Rayleigh 阻尼和振型阻尼在大規(guī)模建筑結(jié)構(gòu)顯式動(dòng)力分析的實(shí)現(xiàn)及應(yīng)用

李志山 曹勝濤， 劉春明 楊志勇

(1.廣州大學(xué)減震控制與結(jié)構(gòu)安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(培育)，廣州 510405;2.中國建筑科學(xué)研究院，北京 100013)

前言

阻尼是反映結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)過程中能量耗散的特征參數(shù)，直接影響結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)［1］。Rayleigh阻尼、振型阻尼及“修正”振型阻尼(前兩種阻尼的組合)是結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中常采用的三種阻尼模型。

為保證求解格式的顯式化、求解的穩(wěn)定性及精度，結(jié)構(gòu)顯式動(dòng)力分析經(jīng)常將阻尼模型中的剛度阻尼部分舍去。忽略剛度阻尼很可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)偏大。文獻(xiàn)［2］通過采用分區(qū)放大質(zhì)量阻尼的方法，一定程度上彌補(bǔ)Rayleigh 阻尼忽略剛度阻尼后產(chǎn)生的誤差，但阻尼放大系數(shù)取值、分區(qū)方法與結(jié)構(gòu)特性、外荷載時(shí)程頻譜特性有關(guān)。文獻(xiàn)［3］給出了時(shí)域空間的振型阻尼，工程實(shí)踐中為了減少顯式分析中振型阻尼計(jì)算量，將實(shí)際工程精細(xì)模型簡化為“葫蘆串”模型，利用“葫蘆串”模型進(jìn)行模態(tài)分析并形成“簡化”振型阻尼矩陣;然后采用精細(xì)模型的樓板質(zhì)心處速度和“簡化”振型阻尼矩陣得到阻尼力，并將阻尼力分布到精細(xì)模型的樓板上。這種“簡化”振型阻尼，在簡化過程會(huì)產(chǎn)生一定誤差，不能有效抑制高階振型放大響應(yīng)。PKPM-SAUSAGE軟件對精細(xì)化有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析，在此基礎(chǔ)上結(jié)合振型阻尼與質(zhì)量阻尼，提出了一種“修正”振型阻尼(簡稱“M-M D”)。

本文對結(jié)構(gòu)動(dòng)力顯式有限元中的Rayleigh 阻尼、“M-M D”的求解格式、穩(wěn)定性、精度進(jìn)行了分析，并結(jié)合實(shí)際工程算例分析了兩種阻尼模型對結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的影響。

1 Rayleigh 阻尼

利用質(zhì)量矩陣m 和剛度矩陣k 的正交性，Rayleigh 勛爵提出了Rayleigh 阻尼，即:

其中，質(zhì)量阻尼矩陣:cm=αm，剛度阻尼矩陣:ck=βk。

第i 階振型阻尼比ξri，如式(2)所示，ωi為第i階振型的自振頻率。

如圖1 所示，質(zhì)量阻尼與自振頻率為反比例關(guān)系，剛度阻尼與自振頻率為線性關(guān)系。

圖1 Rayleigh 阻尼各振型的阻尼比

由于質(zhì)量矩陣為對角陣，剛度矩陣為非對角陣，為保持求解的顯式格式，需對動(dòng)力方程中的加速度項(xiàng)和質(zhì)量阻尼的速度項(xiàng)采用中心差，對剛度阻尼的速度項(xiàng)采用單邊差，如式(3)～(5)所示。

式中:ai、vi、ui、Fext，i、Fint，i分別為ti時(shí)刻的節(jié)點(diǎn)加速度向量、速度向量、位移向量、外荷載向量、內(nèi)力向量;Δt 為求解時(shí)間步長。

由于一階精度產(chǎn)生的誤差較大，會(huì)對顯式動(dòng)力求解的穩(wěn)定性產(chǎn)生不利影響［4］，最大穩(wěn)定步長Δt 為:

由上文分析可知，剛度阻尼比隨自振頻率的增大而增大，建筑結(jié)構(gòu)中(最高階振型的剛度阻尼比)的數(shù)值將相當(dāng)可觀。那么由于剛度阻尼的單邊差會(huì)導(dǎo)致顯式動(dòng)力分析穩(wěn)定步長的急劇減小(約在1/20～1/200)，相應(yīng)的計(jì)算量會(huì)急劇增大;同時(shí)嚴(yán)重影響高階振型的求解精度。

