基于1～2階分數階微分的圖像增強算法

李軍成

(湖南人文科技學院數學系,湖南婁底417000)

基于1～2階分數階微分的圖像增強算法

李軍成

(湖南人文科技學院數學系,湖南婁底417000)

在利用分數階微分進行圖像增強時,現有方法大多是基于0～1階分數階微分,而基于1～2階分數階微分的方法較少。為此,分析1～2階分數階微分對圖像增強的作用,基于1～2階分數階微分構造一種用于圖像增強的掩模算子。實驗結果表明,該算子優于常用的頻域法和空域法,比現有的一些0～1階分數階微分算子具有更好的圖像增強效果。

圖像處理;圖像增強;分數階微分;掩模算子;1～2階微分;0～1階微分

1 概述

圖像增強是圖像處理中的一個重要研究問題,也是改善圖像視覺效果的一個基本手段。由于圖像的邊緣和紋理細節是圖像信息的重要組成部分,而圖像的銳化可增強圖像的邊緣信息和紋理細節獲得更佳的視覺效果,因此圖像的銳化成為目前應用最為廣泛的一種圖像增強方法[1]。常用的圖像銳化方法按作用域可分為頻域法和空域法2類,頻域法是在圖像的變換域中對圖像的變換值進行操作后經逆變換獲得增強結果,常用頻域法的有理想高通濾波器、Butteworth高通濾波器等;空域法則是直接在圖像平面中對圖像的像素灰度值進行操作,常用的空域法有Laplacian算子等[2]。

近年來,隨著分數階微積分理論在圖像處理領域中的成功應用[3-6],利用分數階微分進行圖像增強也成為一個研究熱點。文獻[7]構建了一種基于0～1階分數階微分的近似Tiansi微分算子,并將其應用于圖像的增強;文獻[8]提出了一種基于0～1階分數階微分的圖像紋理增強多尺度方法;文獻[9]根據近似分數階Tiansi微分算子的作用特點,提出了3種能較大程度增強圖像邊緣信息的改進Tiansi微分算子;文獻[10]將四元素理論與分數階微分進行有機結合,提出了一種四元素分數階方向微分的圖像增強方法;文獻[11]針對分數階微分掩模的最佳分數階階數需要人為指定這一缺陷,提出了一種自適應的分數階微分圖像增強方法;文獻[12]針對分數階Tiansi微分算子的不足,提出了一種用于圖像增強的改進分數階掩模算子。由于分數階微分不但可以較大程度地提升甚高頻信號,而且還能增強中頻信號,非線性保留甚低頻信號,因此利用分數階微分進行圖像增強時不但能明顯突出圖像的邊緣信息,而且還能使圖像的紋理細節表現得更加清晰;文獻[13-14]針對整數階微分對圖像紋理增強效果不明顯的問題,分別研究了可變階次的分數階微分圖像增強算法。

然而,現有的分數階微分圖像增強算法大多是基于0～1階分數階微分而建立,利用1～2階分數階微分進行圖像增強的研究并不多見。為此,本文分析1～2階分數階微分對圖像的增強作用,提出一種基于1～2階分數階微分的圖像增強算法。

2 1～2階分數階微分

分數階微分也稱為非整數階微分,是整數階微分運算的一種推廣。從不同的應用角度分析問題可得到不同的分數階微分定義。經典的分數階微分定義主要有Grümwald-Letnikov,Riemann-Liouville和Capotu定義[15]。由于Grümwald-Letniko定義是通過將經典微分定義中的階數由整數擴展到分數推衍而來,在信號的數值實現中表現得更為精確,因此成為圖像處理中較為常用的一種分數階定義。

不失一般性,將函數s(x)的持續期[0,x]進行N等分,共得N+1個節點,這N+1個因果像素點的值分別記為:

將圖像的邊界作周期擴展,對圖像中的非因果像素點進行處理,即:

于是,基于Grümwald-Letniko定義可推導出函數s(x)的v階微分的差分近似公式為[16]:

若補充定義Γ(1)=01=1,則式(1)中的分數階階次v的定義域可擴充至1≤v≤2,此時將式(1)定義的分數階微分稱為1～2階分數階微分。

當k=n≤N-1時,由式(1)可推導出二元函數f(x,y)在x方向和y方向上1～2階分數階微分的前3項近似差分表達式可表示為:

