一種計算高速鐵路軌道結構精確解的方法

易強，王平，趙才友

(1.西南交通大學高速鐵路線路工程教育部重點實驗室，四川成都610031;2.西南交通大學土木工程學院，四川成都610031)

為了實現具備施工便利、輕質高強以及建筑學美感等優點，高速鐵路軌道結構的一般路段常設計成由一些相同構造的單元(元胞)以重復性的規則沿線路縱向排布而成，因此高速鐵路軌道結構常可視為周期性結構。同時，高速鐵路又通常采用超長無縫線路技術，周期性鐵路軌道結構則可近似認為沿線路縱向是無限周期性結構。目前對于軌道結構力學分析的主要方法是利用有限元軟件建模計算，但是，由于在模型的建立中往往只能取一段軌道結構進行計算分析，并考慮到單元網格的劃分，因而不能實現對無限長周期軌道結構的精確求解。另外，文獻［1］中基于文克爾地基梁模型也給出了在輪載作用下鋼軌的垂向位移、彎矩的計算公式，但是由于其模型采用了等效剛度的方法，計算結果與真實值有一定的誤差。U變換是針對于循環周期性結構的求解而提出的方法［2］。循環周期結構指的是由N個幾何與物理性質完全相同的子結構組成，這N個子結構關于某軸對稱，整個結構繞該軸旋轉2π/N的整數倍角度后，結構的幾何位置不變［3］。最早，Thomas利用循環周期結構特性求解了單一子結構的哈密爾頓矩陣特征值，并證明了所有的模態都可用循環模態表示。基于Thomas的理論，Cai等［4］引入循環坐標，推導出U變換矩陣，首次對循環周期結構提出了一種精確的解法—U變換法，不僅明顯減小了計算量，而且求得了循環周期結構的精確解。由此，國內對U變換在周期結構的精確計算中進行了大量的研究工作:Cai［5－6］等把U變換推廣為雙U變換法，用于雙周期系統的求解;Yang等［7－8］利用有限元法和 U變換結合，對簡支梁的靜力、動力問題進行分析。在無限長的軌道結構中，鋼軌通過等間距并且性能相同的扣件與軌枕連接，彈簧扣件和中間的一段鋼軌組成一個元胞結構，每個元胞結構性質相同。當軌道長度無限長，即元胞結構數目N趨于無窮時，將鋼軌兩端在無窮遠處連接，即可將軌道結構作為循環周期性結構處理，并應用U變換進行求解。U變換是利用U矩陣進行解耦，從而使原結構轉化為循環坐標中的非耦合問題，對單一元胞結構進行分析計算，進而得到無限長軌道結構的精確解［9］。

1 基于2種軌道模型的計算

本文考慮2種彈性點支承軌道結構模型，軌枕離散地分布于鋼軌下，并由扣件系統將鋼軌與軌枕聯系在一起。因此，點支承模型較為符合軌道的實際情況。彈性點支承模型是將鋼軌視為在一系列等間距的彈簧阻尼系統支承下的梁結構，可分為單層、雙層以及3層彈性點支承模型［10－11］。層數越多，則可更加詳細地分析軌枕、扣件系統甚至道床的結構響應。軌道的受力、變形對列車的運行安全性和舒適性有著重要的影響［12］，因此對軌道結構精確求解至關重要。

1.1 單層彈性點支承模型

建立無限長軌道模型，如圖1所示。鋼軌抗彎剛度為EI，扣件彈簧剛度為k，扣件阻尼系數c，扣件間距為l，元胞結構數量N為無窮。

根據圣維南原理，當在某一跨或局部有限區域內施加荷載時，在無窮遠處不會引起內力和位移;在無窮遠端的邊界條件也不會對有限區域的受力產生影響［13］。因此，可以把無窮遠處兩端的鋼軌連接起來形成圓環結構，這個圓環具有無限個元胞結構并且半徑無窮大。由此可知，該結構滿足循環周期性結構性質，可以利用U變換進行計算求解。