在工程實(shí)踐中，需舍去剛度阻尼，只保留質(zhì)量阻尼，如式所示。

由上文分析可知，質(zhì)量阻尼比隨著自振頻率增大迅速衰減，只考慮質(zhì)量阻尼的Rayleigh 阻尼不能有效抑制高階振型放大響應(yīng)。

2 “修正”振型阻尼

Clough［3］結(jié)合剛度阻尼和時(shí)域空間振型阻尼，提出了一種“修正”振型阻尼，即:

由上文分析可知，剛度阻尼會(huì)對顯式動(dòng)力分析產(chǎn)生不利影響。PKPM-SAUSAGE 利用建筑結(jié)構(gòu)中質(zhì)量矩陣的對角性和振型阻尼只對低階振型起作用的特點(diǎn)，將質(zhì)量阻尼和振型阻尼結(jié)合提出了一種“修正”振型阻尼(簡稱“M-M D”)，即:

式中ωs、ξs分別為第S 階振型的自振頻率和質(zhì)量阻尼的阻尼比。

“M-M D”中質(zhì)量阻尼的第i 階阻尼比為:

“M-M D”中振型阻尼部分的第i 階阻尼比為:

為保持顯式格式，“M-M D”中振型阻尼的速度項(xiàng)采用單邊差，質(zhì)量阻尼的速度項(xiàng)采用中心差，即:

質(zhì)量阻尼的速度項(xiàng)采用中心差，振型阻尼的速度項(xiàng)采用單邊差，如式(4)、(5)。

“M-M D”采用上述顯式格式時(shí)，在頻域空間中，振型阻尼和質(zhì)量阻尼在前n 階阻尼比均不為0，動(dòng)力方程求解精度為一階，n 階以后的振型阻尼的阻尼比為0，求解精度為二階。

本文建議采用第1 階振型(即S=1)確定質(zhì)量阻尼系數(shù)α，阻尼比ξs取法為:

如圖2 所示，采用本文建議的取值方法，n 階以后的振型阻尼比依然可觀，同時(shí)可以防止絕對值過大對前求n 階振型求解產(chǎn)生不利影響。

3 實(shí)際工程算例分析

通過某實(shí)際工程算例，分析了Rayleigh 阻尼和“M-M D”對結(jié)構(gòu)顯式動(dòng)力分析的影響。

3.1 某實(shí)際工程算例概況

某實(shí)際工程算例為框架-核心筒結(jié)構(gòu)見圖3，共41 層，總高度為170.89m，平面形狀為邊長約41m 的抹圓三角形，模型總重8.09 ×104t;地震設(shè)防烈度為7 度，場地類別為II 類，設(shè)計(jì)地震分組為第一組，場地特征周期為0.35s。

PKPM-SAUSAGE 有限元模型如圖3 所示，單元網(wǎng)格特征長度為1m，自由度數(shù)554 568，結(jié)構(gòu)最大自振頻率2.28 ×104rad/s，計(jì)算時(shí)間步長取8 ×10-5s。Rayleigh 阻尼中不考慮剛度阻尼，只考慮質(zhì)量阻尼，α 取0.18。

如表1 所示，PKPM-SAUSAGE、ABAQUS 模型模態(tài)分析結(jié)果中前10 階振型特征周期對比誤差小于3%，驗(yàn)證了PKPM-SAUSAGE 模型的正確性。

采用PKPM-SAUSAGE 軟件選擇前21 階振型(振型阻尼比均為5%)構(gòu)造“M-M D”的振型阻尼部分，對結(jié)構(gòu)在大震作用下彈性動(dòng)力響應(yīng)和彈塑性動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算分析。

表1 結(jié)構(gòu)特征周期對比

地震動(dòng)時(shí)程及設(shè)計(jì)反應(yīng)譜如圖4、5 所示，x 向?yàn)橹髡鸱较颍?.2m/s2，y 向?yàn)榇握鸱较颍?.87m/s2;持時(shí)20s。

3.2 大震彈性時(shí)程計(jì)算

大震彈性基底剪力時(shí)程如圖6 所示，相對于采用“M-M D”的計(jì)算結(jié)果，采用Rayleigh 阻尼計(jì)算得到的基底剪力時(shí)程中的高頻明顯較多，說明不考慮剛度阻尼的Rayleigh 阻尼不能有效抑制高階振型影響。

