數學極限法在物理解題中的應用

黃麗艷

極限法是把某個物理量或某個物體的位置推向極端，即極大和極小或極左和極右，并依此做出科學的推理分析，從而給出判斷或導出一般結論。極限法在進行某些物理過程的分析時，具有獨特作用，恰當應用極限法能提高解題效率，使問題化難為易，化繁為簡，思路靈活，判斷準確。因此要求解題者不僅具有嚴謹的邏輯推理能力，而且要具有豐富的想象能力，從而得到事半功倍的效果。

例1.如圖1所示，甲、乙兩物體在同一直線上同時沿同方向運動。甲以速度v0做勻速運動，乙從靜止開始以加速度a做勻加速直線運動，開始時乙在甲前，且距離甲s遠，求當s滿足什么條

件時：

■

（1）甲、乙只能相遇一次;（2）甲、乙能相遇兩次。

解析：甲、乙相遇時，它們的位移之差為s，可推測相遇時間t必與s有關，t是否有實數解取決于s是否滿足判別式大于等于零。

設甲、乙兩物體運動t時間相遇，則s甲-s=s乙，即v0=■at2，整理得t2-■t+■=0這是一個關于t的二次方程，判別式？駐=（■）2-■

（1）若？駐>0，即s<■時，方程有兩個解，甲、乙能相遇兩次;

（2）若？駐=0，即s=■時，有一個解，表明甲、乙只能相遇一次。

例2.設地球的質量為m1，人造衛(wèi)星的質量為m，地球的半徑為R0，人造衛(wèi)星環(huán)繞地球做圓周運動的半徑為r。試證明：從地面上將衛(wèi)星發(fā)射至運行軌道，發(fā)射速度v=■，并用該式求出這個發(fā)射速度的最小值和最大值。（取R0=6.4×106 m，設大氣層對衛(wèi)星的阻力忽略不計，地面的重力加速度為g）

解析：由能量守恒定律可知衛(wèi)星發(fā)射后在地球的引力場中運動時總機械能為一常量。設衛(wèi)星從地面發(fā)射的速度為v發(fā)，衛(wèi)星發(fā)射后具有的機械能為

E1=■mv2發(fā)-G■①

進入軌道后衛(wèi)星的機械能為E2=■mv2軌-G■②

由E1=E2，并代入v軌=■，解得發(fā)射速度為v發(fā)=■③

又因為在地面上可以認為萬有引力等于重力，即G■=mg所以■=R0g④

把④式代入③式解得v發(fā)=■

（1）如果r=R0，即當衛(wèi)星貼近地球表面做勻速圓周運動時，所需發(fā)射速度最小為vmin=■=7.9×103 m/s

（2）如果r→∞，所需發(fā)射速度最大（稱為第二宇宙速度或脫離速度）為vmax=■=11.2×103 m/s

例3.一物體一速度v0=10m/s沿光滑地面滑行，然后沿光滑曲面滑行，然后沿光滑曲面上升到頂部水平的高臺上飛出，如圖2所示，當高臺的高度h多大時，小物體飛行的水平距離s最大？這個距離是多少？（g取10 m/s2）

解析：依題意，小物體經歷兩個過程。在脫離曲面頂部之前，小物體受重力和支持力，由于支持力不做功，物體的機械能守恒，物體從高臺飛出后，做平拋運動，其水平距離s是高度h的函數。

設小物體剛脫離曲面頂部的速度為v，根據機械能守恒定律，有

■mv20=■mv2+mgh①

小物體做平拋運動的水平距離s和高度h分別為

h=■gt2② s=vt③

以上①②③聯(lián)立解得

s=■■=2■

當h=■=2.5 m時，飛行距離最大，為smax=■=5 m。

？誗編輯 段麗君endprint