圖1 單層彈性點支承模型及其元胞結構Fig.1 Single layer elastic point supported model and the cellular

由于軌道結構的周期性，任取其中一個元胞結構分析，并以跨中點作為原點建立局部坐標系，在局部坐標系下對元胞結構建立靜力學撓曲微分方程:

式中:EI為鋼軌抗彎剛度;l為鋼軌扣件間距;wk為第k跨鋼軌的垂向位移;Fk(x)為第k跨鋼軌所受的荷載。由軌道結構的連續性可知，鋼軌的撓曲變形、轉角、彎矩值都是連續的，因此:

并由彈簧支座處y方向受力平衡條件可得:

在無窮遠處第1跨和第N跨相連接，即w1(x)=wN+1(x)。應用U變換進行解耦:

其中:qm(x)為第m個廣義位移;2π/N。

將U變換公式(3)代入微分方程(1)和邊界條件(2)中，可得:

其中:fm(x)表示荷載F在第m個子結構空間的投影矢量。

由方程(4)和(6)可解得qm(x)的特解，再由U變換:可求得每一跨在局部坐標系下的精確撓度值。即可以求得無限長軌道結構中每一個位置的撓度、轉角、彎矩值。

1.2 雙層彈性點支承梁模型

建立無限長軌道雙層彈性點支承梁模型，如圖2所示，由周期循環結構的定義可知，該結構滿足周期循環結構，元胞結構如圖所示。因此可以運用U變換求解。

圖2 雙層彈性點支承模型及其元胞結構Fig.2 Double－deck elastic point supported model and the cellular

取其中一跨作為元胞結構，并以跨中點作為原點建立局部坐標系，在局部坐標系下對元胞結構建立靜力學基本微分方程:

式中:EI為鋼軌抗彎剛度;l為鋼軌扣件間距;w為鋼軌垂向位移;Fm(x)為第m跨所受的荷載;為軌枕位移;k為扣件剛度;k為道床剛sc度。

應用U變換進行解耦，得到邊界條件的坐標轉化:m=1，2，…，N

根據邊界可解得qm(x)的特解，再由U變換:即可求得無限長軌道中每一個位置的撓度、轉角、彎矩精確值。

2 2種軌道結構模型計算

2.1 單層彈性點支承模型

2.1.1 集中力荷載下求解

假設集中力荷載P作用在軌道第1跨中點處，軌道其他位置均無荷載作用，則定義荷載:

其中δ(x)為狄拉克函數:

將(7)代入方程(5)可得:

根據剪力分布對稱條件可得:

3次積分后得到方程的通解:

引入邊界條件(6)即可求得qm(x)的函數表達，則每一跨的撓度函數可通過U變換求得:

取60鋼軌計算、軌道結構參數:E=210 GPa，I=3.2 ×10－5m4，l=0.6 m，k=33 kN/mm，集中力荷載P=220 kN。

將參數代入式(8)和(9)中計算得到每一跨的撓度函數的表達式:

計算得到鋼軌每跨跨中撓度和彎矩，如表1所示。

表1 集中力作用下鋼軌跨中撓度和彎矩Table 1 Deflection and bending moment of the rail at middle span under concentrated load

2.1.2 均布荷載下求解

假設在軌道第1跨作用均布荷載p，軌道其他位置均無荷載作用，則定義荷載:

F1(x)=p;F2(x)=F3(x)=…=FN(x)=0，則有:

qm(x)的通解為:

引入邊界條件(6)可得qm(x)的表達式，求解后的qm(x)代入公式(9)即可求得鋼軌撓曲位移。

取60鋼軌計算、軌道結構參數:E=210 GPa，I=3.2 ×10－5m4，l=0.6 m，k=33 kN/mm，均布力荷載p=80 kN/m。

將參數代入式(9)和(10)中計算的到每一跨的撓度:

計算得到鋼軌每跨跨中撓度和彎矩，如表2所示。

表2 均布荷載作用下鋼軌跨中撓度和彎矩Table 2 Deflection and bending moment of the rail at middle span under distributed load

