構造基本圖形巧解題

周林超

問題 如圖1，E是直線AB，CD內部一點，AB∥CD，連接EA，ED。

探究猜想：

①若∠A=30°，∠D=60°，則∠AED等于 °；

②猜想圖1中∠AED，∠BAE，∠EDC的關系，并說明你的理由。

本題是由2018年隨州市中考題改編而來，是一道從特殊角的計算，到一般結論的猜想與說理題。周老師就問題②猜想的結論∠AED=∠BAE+∠EDC的說理過程的四種解法，與同學們談談復雜問題中基本圖形的構造。

一、從“E”點出發構造平行線基本圖形

【解法1】如圖2，過點E作EF∥AB，因為AB∥CD，所以CD∥EF，得∠BAE=∠AEF，∠EDC=∠FED，所以∠AED=∠AEF+∠FED=∠BAE+∠EDC。

【解法反思】通過作平行線，利用兩直線平行內錯角相等，兩角分別轉化，角的關系清楚呈現。

二、從“E”點出發構造三角形基本圖形

【解法2】如圖3，過E作EH⊥CD，垂足為H，并反向延長EH，交AB于G，由平行線性質得∠AGH=90°，所以∠BAE+∠AEG=90°，∠EDC+∠DEH=90°，所以（∠BAE+∠EDC）+（∠AEG +∠DEH）=180°。又因為∠AED+（∠AEG +∠DEH）=180°，所以∠AED=∠BAE+∠EDC。（過點E直接作直線與AB、CD相交也可以。）

【解法反思】從“E”出發，把∠BAE，∠EDC放入兩個三角形中，利用三角形內角和和平角的定義，結合等式的性質，代換出三角關系。

三、從“AE”出發構造平行線基本圖形

【解法3】如圖4，延長AE交CD于點F，由∠AED是△DEF的外角，得∠AED=∠EDC +∠AFD，由AB∥CD，∠BAE=∠AFD，所以∠AED =∠BAE+∠EDC。

【解法反思】延長AE，既構造了三角形的外角，又轉化了∠BAE，可見構造平行模型十分重要。

四、從“AD”出發構造平行線、三角形基本圖形

【解法4】如圖5，連接AD，由AB∥CD得∠BAD+∠ADC=180°，即（∠BAE+∠EDC）+（∠1+∠2）=180°。由△ADE內角和為180°，得（∠1+∠2）+∠AED=180°，所以∠AED =∠BAE+∠EDC。

【解法反思】連接AD，既構造了平行模型，又得到三角形。事實說明：解題中，只要有思路，就會有出路。只要大膽嘗試，就可能找到解決問題的途徑。

（作者單位：江蘇省建湖縣城南實驗初中教育集團）