始剩余期限為n期的即期利率，f(n-1,n)表示n-1時刻到n時刻的遠期利率。

市場中風險中立者的套利行為將促使遠期利率與預期未來即期利率趨于一致。因此，在純預期理論看來，收益率曲線的形狀，取決于投資者對未來即期利率的預期。但純預期理論認為所有市場參與者都具有相同預期的假定，顯然過于理想化。債券市場高度有效的假設意味著資金可以在長期市場和短期市場之間完全自由的流動。

（二）流動性偏好理論

流動性偏好理論認為，債券剩余期限越長，提前變現時的利率風險越大，即債券的流動性風險越大。該理論最初由希克斯（Hicks）提出。由于投資者的風險厭惡特性，大多傾向于持有短期債券，只能提供更高的收益來吸引投資者購買長期債券，只有在長期債券投資收益率能同時覆蓋預期利率水平和風險溢價時，投資者才愿意持有長期債券。因此，遠期利率是對未來即期利率的有偏估計，從長期利率中提煉出來的遠期利率同時反映了市場對未來的預期和流動性風險溢價，即：

與純預期理論相比，流動性偏好理論不僅考慮了預期還引入了流動性風險溢價，從而更貼近現實。但這一理論認為投資者總是偏好持有短期債券，因而風險溢價總是隨期限遞增的。然而事實并非總是如此，在投資期較長的情況下，持有短期債券會面臨再投資風險，而合適期限的長期債券則不存在這個問題。除此以外，投資者特定的資產負債狀況也會使得他們可能對某些期限的債券有一定的偏好，這些都是流動性理論未考慮的情形。

（三）市場分割理論

與以上兩種理論不同，市場分割理論認為，在進行貸款或融資時，借貸者并不能自由地在各個市場之間轉移證券，因為市場是低效的，存在著分割。該理論最早由卡伯特森（J.M.Culbertson）于1957年提出。他認為，機構的貸款或融資活動由于受偏好和行為方式等因素的制約，總是局限于一些特定的期限范圍內。比如商業銀行通常偏好中短期貸款，而保險公司則偏好長期貸款。借貸者分割的市場行為基本上決定了收益率曲線的形態。

根據債券到期期限的不同，市場被劃分為長、中、短3個部分，各部分的收益情況由其資金供求關系決定，并隨著資金供求的變化而變化。將各期限的資金供求均衡點連接，就得到完整的利率期限結構。如果短期均衡點利率低于長期均衡點利率，期限結構則呈上升趨勢；反之，則呈下降趨勢。

市場分割理論假設機構交易的根本目的是保證生存，但實際上大多投資者追求的卻是財富最大化，因此他們愿意向任何一個具有高收益預期的市場轉移，從而導致借款者和貸款者具有固定期限偏好的假定與現實不符，貸款市場并非完全分割。

（四）期限偏好理論

針對市場分割理論的缺陷，莫迪利亞尼和薩奇（Franco Modigliani和Richard Sutch，1966）提出了期限偏好理論。他們認為，不同類別的貸款者具有不同的期限偏好，但這些偏好并非是完全不變的。如果相應期限的風險溢價變化到足以抵消利率風險或再投資風險時，一些投資者的偏好就會發生改變。如果市場上對長期債務資金的需求較大，相對于短期利率來說，長期利率就會提高；如果市場上對短期債務資金的需求較大，則會出現相反的情況。競爭的結果就是使得相鄰兩個市場的收益率不會出現大的跳躍。因此，在期限偏好理論看來，利率期限結構反映了市場對未來利率的預期以及期限風險溢價。期限溢價反映了利率風險、再投資風險和期限偏好，風險溢價不再是簡單遞增，短期債券并非都是最優選擇。

二、現代利率期限結構理論

傳統利率期限結構基于定性的視角對可觀察到的利率期限結構及其形成原因做出解釋。自20世紀70年代末，隨著世界各國利率波動的加劇，尤其是美聯儲的貨幣政策逐漸由80年代初的數量型調控轉向價格型調控，加劇了對利率比較敏感的債券價格的劇烈波動。1973年，默頓（Merton）將股票收益率的設定形式移植到利率模型上來，從此開啟了以隨機過程為基礎的現代利率期限結構的研究。