不難驗證,當v=1時,式(2)與式(3)變為一階微分的差分近似表達式,即:

當v=2時,式(2)與式(3)變為二階微分的差分近似表達式,即:

由此可見,1～2階分數階微分是一階微分與二階微分的一種推廣。

3 微分算子對圖像增強的作用分析

將式(4)中的整數階微分算子Dk推廣為任意階微分算子Dv(v∈R+),則分數階微分fv(t)在頻域的形式可表示為[7]:

由式(5)與式(6)可得一階、二階和1～2階分數階微分對信號的幅頻特征曲線如圖1所示。

圖1 微分對信號的幅頻特征曲線

由圖1可知,隨著微分階數的增加,微分運算對高頻信號的提升作用呈非線性的增長,同時,不同階數的微分運算對低頻信號都有一定的削弱作用。一階微分運算對甚高頻信號的提升作用明顯小于二階微分運算,且對甚低頻信號的削弱作用也明顯大于二階微分。雖然1～2階分數階微分對甚高頻信號的提升作用小于二階微分,但要大于一階微分,高頻信號得到了足夠程度的提升;同時,1～2階分數階微分對中低頻信號有一定的增強,且對甚低頻信號也進行了較大程度的非線性保留。

圖像的銳化是目前應用最為廣泛的一種圖像增強手段,它通過增強圖像的邊緣和紋理信息獲取更佳的視覺效果。由于整數階微分是圖像銳化中最為簡單通用的一種方法,而1～2階分數階微分作為整數階微分的一種推廣,與整數階微分具有相似性,因此可用于圖像的銳化。另外,由微分對信號的作用分析可知,利用1～2階分數階微分進行圖像增強時,不僅可以較好地保留圖像平滑區域中的低頻輪廓信息,還可以非線性地增強圖像中的高頻邊緣信息及紋理細節,其效果總體上要好于一階微分與二階微分。但也注意到,由于邊緣和噪聲都屬于高頻信號,當圖像存在噪聲時,1～2階分數階微分在增強邊緣信息的同時對噪聲也會有所增強,因此,在實際應用中,可先對圖像進行去噪處理后再利用1～2階分數階微分進行圖像增強,以獲得滿意的結果。

4 基于1～2階分數階微分模板的圖像增強

4.1 模板的近似構造

由式(2)與式(3)可知,1～2階分數階微分前3項近似差分表達式的系數可記為:

其中,1＜v＜2。

對于二維的數字圖像信號,從如圖2所示的8個方向近似構造大小為3×3的1～2階分數階微分銳化模板。

圖2 模板的8個方向

以式(7)中的ai(i=0,1,2)為元素構造近似的銳化模板。首先,由于a1為f(x,y)的系數,為了保證a1所在的坐標與模板的中心坐標(x,y)重合,以a1為中心分別將ai(i=0,1,2)按8個方向依次填充至大小為3×3的模板中,則模板的中心點系數為8a1,各領域點系數均為a0+a2;然后,將各系數除以8(a0+a1+a2)進行歸一化處理,可得大小為3×3且各向同性的1～2階分數階微分銳化模板W,如圖3所示。

圖3 1～2階分數階微分銳化模板

4.2 模板的特性

將模板的中心點系數與領域點系數分別記為:

其圖形如圖4所示。由圖4可知,當1＜v＜2時,f1(v)＞0,f2(v)＜0,且f1(v)+8f2(v)≡1,這表明1～2階分數階微分銳化模板W與傳統整數階微分銳化模板具有類似的特點,即:(1)模板具有旋轉同向性。(2)模板內系數有正數亦有負數,表示差分運算。(3)模板內所有系數之和等于1,表示對常數圖像進行銳化處理時,其結果將保持不變;而對一般圖像進行銳化處理時,其平均亮度將基本保持不變。

圖4 模板內系數與參數v的關系

但與傳統整數階微分銳化模板不同的是,1～2階分數階微分銳化模板W含有1個分數階參數v,這個參數的取值對圖像邊緣信息和紋理細節的增強具有重要作用。由圖4可看出,當1＜v＜2時,隨著v的增大,模板的中心點系數先減小后增大,而模板的領域點系數則相反,這表明隨著v的增大,開始越突出領域點的重要程度,而后則越突出中心點的重要程度。因此,當分數階參數v取不同值時,模板中心點與領域點的重要程度也不相同,于是,對于不同的圖像,用戶可通過調整分數階參數v的取值獲得不同的增強效果。

