推廣的Cantor函數的性質

蹇煥燕，付秋菊，張正亮（宜賓學院數學學院，四川宜賓644007）

推廣的Cantor函數的性質

蹇煥燕，付秋菊，張正亮
（宜賓學院數學學院，四川宜賓644007）

通過分析推廣的Cantor函數的取值特點，討論這類特殊函數的連續性、可微性、可積性，得出這個特殊函數不可導點構成[0,1]上的類似于Cantor集的集合.

值域；連續性；可積性；可導性；Cantor函數

Jian HY,Fu QJ,Zhang ZL.Propertiesof Extended Cantor Function[J].Journal of Yibin University,2015,15（6）：121-124.

數學分析[1]討論的是函數的連續性、可微性、可積性等微觀與局部性質，這些函數包括初等函數以及一些特殊函數，如隱函數（組）、積分函數、級數函數、極限函數等.對于由微分形式構成的函數方程在文獻[2]中已考慮其可解性與解法，其它形式的函數方程散見于一些習題參考書[3].Cantor函數[4-5]是用其某些性質來定義的一類特殊函數，本文主要討論由如下形式的函數方程確定的函數，它是Cantor函數的推廣.設 f（x）是定義在[0,1]上的函數，且滿足以下條件：

首先分析了函數的取值特點，并通過該特點證明當b=2,a＞2時，函數 f（x）在[0,1]上的一致連續性，用兩種方法計算出該函數在[0,1]上的定積分，并用迫斂的方法證明了 f（x）在[0,1]上的一些特殊點不可導，這些不可導點構成的是一個類似于Can? tor集的集合，Cantor集的構造方法見文獻[6].

1　b=2、a＞2的情形

1.1函數取值情況

為了方便，本文采用集合論中類似于Cantor集的構造方法，先對定義域 [0,1]進行分割，記E

再將E1*的兩個區間分別分為3個小區間，即：

令

按此方法繼續下去，得到一系列小區間Ek、和Eki（k=1,2,…；i=1,2,…2k-1），這些Ek和滿足以下特點：

由（1）（2）知 f（0）=0,f（1）=1,在（1）（2）中令可得，再由 f（x）在[0,1]上單增得：

再由（1）得：

又由 f（x）在[0,1]上單增得出：

可得：

再由（1）得：

再由 f（x）在[0,1]上單增得：

1.2連續性與一致連續性

定理1f（x）在閉區間[0,1]一致連續，進而連續.

這表明 f（x）在閉區間[0,1]上一致連續，進而f（x）在[0,1]上連續.

1.3可積性

證明：由 f（x）在閉區間[0,1]上連續可得可積性.可積性也可由 f（x）在[0,1]上單增直接得出.

可用以下兩種方法求 f（x）在[0,1]上的定積分.

方法一：換元法.

設：

又令x=1-t可得：

由（4）+（5）得：

方法二：測度論的方法.

按上述定義域[0,1]的分法，f（x）在[0,1]上的積分就等于E11,E21,E22,E31,E32,E33,E34…等無窮多個區間所對應的小矩形面積之和.

1.4可微性

證明：由 f（x）+f（1-x）=1、bf（x）=f（ax）可知，只需證明 f（x）在x=0處右導數不存在，則 f（x）在x=1處左導數不存在，進而在處左導數不存在，從而在處右導數不存在，由此可得：f（x）在…處不可導，而易知在其他點導數是存在的，且為0.

下證 f（x）在x=0處右導數不存在.

因為：

另外：

又：

由夾逼定理得：

所以 f（x）在x=0處右導數不存在.

說明：當a=3時，不可導點的集合構成Cantor集，從而得出了 f（x）的不可導點構成的集合E具有Cantor集的性質[7]：

性質1：E是完備的非空有界疏朗閉集.

性質2：E是零測集，從而為可測集.

性質3：E的基數為Eˉ=C.

2　b≠2、a＞b的情形

對于b≠2的情形，由（3）得：f（x）在[0,1]上可積，但它的連續性和可微性又怎么樣呢？

綜上，當b≠2,a＞b時，f（x）在[0,1]上的連續性取決于 f（x）在是否連續，所以該函數在[0,1]上可能連續，也可能不連續.

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社, 2001.

[2]王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程[M].第三版.北京：高等教育出版社,1978.

[3]李文榮，張全信.函數方程與微分方程的解析解[J].北京：科學出版社,2008.

[4]Fleron,JF.A note on the history of the Cantor setand Cantor func?tion[J].Math Mag,1994（67）：136-140.

[5]楊曉玲.廣義的Cantor函數的解析表示[J].云南大學學報（自然科學版）,2001，23（6）：417-421.

[6]陳其襄,張奠宙,魏國強,等.實變函數與泛函分析基礎[M].第三版.北京：高等教育出版社,2003.

[7]周民強.實變函數論[M].北京：北京大學出版社,2001.

（編校：許潔）

Propertiesof Extended Cantor Function

JIANHuanyan,FUQiuju,ZHANGZhengliang
（CollegeofMathematics,Yinbin University,Yibin,Sichuan 644007,China）

The continuity,differentiability,integrability of extended Cantor function were discussed by characters of val?ues.The results show that the setofnon-differentiable points isa Cantor-like setin[0,1].

valueof function；continuity；differentiability；integrability；Cantor function

O174.1

A

1671-5365（2015）06-00121-04

2015-04-10修回：2015-04-27

2013年大學生課外科技活動項目“一類特殊函數的性態”（2013X113）；2013校級本科教學工程項目“基于競賽、考研的問題探究式教學改革”（宜學校教〔2013〕291號）

蹇煥燕（1993-），女，本科生，數學與應用數學專業

張正亮（1973-），男，副教授，碩士，研究方向為泛函分析

網絡出版時間：2015-04-27 17：18網絡出版地址：http：//www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.Z.20150427.1718.001.html

引用格式：蹇煥燕，付秋菊，張正亮.推廣的Cantor函數的性質[J].宜賓學院學報,2015,15（6）：121-124.