（一）均衡模型

均衡模型從假定一些經濟變量開始，通過求解經濟的一般均衡，得到瞬時利率所遵循的隨機過程，從該過程中尋找債券和期權價格的含義，最后導出債券和期權價格的數值或解析表達式。其最大特點在于參數的非時變性，并且允許理論價格與實際價格存在差異。依據設定的不同，均衡模型又分為單因子模型和雙因子模型，前者主要包括Merton模型、Vasicek模型和CIR模型等；后者主要包括Brennan和Schwartz模型、Longstaff and Schwartz模型等。

1.Merton模型。默頓（1973）提出了最早也是最簡單的動態利率模型。他將對股票收益率的設定形式移植到利率模型中來，提出在風險中性測度下，瞬時利率的變化服從如下普通布朗運動：

其中，μ和σ均為常數，dW(t)為中性測度下的標準布朗運動。這就是利率期限結構的Merton模型。給定初始時刻t，風險中性測度下任一時點T的瞬時利率r（T）可表示為：

利用風險中性定價基本原理可以推出Merton模型下的資產定價公式和隱含的即期利率的一般公式：

Merton模型的意義在于它首次將隨機過程的分析框架引入利率的研究，從而刻畫了利率的動態變化，為利率期限結構問題的研究開拓了一種新思路。但同時也存在很多不足之處，表現在：（1）在Merton模型下利率可能為負，顯然與現實不相符。（2）Merton模型無法刻畫利率期限結構的基本靜態特征。（3）在刻畫利率動態特征方面，Merton模型也存在很大的缺陷，如利率不存在均值回復特征，無法刻畫利率波動率的典型特征，無法描述長短期利率受到不同因素影響發生不同變化的現象等。后來的研究者將漂移率和波動率為常數的假設放寬，從各個方面改善了Merton模型的缺陷，從而產生了眾多的利率擴展模型。

2.Vasicek模型。該模型由瓦西塞克（Vasicek）于1977年提出，是第一個滿足均值回復的模型。他假定在風險中性測度下，瞬時利率的變化服從如下隨機過程：

其中，k、μ、σ均為常數，參數k反映了利率回復到μ的速度。Vasicek模型說明，在T時刻支付1美元的零息票債券在t時刻的價格為：

由于r（t）是正態分布的，所以R（t，T）也是正態分布的。因此，只要確定了k、μ和σ，整個期限結構就可用r（t）函數來表示。

與Merton模型相比，Vasicek模型考慮了利率的均值回復特征，在刻畫利率期限結構的靜態特征和利率波動率方面有了較大的改進，但同時也存在不足之處，主要是沒有考慮未來即期利率可能為負，這與現實是不符的。此外，在刻畫利率期限結構靜態特征方面，只反映了R（t，∞）的有界，而忽略了它的時變性，沒有考慮利率波動率與利率水平之間的關系，現實中利率波動率的某些特征不能很好反映。

3.Rendleman和Batter模型。在Rendleman和Batter模型中，r的風險中性過程為：

其中，μ和σ為常數。這意味著利率r服從幾何布朗運動。該模型假定短期利率的變動與股票相似，可以用一個類似股票的二叉樹圖來計算出債券的價格，但結果并不理想。因為隨著時間的推移，利率會呈現出向某個長期平均水平收斂的均值回復特性，而Rendleman和Batter模型并沒有刻畫出這個特性。

4.CIR模型。CIR模型是一個持續競爭經濟的一般均衡模型，由考克斯、英格索爾和羅斯（Cox、Ingersoll和Ross）于1985年提出。它假定個人從消費單一商品中取得預期效用最大化，該商品是通過有限數量的技術狀態生產出來的。在實現效用最大化的過程中，通過選擇最優消費水平，財富中投資于每個生產過程的最優比例以及投資于各種債券或衍生品的最優比例來達到期望效用的最大化。

通過假設債券的價格服從某種隨機過程，考克斯等人在一般均衡條件下，導出了一個利率總是為非負的單因子CIR模型：

該模型與Vasicek模型一樣具有均值回復特性，但其隨機項的標準差隨著短期利率的上升而上升，并且與利率的平方根成正比。因此，對于CIR模型來說，套利將使得所有期限債券的風險價格相同。