4.3 增強算法

設大小為M×N的自然灰度圖像I(x,y),由于自然圖像不可避免地會含有噪聲,而1～2階分數階微分模板在增強邊緣紋理信息的同時也會增強噪聲,因此在對自然圖像進行增強處理之前,可先進行去噪處理。于是,利用1～2階分數階微分模板進行圖像增強的步驟為:

Step 1對圖像I(x,y)進行去噪處理,得圖像f(x,y)。

Step 2適當選取分數階參數v(1＜v＜2),確定1～2階分數階微分模板W。

Step 3利用模板W對圖像f(x,y)進行卷積運算,得增強后的圖像g(x,y)=f(x,y)?W。

Step 4若增強圖像g(x,y)滿足要求,則輸出;否則,轉Step2。

在利用1～2階分數階銳化模板對大小為M×N的灰度圖像進行銳化處理時,為了保證3×3的模板能套住原圖像的像素點,圖像的四周不做處理,即一般是從原圖像的第2行第2列的像素點開始逐點移動模板進行計算,直至第M-1行第N-1列的像素點。

顯然,在利用本文算法進行圖像增強時,分數階參數v的取值決定了圖像的增強效果。在實際應用中,可先對分數階參數v賦予一個適當的數值,若所獲得的增強圖像不滿意,則將v的取值作適當修改,直到滿意為止。

所謂獲得滿意的增強圖像,可從主觀和客觀2個角度進行評價,而分數階參數v的取值應盡可能同時使主觀和客觀評價都滿意為好。在進行主觀評價時,一方面可憑人眼觀察是否獲得了較好的視覺效果,另一方面可利用邊緣檢測算子對增強圖像進行邊緣檢測,觀察圖像的邊緣信息和局部細節都是否有所加強;在進行客觀評價時,可引入平均梯度[17]對增強圖像進行定量分析。平均梯度越大,則表明圖像的層次越多,也就越清晰。灰度數字圖像I的平均梯度G(I)的計算公式分別為:

其中,f(i,j)為圖像第i行第j列的灰度值;M與N分別為圖像的總行數和總列數。

因此,在實際應用中,可首先依據式(8)計算出當v在區間(1,2)內取不同值(步長一般可取為0.1)時增強圖像的平均梯度,找出2～3個相對較大平均梯度所對應的分數階參數v,然后輸出這些分數階參數所對應的增強圖像及其邊緣檢測結果,最終判斷出視覺效果最佳的增強圖像。

5 實驗結果與分析

在PC機上(CPU:Pentium T4400,RAM:2 GB, OS:WIN7 Basic)利用Matlab7.0軟件進行圖像增強實驗。

5.1 分數階參數對圖像增強效果的影響實驗

以circuit圖為例,對比觀察當分數階參數v取不同值時本文算法的圖像增強效果,其中對圖像所采用的去噪算法是Matlab7.0自帶的3×3自適應Wiener濾波函數(下同)。依據式(8)分別計算得circuit原圖的平均梯度為5.998 7,當分數階參數v在區間(1,2)內取不同值(步長取0.1)時增強circuit圖的平均梯度,如表1所示。

表1 參數v取不同值時增強pout圖的平均梯度

由表1可知,當分數階參數v取不同值時,增強circuit圖的平均梯度都得到了較大程度的提高,且當v=1.1,1.8,1.9時增強circuit圖的平均梯度相對較大,其對應的增強圖像如圖5所示,利用Sobel算子對圖5中各圖進行邊緣檢測的結果如圖6所示。

圖5 參數v取不同值時的增強circuit圖

圖6 增強circuit圖的邊緣檢測結果

由圖5與圖6可看出,當v=1.9時所獲得的增強圖像出現了過亮的現象,且邊緣信息和紋理細節的退化程度較為嚴重;當v=1.1與v=1.8時,本文算法獲得的增強效果基本相當,增強圖像都比原圖具有更佳的視覺效果,且都能較好地增強圖像的邊緣信息和紋理細節,但由表1可知v=1.8時增強圖像的平均梯度要大于v=1.1時的情況。綜上分析,利用本文算法對circuit圖進行圖像增強時,最佳分數階參數應取為v=1.8。