2.1.3 彎矩作用下求解

假設在軌道第1跨跨中位置作用彎矩M，軌道其他位置均無荷載作用，則定義荷載:

F1(x)=Mδ(x);F2(x)=F3(x)=…=FN(x)=0，則有:

微分方程的通解可表示為:

引入邊界條件(6)即可求得qm(x)的表達式，彎矩荷載取M=30 kN·m，進而利用U變換求得各個位置的撓曲變形表達式及彎矩值:

表3 彎矩作用下鋼軌跨中撓度和彎矩Table 3 Deflection and bending moment of the rail at middle span under bending load

2.1.4 任意荷載作用位置下求解

由以上的計算可得在鋼軌跨中位置受集中力、彎矩的情況下，軌道撓曲變形表達式，利用力的平移和疊加原理即可求得軌道結構在任意荷載位置作用下的鋼軌撓曲變形、彎矩的表達式。

2.2 雙層彈性點支承梁模型計算

對于雙層彈性點支承模型，假設在軌道第1跨中作用均布荷載p，軌道其他位置均無荷載作用，則定義荷載:

F1(x)=p;F2(x)=F3(x)=…=FN(x)=0，則有:

qm(x)的通解為:

根據邊界條件:

計算結果如表4所示。

表4 均布荷載作用下鋼軌跨中撓度和彎矩Table 4 Deflection and bending moment of the rail at middle span under distributed load

由計算結果可得，基于兩種軌道模型通過U變換計算得到的結果相近，表明U變換的正確性。另外，雙層彈性點支承模型還可以計算軌枕的垂向位移，如表5所示。

表5 均布荷載作用下軌枕位移Table 5 Deflection of the sleeper under distributed load

同理，在雙層彈性點支承模型中也可利用U變換的方法計算集中力、彎矩以及任何位置荷載作用下的撓曲變形精確解，本文不再贅述。

3 對比與驗證U變換的正確性

3.1 《鐵路無縫線路設計規范》計算公式

根據文獻［1］，軌道結構的靜力值按連續支承法計算，視鋼軌為連續彈性基礎上的無限長梁。

根據文克爾彈性地基理論假設，軌下的基礎反力q與梁的撓曲變形成正比:

式中:u為鋼軌基礎彈性模量，kN/cm2。

在靜載作用下鋼軌的下沉量y0，鋼軌彎矩M0可按下式計算:

若是輪系作用下，則根據疊加原理，采用線性疊加的方法計算靜輪系作用下的鋼軌垂向位移、彎矩值和枕上壓力。通過規范給出的計算公式可以計算出在集中荷載下任何位置下鋼軌垂向位移、彎矩值和枕上壓力。

在規范建議的計算公式中，給出了在集中力荷載下的鋼軌變形與受力，但是在鐵路荷載中，一般采用了中—活載或ZK—標準活載的形式，二者均包含均布荷載，采用規范建議公式則無法計算，但是利用U變換可使這些問題得到解決。

3.2 有限元方法

在軌道結構的分析中，通常采用有限元方法來進行軌道結構的力學計算。本文通過有限元軟件分別建立單層點支承軌道模型和雙層點支承軌道模型，以此計算有限長度軌道結構在荷載作用下鋼軌的變形和受力。對鋼軌分別施加集中荷載、均布荷載以及彎矩，計算鋼軌的撓曲和彎矩值。有限元方法雖然在軌道結構計算中得到了廣泛的應用，但是由于模型的仿真簡化以及有限元單元長度的影響，得到的結果必然不是精確解，只能作為理論分析工程應用中的參考結果。若要得到無限長軌道結構的精確解，則可采用數值解法U變換來實現。