CIR模型和Vasicek模型都可以刻畫正向、負向和上凸的收益率曲線。根據CIR模型導出的債券價格與Vasicek模型中的一般形式相同，即：

但B（t，T）和A（t，T）不同：

總之，CIR模型認為，利率期限結構在大多數情況下都存在正的期限溢價，因為它產生于經濟中的內在實際變量和總體均衡，因此它包含了風險規避、風險補償、財富限制及時間消費偏好等。此外，CIR期限結構圍繞長期利率（常恒）波動。由于模型過于復雜，在對經濟和風險參數進行估計以及進行實際預測時都存在一些困難，而且CIR模型只能考察利率期限結構的平行移動，這與現實不符。后續的研究者通過簡化模型假設和數理計算，推導出了債券及其他金融工具的定價公式。

5.Brennan和Schwartz雙因子模型。該模型是最早的兩因子模型，由布倫南和施瓦茲（Brennan和Schwartz）于1982年提出。他們認為，以往的單因子模型都假定不同期限債券的瞬時回報均完全相關，這與實際嚴重不符。因此，他們根據債券價格所遵循的隨機過程，建立了一個具有均值回復性質的隨機模型，分別用短期利率和長期利率來表示，之后運用伊藤定理計算出其收益率所遵循的隨機過程。

短期利率r和長期利率R的動態可描述為：

根據伊藤定理，利用數值方法可解出債券的價格表達式。與單因子模型不同，該模型是由短期利率與長期利率兩因子共同決定。利用該模型可以解釋不同形狀的收益率曲線。但模型并沒有給出為何選取這兩個因子的理由，因此后來有人提出了其他的兩因子模型。

6.Longstaff和Schwartz雙因子模型。朗斯塔夫和施瓦茲（Longstaff和Schwartz，1992）在均衡模型的框架下擴展了CIR模型，導出了一種新的雙因子模型。他們假定經濟中有兩個服從CIR過程的狀態變量，而消費者的投資收益的漂移率和波動率則是這兩個狀態變量的函數。之后通過最優化消費者的效用函數并將無風險利率與期望邊際效用變化率相聯系，應用伊藤定理得到了瞬時無風險利率所服從的隨機過程①：

從模型結果可以看出，L-S模型實際上是一個雙因子的CIR模型，其中一個因子是瞬時利率，另一個因子是瞬時利率的波動率。通過對微分方程的求解，朗斯塔夫和施瓦茲（1992）得出了零息債和零息債期權價格的解析解。

盡管L-S模型形式復雜，但由于模型存在解析解，它在實際應用中較為方便。與單因子CIR模型相比，L-S模型在擬合利率期限結構的變化以及波動率期限結構上有了更大的突破，但忽略了長期利率對債券價格的影響。由于該模型本質上仍屬于均衡模型，因此缺少無套利的市場接口。

7.CKLS模型。CKLS模型是陳、卡羅伊、朗斯塔夫和桑德斯（Chan、Karolyi、Longstaff和Sanders）4位學者于1992年建立的一個實證檢驗的模型。模型的具體形式如下：

其中λ為常數。當參數α、β、λ取不同的值時，上式對應不同的模型。

模型Merton Vasicek CIR Dothan R-B B-S具體形式dr=μdt+δdW dr=(α + βr)dt+ δdW dr=(α + βr)dt+ δr1 2dW dr=δrdW dr=βrdt+δrdW dr=(α+βr)dt+δrdW α λ 0 0 1/2 0 0 β 0 0 1 1 1

針對λ的不同取值，運用極大似然法對參數進行估計，他們發現，那些允許波動率隨無風險利率變化的模型擬合度較好，因此，在選擇模型時要考慮波動率能否反映利率的動態特征。CKLS模型是一種通用模型，通過它能夠對各種模型進行實證檢驗。

以上模型都是均衡模型，它們的共同缺點是擬合效果較差，即通過模型計算出的證券價格與實際價格存在較大差異，在現實市場中不太令人滿意。當模型不能對基礎證券做出準確定價時，衍生品的定價更是無從說起。當然，這些模型的優點相對簡單，計算方便。