圖6 大震彈性基底剪力時(shí)程

受高階振型影響，采用Rayleigh 阻尼計(jì)算得到的樓層最大剪力相對較大。如圖7 所示，采用Rayleigh 阻尼計(jì)算得到x 向、y 向的最大基底剪力分別為采用“M-M D”計(jì)算結(jié)果的1.37 倍和1.53 倍。

采用Rayleigh 阻尼計(jì)算的結(jié)果相對于采用“MM D”計(jì)算的結(jié)果有明顯的“鞭梢效應(yīng)”。如圖8 所示，采用Rayleigh 阻尼計(jì)算得到x 向、y 向的頂部層間位移角約為“M-M D”的1.92 倍、1.33 倍，其它樓層層間位移角也相對較大。

圖7 大震彈性最大樓層剪力

3.3 大震彈塑性時(shí)程計(jì)算結(jié)果

如圖9 所示，對于相應(yīng)的彈性計(jì)算結(jié)果，結(jié)構(gòu)彈塑性基底剪力時(shí)程的高頻成分明顯減少，阻尼對計(jì)算結(jié)果的影響相對減小。這是由于材料進(jìn)入塑性后，發(fā)揮了“位移型”阻尼的功能，一定程度上抑制了高階振型放大響應(yīng)。

圖8 大震彈性最大層間位移角

圖9 大震彈塑性基底剪力時(shí)程

如圖10 所示，采用Rayleigh 阻尼計(jì)算得到x向、y 向的最大基底剪力分別為采用“M-M D”計(jì)算結(jié)果的1.15 倍和1.03 倍。

圖10 大震彈塑性結(jié)構(gòu)最大層間剪力

如圖11 所示，采用Rayleigh 阻尼計(jì)算得到x向、y 向的頂部層間位移角約為“M-M D”的1.53倍、1.23 倍。

圖11 大震彈塑性最大層間位移角

相對彈性響應(yīng)，Rayleigh 阻尼和“M-M D”對結(jié)構(gòu)彈塑性響應(yīng)產(chǎn)生的影響相對較小，但差異依然明顯。

4 結(jié)論

(1)結(jié)構(gòu)彈性動(dòng)力響應(yīng)過程中，高階振型放大響應(yīng)對結(jié)構(gòu)層間剪力和頂部的層間位移角影響較大，與采用Rayleigh 阻尼(只考慮質(zhì)量阻尼)的計(jì)算結(jié)果相比，采用振型阻尼結(jié)合質(zhì)量阻尼的計(jì)算結(jié)果更為合理。

(2)結(jié)構(gòu)彈塑性動(dòng)力響應(yīng)過程中，高階振型放大響應(yīng)在一定程度上被材料的塑性耗能所抑制，阻尼對計(jì)算結(jié)果的影響變小，但差異依然明顯。

(3)在顯式動(dòng)力積分中，從求解精度、穩(wěn)定性和對高階振型放大響應(yīng)的抑制作用這三方面來看，采用振型阻尼結(jié)合質(zhì)量阻尼的方式明顯優(yōu)于采用Rayleigh 阻尼(只考慮質(zhì)量阻尼)的方式。本文算例表明，振型阻尼結(jié)合質(zhì)量阻尼的方式有效抑制了顯式動(dòng)力積分中高階振型的影響，對求解穩(wěn)定性和精度的不利影響較小。建議使用振型阻尼結(jié)合質(zhì)量阻尼的方式進(jìn)行顯式動(dòng)力積分。

［1］黃宗明，白紹良，賴明.結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)時(shí)程分析中的阻尼問題評述［J］.地震工程與工程振動(dòng)，1996，31(02):95-105.

［2］上海現(xiàn)代建筑設(shè)計(jì)(集團(tuán))有限公司技術(shù)中心.動(dòng)力彈塑性時(shí)程分析在建筑結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)中的應(yīng)用［M］.上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社，2013.

［3］CLOUGH R W，PENZIEN J.Dynamics of structures［M］.McGraw Hill，1993.

［4］杜修力，王進(jìn)廷.阻尼彈性結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的顯式差分法［J］.工程力學(xué)，2000，17(5):37-43.