由于不同圖像的邊緣信息和紋理細節不同,最佳分數階參數的取值也不同,因此在實際應用中,要根據不同的圖像綜合利用客觀與主觀評價方法選取最佳分數階參數,以獲得最佳的圖像增強效果。

5.2 不同算法的圖像增強效果對比實驗

為了對比不同算法的圖像增強效果,分別利用頻域法中的Butteworth高通濾波器、空域法中的二階Laplacian算子、0～1階分數階微分算子中的Tiansi算子[7]和改進Tiansi算子[12]以及本文算法對pout圖(如圖6(a)所示)進行圖像增強實驗。其中, Tiansi算子的最佳分數階參數取v=0.7,改進Tiansi算子的最佳分數階參數取v=0.5,本文算法的最佳分數階參數取v=1.8。這里,所謂最佳分數階參數指的是客觀與主觀兩方面同時獲得最佳增強效果是的參數。5種不同算法獲得的增強pout圖如圖7所示,利用Sobel算子對增強pout圖進行邊緣檢測的結果如圖8所示。由圖7與圖8可看出,相對于其他4種算法,本文算法所獲得的增強圖像具有更佳的視覺效果,且能更好地增強圖像的邊緣信息和紋理細節。

圖7 不同算法對pout圖的增強效果

圖8 不同算法所得增強pout圖的邊緣檢測結果

為定量比較5種算法對pout圖的增強效果,依據式(8)計算得pout原圖的平均梯度為2.4821,不同算法所得增強pout圖的平均梯度如表2所示。

表2 不同算法對pout圖進行增強處理的平均梯度

由表2可知,本文算法所得增強圖像的平均梯度明顯要高于其他4種算法,這也表明本文算法可將圖像的邊緣信息和紋理細節表現得更加清晰。

綜上所述,本文算法的圖像增強效果不僅優于頻域法中常用的Butteworth高通濾波器和空域法中常用的二階Laplacian算子,而且也比現有的一些0～1階分數階微分算子更具優勢。

在時間復雜度方面,由于本文算法先對圖像進行去噪處理,然后利用3×3的掩模算子進行圖像增強,其復雜度要略高于Laplacian算子、Tiansi算子[7]及改進的Tiansi算子[12],但要低于Butteworth高通濾波器,因此本文算法的時間復雜度是符合實際需要的。

6 結束語

本文主要論述了一種基于1～2階分數階微分的圖像增強算法。當分數階參數取定適當時,該算法獲得的圖像增強效果不僅優于常用的頻域法和空域法,而且比現有的一些0～1階分數階微分算子更具優勢,為圖像的增強提供了一種有效的方法。由于1～2階分數階微分模板的分數階參數需要人為設定,對于實時性要求較高的場合不太適用,因此如何根據圖像的特點自適應選取分數階參數值將是進一步的研究方向。

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編輯 顧逸斐

Image Enhancement Algorithm Based on 1～2 order Fractional Differential

LI Juncheng
(Department of Mathematics,Hunan University of Humanities,Science and Technology,Loudi 417000,China)

The present fractional differential methods for image enhancement are mostly constructed based on 0～1 order fractional differential.There are rare papers discussing the image enhancement based on1～2 order fractional differential.This paper analyses the effect of1～2 order fractional differential to image enhancement,and constructs a mask operator for image enhancement based on1～2 order fractional differential.Experimental results demonstrate that the presented operator not only has better image enhancement results than the commonly used frequency domain methods and spatial domain methods,but also has better image enhancement results than some present 0～1order fractional differential operators.

image processing;image enhancement;fractional differentiation;mask operator;1～2 order differential;0～1order differential

李軍成.基于1～2階分數階微分的圖像增強算法[J].計算機工程,2015,41(2):209-214.

英文引用格式:Li Juncheng.Image Enhancement Algorithm Based on1～2 order Fractional Differential[J].Computer Engineering,2015,41(2):209-214.

1000-3428(2015)02-0209-06

:A

:TP391

10.3969/j.issn.1000-3428.2015.02.040

湖南省自然科學基金資助項目(13JJ6081);湖南人文科技學院省級重點建設學科基金資助項目。

李軍成(1982-),男,講師、博士研究生、CCF會員,主研方向:數字圖像處理,計算機輔助幾何設計。

2014-03-14

:2014-05-01E-mail:lijuncheng82@126.com