（二）無套利模型

無套利模型以債券等相關資產之間必須滿足的無套利條件為基礎，選擇時變的參數值，使得每個時點上模型生成的利率期限結構與市場上觀察到的利率期限結構之間不存在套利機會。代表性的模型包括Ho-Lee模型、Hull-White模型和HJM模型等。

1.Ho-Lee模型。胡和李（Ho和Lee，1986）利用離散的二叉樹圖首次提出了利率期限結構的無套利模型，該模型包含短期利率的標準差和該短期利率風險的市場價格這兩個參數，如下所示：

Ho-Lee模型用一種比較簡單的方式來模擬利率期限結構的時變特征，它是對Merton模型的無套利擴展，是可解析處理的馬爾科夫模型，應用簡便而且能精確地符合當前的利率期限結構。模型的缺點是不具有均值回復特征，而且即期和遠期利率標準差相同并且為常數。

2.Hull和White模型。赫爾和懷特（Hull和White，1990）在Vasicek模型基礎上，將模型中的參數變為關于時間的確定性函數，即假設在風險中性測度下有：

其中， θ(t)， a(t)， δ(t)都是時間的確定性函數。然而上述模型在實際模型界定中有一些不盡如人意的地方。1994年，他們對該模型進行了改進，僅將Vasicek模型中的參數θ變為關于時間的確定性函數，而其他參數仍為常數，得到模型：

很顯然，當a=0時，該模型就是Ho-Lee模型。模型中隨時間變化的確定函數θ(t)由當前觀測到的市場利率期限結構決定，滿足

Hull-White單因子模型的優勢在于：將Vasicek模型拓展為更為靈活的無套利模型，對瞬時利率長期均值的時變設定使其可以完全擬合當前時刻市場上的利率期限結構。但由于Hull-White單因子模型并未對Vasicek模型的其他缺陷加以改善，因此仍存在Vasicek模型的其他不足，包括利率可能為負、利率波動仍與水平無關等。

針對單因子模型的不足之處赫爾和懷特（1994）在單因子模型基礎上提出了雙因子模型。該模型將風險中性測度下瞬時利率的隨機過程設為

其中，μ的初始值為0，并且遵循如下過程：

如上面單因子模型中的情況，根據初始期限結構選擇參數θ(t)，隨機變量 μ是r的回復水平的一個組成部分，并且隨機變量μ以速率b拉向0水平。參數α 、b、 σ1和 σ2都是常數， dW1和 dW2是維納過程，兩者的瞬態相關系數為 ρ。上述模型比單因子模型更能充分解釋期限結構移動模式以及波動率模式。

3.Black-Derman-Toy模型。為保證利率始終為正，BDT模型假設利率服從對數正態分布。與Ho-Lee離散模型節點自然重合不同，BDT模型無法保證節點的自然重合，需要施加外部約束。Black，Derman and Toy（1990）最早只提出了BDT模型的離散形式，之后赫爾和懷特（1990）給出了BDT模型的連續形式：

其中，σ'是下一個時間段短期利率r的瞬時標準差。BDT模型實際上是假設瞬時利率服從參數時變的Vasicek模型，因此是一個無套利的均值回復模型。該模型只有兩個待估參數：θ(t)和σ(t)，這兩個時變的參數都由t時刻的市場數據校準得到。與Hull-White單因子模型相比，BDT模型既可以擬合當前市場上的利率期限結構，又可以完全擬合當前利率波動率的期限結構。由于BDT模型使用利率的對數建模，還避免了模型生成負利率的可能。但BDT模型中趨勢變量完全由短期利率的波動率來決定，這種方式不是很精確，模型應該在不受波動率的影響下，單獨考慮均值回復的性質。

4.Black-Karasinski模型。在BDT模型中，利率的均值回復速度完全是由波動率決定的，這一假定過于嚴格，而且可能并不合理。布萊克和拉辛斯基（Black和Karasinski，1991）在BDT模型的基礎上引入了第三個參數，單獨刻畫利率的均值回復速度，其連續形式為：

其中，φ(t)為均值回復速度， μ(t)為目標利率，σ(t)為區域波動率，即lnr的波動率，由于BK模型引入了時變的均值回復速度φ(t)，可以視為BDT模型的一般化。因此，與BDT模型相比，BK模型更靈活。由于多引入了一個待估參數，BK模型的樣本內擬合效果必然會優于BDT模型。但是，這同時也意味著擬合該模型所需的市場信息將增加，且樣本外的定價和預測結果并不必然優于BDT模型。