3.3 3種計算方法的結果對比

為了驗證U變換法在軌道結構計算中的正確性，在相同的軌道參數下，分別利用U變換、有限元方法、規范建議公式計算得到在集中力荷載下鋼軌的垂向位移、彎矩，如圖3所示。

圖3 集中力荷載作用下計算結果對比Fig.3 Comparison of the results under concentrated load

由圖3的計算結果對比可得，對于鋼軌垂向位移，3種方法結果完全吻合;對于鋼軌彎矩值，U變換法與有限元方法計算的結果差異很小，但與規范建議計算公式得到的結果有一定的差異，這是由于規范將鋼軌簡化為連續彈性基礎上的梁造成的。

為了更加清晰地對比3種方法的計算結果差異，在相同的軌道參數和荷載作用下，提取相鄰3跨跨中位移、彎矩，如圖4～圖6所示。

由圖4可得，在集中力荷載作用下，3種算法得到的結果相近，證明U變換算法在軌道結構中的可行性。在鋼軌垂向位移中3者結果基本完全相同，但是在鋼軌彎矩的結果中，規范計算公式得到的結果與其他2種方法有差異，這是因為規范公式是基于文克爾地基梁假設給出的，這種假設是將扣件剛度等效，得到的模型是與實際結構中剛度是等效的，因而鋼軌垂向位移是完全吻合，但是鋼軌受力情況有一定的差異。雖然鋼軌彎矩U變換算法和有限元法計算結果有差異，但均是在合理范圍內的，可滿足工程實際需求。

圖4 集中力荷載作用下計算結果對比Fig.4 Comparison of the results under concentrated load

圖5和圖6是通過U變換和有限元方法計算在均布荷載和跨中彎矩作用下鋼軌的垂向位移和彎矩。可以看出，2種計算方法的結果差異很小，基本完全吻合，由此可以驗證U變換在軌道結構計算中的正確性。

另外在雙層彈性點支承模型中，還可以利用U變換計算軌枕的垂向位移，并與有限元方法計算結果相比較，如表6所示。

圖5 均布力荷載作用下計算結果對比Fig.5 Comparison of the results under distributed load

圖6 跨中彎矩作用下計算結果對比Fig.6 Comparison of the results under bending load

由以上計算結果分析對比可得，通過U變換法計算的結果和有限元方法計算得到的結果是相近的，說明這種計算方法的正確性，可以滿足工程要求。在目前的軌道分析計算中，經常采用有限元分析軟件進行計算，但是有限元軟件不能實現對無限長軌道結構的計算，并且具有一定的計算誤差;另外，對于規范給出的建議公式，具有一定的簡化性，雖然能計算無限長軌道結構，但是精確度不足。因此，在無限長軌道結構中引入U變換法將會使這些問題得到很好的解決。

表6 與有限元方法計算結果對比(均布荷載作用下軌枕位移)Table 6 Comparison of the results with finite element method(Deflection of the sleeper under distributed load)

4 結論

1)3種方法計算得到的結果是相吻合的，相對誤差都很小;

2)U變換法和有限元方法的計算得到的結果基本一致，與規范給出的計算公式結果有一定的誤差。這是由于規范采用了等效剛度的方法，得到的鋼軌位移是較為精確的，但是鋼軌彎矩與U變換法得到的結果有差異;

3)通過以上的對比分析可以證明這種數值計算方法是可行的，并且可以用于計算任意荷載作用下的鋼軌變形、受力。

4)由于軌道結構的周期性，在靜荷載、動荷載、溫度力等作用下都可建立相應的靜力學或運動方程，并且可以利用U變換法求解。通過U變換法得到無限長軌道結構的精確解后可以明確分析各個物理參數的影響，通過基本理論與物理方程的計算，對軌道結構的計算分析將會更加快速、準確。因此，U變換法在軌道結構的動力學計算分析中可以得到更多的推廣和應用，解決無限長軌道結構在受力變形、振動等方面的問題。U變換法能夠對控制方程解耦求得無限長周期軌道結構的精確解，可作為其他近似解的參考標準。并且隨著對U變換法的研究深入，可以在軌道結構中得到更廣泛的應用。

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