由于BK模型是對數正態分布的模型，利率不可能為負，并且允許獨立設定均值回復的行為。但是該模型與其他離散模型一樣，利率的樹狀圖面臨節點不重合的可能，均值回復的行為將受到波動率結構的影響。

5.HJM模型。希思、賈羅和莫頓（Heath、Jarrow和Morton，1992）提出的HJM分析框架給出了無套利模型的一般形式，幾乎所有的無套利模型都可以看成是HJM框架的特例。在此之前的模型都是從假定債券價格或即期利率服從某種隨機過程入手，而希思、賈羅和莫頓則從設定瞬時遠期利率在現實測度下的隨機過程出發，將當前的利率期限結構作為輸入變量，基于無套利條件推出風險中性測度下瞬時遠期利率所應遵循的隨機過程，進而求解債券與衍生品價格。

HJM模型假設瞬時遠期利率在現實測度下服從如下過程：

其中， f(t,T)表示在t時刻觀測到的T時刻到期合約的瞬時遠期利率，ωˉt表示直到t時刻為止發生的所有事件②，α（?）和σ（?）分別表示現實世界中瞬時遠期利率的漂移率和波動率。他們運用無套利分析導出了瞬時遠期利率的漂移率和波動率之間的關系，即：

因此，只要估計出了遠期利率的波動率，就可得到瞬時遠期利率的漂移率，從而求出債券的價格。與其他直接假定短期利率服從布朗運動的短期利率模型不同，該模型是非馬爾科夫過程，短期利率樹圖不一定重合，需要用蒙特卡洛模擬方法來處理，缺點是耗時過久。

HJM模型的結果可以擴展到多個獨立因子的情況。假設

和之前一樣進行類似的分析，得到③：

該式是HJM分析框架的核心結論，由于刻畫的是無法觀測的瞬時遠期利率，而且計算速度慢，因此，HJM模型的應用不是很多，但該模型為其他利率模型的構建提供了一個較好的框架。

總而言之，不管是均衡模型還是套利模型，其所描述的均是風險中性世界中的利率變動行為。而實證檢驗所利用的利率數據都是現實世界的，因此在對衍生產品定價時，必須通過Girsanov定理先將現實世界轉換為風險中性世界，然后再利用風險中性世界中的相應結果進行定價。

三、利率期限結構模型的研究新進展

利率期限結構理論在近年出現了兩極化發展趨勢。一個方向是在HJM分析框架下向更微觀的市場模型（LMM）拓展，另一個方向是向大型的宏觀金融模型發展，用潛因子和宏觀經濟變量來解釋利率期限結構。

（一）市場模型

長期以來，利率建模主要是基于即期利率模型和瞬時遠期利率，而瞬時遠期利率在市場中是不可直接觀測的，使得模型相對不易理解。隨著利率上限和利率互換期權產品在國際利率市場上交易的日益頻繁，針對這兩種產品的標的資產利率建模也成了利率模型發展的必然趨勢。自1997年Brace、Gatarek和Musiela首次建立BGM模型以來，市場模型已經由最初的遠期Libor模型發展到帶隨機波動率的市場模型、帶跳躍的市場模型等一系列復雜模型，由于對隨機積分的要求過高，模型也越來越難以處理。LMM模型的優點在于模型建模對象是基于市場上能夠觀察到的遠期利率（比如Libor利率），且模型本身具有動態結構，可反映不同期限利率的動態走勢。目前主流的市場模型分為兩類：LFM模型和LSM模型。LFM模型是基于利率上限的標的利率進行建模，而LSM模型是基于利率互換期權的標的利率建模。二者都假設利率在某種風險中性測度下的動態服從幾何布朗運動。

1.LFM模型。假設對于任意的1≤i

其中，Wi+1t是遠期風險中性測度Pi+1下的標準布朗運動，γi(t)是一個關于時間t的確定性函數。通過測度變換和伊藤積分可知，LFM模型又可以表示為在同一個遠期測度Pn下，所有Fi(t)都滿足的方程形式：

其中，Wnt是遠期風險中性測度Pn下的標準布朗運動。

由LFM模型的基本假設可知，遠期利率F(t,Ti,Ti+1)在遠期測度下是一個無漂移項且標準差具有如下形式的幾何布朗運動。

這與BS框架的假設是一致的，因此，對利率上限的定價就變得簡單很多。其利率上限單元的價格可由類似于BS公式的推導得到如下形式：

其中，Φ(x)為標準正態分布的分布函數，且

2.LSM模型。LSM模型假設對任意的1≤i

與LFM模型類似，LSM模型假設遠期互換利率S(t,Ti,Ti+1)在遠期測度Pi,j下是一個無漂移項且標準差具有如下形式的幾何布朗運動：

則以其為標的的利率互換期權的價格也可由類似于BS公式的推導得出：

其中，Φ(x)為標準正態分布的分布函數，且：

需要特別指出的是，LFM模型和LSM模型是內在矛盾的，LFM模型認為遠期利率服從對數正態分布，而LSM認為遠期互換利率服從對數正態分布。由于兩個假設是不可能同時滿足的，因此，在同一遠期風險中性測度下，兩個模型不可能同時得到上述各自模型形式。有學者在各自風險中性測度下給出了對方所滿足的具有幾何布朗運動形式的隨機微分方程，但模型失去了鞅性，不再適用于BS理論框架，這極大地影響了模型的應用。實際上，兩個模型雖然互不兼容，但其各自風險中性測度之間具有關聯，并能夠找到各自參數之間的近似表達式，這樣，通過參數之間的相互作用，拉進了模型之間的一致性，從某種程度上減弱了不兼容性所引起的對模型的詬病。

（二）宏觀金融模型

在研究利率期限結構時，無套利定價模型沒有考慮宏觀經濟因素對利率期限結構的影響，根據凱恩斯理論，利率是投資者進行投資決策和政府制定政策的重要依據，在宏觀經濟中占有重要地位。作為宏觀政策制定者，希望知道驅動利率變動的真實力量以及利率與宏觀經濟變量之間的關系，因為利率是中央銀行監控金融系統和調節貨幣政策的工具，中央銀行通過在公開市場上買賣不同到期債券來影響利率的期限結構，從而實現對經濟的調控。另一方面，短期利率又是其他期限利率的基準，長期利率可看作經風險調整的預期短期利率的期望值。因此，一些學者在無套利模型的基礎上，將宏觀經濟模型與利率期限結構模型相結合，從宏觀經濟學和金融學的雙重視角，構建了宏觀金融模型，考察了宏觀經濟變量對利率期限結構的影響，深化了對利率期限結構理論的認識。同時，在宏觀經濟模型中引入利率期限結構信息來提高模型參數估計的效率以及模型對關鍵參數的識別能力。

新凱恩斯理論和泰勒規則的提出，是宏觀金融模型觸發和發展的關鍵。新凱恩斯理論是近三十年學者們研究經濟周期和經濟波動的主流理論框架，它將不完全競爭和名義剛性融入一般均衡之中，用較少的宏觀經濟變量構造隨機動態一般均衡（DSGE）模型，以此為基礎分析貨幣、經濟周期和通貨膨脹之間的關系。新凱恩斯模型通過優化消費者或者廠商效用函數推導出經濟變量的均衡條件，具有很強的微觀理論基礎。泰勒（1993）提出的泰勒規則描述了中央銀行如何使用利率手段來保持較低并且穩定的通貨膨脹率及避免產出和就業的劇烈波動，分為后顧型和前瞻型的泰勒規則。后顧型泰勒規則將利率表示為通貨膨脹和產出缺口的仿射函數，前瞻型泰勒規則引入了預期通貨膨脹的概念，將利率表示為預期通貨膨脹與目標通貨膨脹之差和產出缺口的仿射函數，以此刻畫央行對利率的調節機制。根據泰勒規則，安和皮亞澤西（Ang和Piazzesi，2003）在無套利約束下首次將通貨膨脹率等宏觀經濟變量引入到仿射利率期限結構模型中，用向量自回歸（VAR）的方法描述了短期利率與宏觀經濟變量之間的聯系，探討宏觀經濟對利率期限結構的影響，從而開啟了宏觀金融模型研究的新時代。

現實中的經濟和金融數據大多是離散的，在進行實證分析時需要把連續時間模型離散化為時間序列。依照無套利原則，將仿射利率期限結構中因子和定價核的隨機方程進行離散化，得到如下模型：

第一個等式是定價核的離散形式，εt+1是白噪聲，服從獨立同分布；第二個等式是離散的因子模型，具有向量自回歸（VAR）的形式，用于描述因子的動態變化，擴散系數為常數矩陣D，利率函數r(Xt)和風險市場價格函數 λ(Xt)中的系數 ρ0， ρ1， γ0，γ1均為常數。

現有文獻中的宏觀金融模型均以該模型為研究框架，區別主要體現在因子的選取上（金，2009）。所有到期收益率均表示為因子的仿射函數，因子可看作利率期限結構的基。按因子的來源將模型分為內基模型和外基模型④。內基模型的因子不可觀測，只能通過債券到期收益率數據用統計方法得到，比如通過卡爾曼濾波或主成分分析法。外基模型的因子則全部由可觀測的宏觀經濟變量構成，如通貨膨脹、產出缺口和利率等。對于既包含可觀測變量又包含隱因子的模型，可按照因子模型的設定劃分：如果因子模型是沒有施加經濟理論約束的一般VAR模型，則該模型為內基模型；如果因子模型是根據經濟理論得出的結構向量自回歸（SVAR）模型，則可看作是外基模型。

因子不可觀測的內基模型由于采用的是VAR模型來刻畫因子的變化，缺乏經濟理論支撐，因此在實證過程中應對模型施加約束，以減少模型估計的參數。其中以安和皮亞澤西（2003）、勞巴克（Laubach，2007）、德瓦曲和亞尼亞（Dewachter和Iania，2009）等學者的內基模型為代表。與內基模型不同，外基模型強調模型本身的內生穩定性。外基模型中的因子為宏觀經濟變量，模型具有明確的經濟含義，因子動態模型采用基于新凱恩斯理論的動態一般均衡（DSGE）模型，采用SVAR模型進行估計和檢驗。其中以拉文納和塞帕拉（Ravenna和Seppla，2005），奧爾塔爾、特里斯塔尼和韋斯廷（Hordahl、Tristani和Vestin，2006）、魯德布施和吳（Rudebusch和Wu，2008）、貝克特、曹和莫雷諾（Bekaert、Cho和Moreno，2010）等外基模型為代表。

雖然宏觀金融模型研究起步較晚，但發展迅速，在取得一些研究成果的同時，還有很多需要深入和完善的地方。比如為了保證收益率具有放射形式的解析解，現有的宏觀金融模型大都建立在仿射期限結構模型基礎上，模型設定缺乏經濟學和金融學理論基礎。此外，盡管從偏好函數出發，推導動態一般均衡利率期限結構模型的研究已經取得了一些進展，但根據潛在偏好和技術參數來設定無套利宏觀金融模型仍然面臨著很大的挑戰。比如安德烈亞森（Andreasen，2008）在仿射期限結構模型的基礎上，通過非線性DSGE模型構建了宏觀金融模型，將投資者偏好、勞動生產率和投資沖擊分解為平穩和非平穩兩個部分。他認為沖擊中的平穩部分只能解釋短期利率和宏觀經濟變量的動態行為，而沖擊中的非平穩部分可解釋中長期利率的動態行為。李、辛格爾頓和戴（Le、Singleton和Dai，2010）提出的離散時間仿射期限結構模型，解決了風險市場價格是因子的非線性函數問題，從而可以更為靈活地設定宏觀金融模型中的因子模型和風險價格函數形式，為實際宏觀金融模型的研究奠定了基礎。

注：

①具體推導過程參見：Longstaff and Schwartz（1992）。

②為書寫方便，在后續推導中，我們將省略ωˉ。

③具體推導過程參見：陳蓉、鄭振龍，固定收益證券[M].北京大學出版社，2011。

④金（Kim，2009）將宏觀金融模型劃分為內基模型和外基模型，也有學者將其劃分為結構化宏觀金融模型和簡約型宏觀金融模型，內基模型與結構化宏觀金融模型相似，外基模型與簡約型宏觀金融模型相似。

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