基于GARCH模型對上證指數收益風險波動的實證分析

王旋 余顯賓 周漫桐

摘要：金融市場的不確定性導致價格波動的隨機性，而研究波動的隨機性不僅可以支持金融理論，也對金融實踐有重大意義。本文以上證指數的日收益率為研究對象，采用EVIEWS通過建立ARCH類模型對上證指數日收益率進行實證分析，淺釋股指收益率與風險之間的關系。結果表明，GARCH（1，1）模型能夠較好的擬合上證股票收益率的波動特征，如“高峰厚尾”、集聚等現象，而GARCH（1，1）-M模型在一定程度上能較好的表現出風險與收益率之間的關系。同時也驗證了滬市在中長期內不存在杠桿效應。

關鍵詞：GARCH模型;GARCH-M模型;上證指數;杠桿效應

1.引言

本文以上證指數的日收益率為研究對象，通過建立ARCH類模型對上證指數日收益率進行實證分析，淺釋股指收益率與風險之間的關系。結果表明，GARCH（1，1）模型能夠較好的擬合上證股票收益率的波動特征，而GARCH（1，1）-M模型在一定程度上能較好的表現出風險與收益率之間的關系。同時也驗證了滬市在中長期內不存在杠桿效應。

2.樣本選擇與處理

上證綜合指數能反映上證指數的概貌和運行狀況，能作為投資評價尺度及金融衍生產品基礎的基準指數。故本文選取上證綜合指數作為研究對象，截取自2005年1月至2012年12月共計1939個樣本點，以每日收盤價計算其對數收益率如下：

Rt=100×（lnpt-lnpt-1）

其中，pt，pt-1分別表示上證指數在t和t-1天的指數值，Rt表示第t天的對數收益率。以p代表上證綜合指數的每日收盤價，對指數取對數記作：lnp，對數一階差分（收益率）記作：R。

本文數據來源于“搜狐證券”每日收盤指數，計量分析工具為EVIEWS6.0。

3.模型建立

3.1 平穩性檢驗

從上證180指數對數收益率時間序列圖中，可觀察到對數收益率波動的“集群”現象：波動在一些時間段內較小（例如從第500個觀測值到第700個觀測值），在有的時間段內非常大（例如從第100個數據到第250個數據）。

圖1上證180指數對數收益率時間序列圖

在現代資本市場理論的基本假設中，一個核心假設是收益率序列式平穩的且服從正態分布[6]。如果收益率序列非平穩或非正態，根據統計方法做出的分析和預測具有很大的偏差。因此，保證股票收益率序列的平穩性正態性和具有重大意義。

利用Eviews6.0得到收益率序列的正態分布檢驗結果（圖2）：

圖2正態性檢驗結果

由圖可知，上證指數對數收益率序列均值（Mean）為0.031064，標準差（Std.Dev.）為1.785656，偏度（Skewness）為-0.310143，小于0，說明序列分布有長的左拖尾。峰度（Kurtosis）為6.175179，高于于正態分布的峰度值3，說明收益率序列具有尖峰和厚尾的特征。Jarque-Bera統計量為845.1714，P值為0.00000，拒絕該對數收益率序列服從正態分布的假設。

平穩性檢驗的方法主要有非參數檢驗、自相關檢驗以及單位根檢驗。單位根檢驗（ADF）是時間序列分析中檢驗序列平穩性的有效方法之一，在金融實證分析中也被廣泛運用。本文運用ADF檢驗法來檢驗上證指數收益率序列的平穩性（見表1）。

表1上證指數收益率r序列單位根檢驗結果

t-StatisticProb.*

Augmented Dickey-Fuller test statistic

-43.863410.0001

Test critical values：1% level-2.566156

5% level-1.940987

10% level-1.616589

從表1看出，在1%的顯著性水平下，ADF檢驗的t統計量遠小于臨界值，因此拒絕原假設，即表明上證指數收益率序列不存在單位根，因而是平穩序列。

3.2 均值方程的確定

ARCH類模型主要是由兩部分構成：均值方程和條件方差方程。因此，對均值方程的設定是進行ARCH模型估計的第一步。首先對上證股票收益率樣本數據進行分析，確定均值方程。從表2可以看出，序列的自相關和偏自相關系數均落入兩倍的估計標準差內，前幾期的滯后Q-統計量的對應的p值均大于置信度0.05，故序列在5%的顯著性水平上不存在顯著的相關性。但在滯后4期后，序列的相關性顯著增強。因此，拒絕自相關系數為零的假設。可以對序列建立自回歸移動平均模型，經反復篩選，對收益率可建立以下序列模型：

Rt=aRt-6+bRt-11+cRt-13+dRt-15+εt

其中，rt為上證股票收益率，a、b、c、d為常數，εt為隨機擾動項。利用最小二乘估計可得：

Rt=-0.055825Rt-6+0.053562Rt-11+0.051711Rt-13+

0.064831Rt-15+εt

R2=0.011047DW=1.994449AIC=3.993

SC=3.997259

圖3殘差自相關圖

圖4上證指數股票收益率回歸方程的殘差

上述模型的各個統計檢驗都顯著通過，再對殘差序列進行分析。由圖3的自相關圖發現殘差序列已不存在序列自相關。因此，用上述模型描述收益率序列的自相關性是恰當的。觀察回歸方程的殘差圖（如圖4所示），發現波動的“成群”現象：波動在一段時間內較小，在另一段時間內波動又非常大，這說明誤差項可能具有條件異方差性。

3.3 ARCH效應的檢驗

在考慮運用ARCH類模型建模前，先檢驗序列是否存在條件異方差。那就需要對均值方程的殘差序列進行ARCH-LM檢驗，以驗證收益率序列是否具有ARCH效應。檢驗結果見表2

表2殘差ARCH效應檢驗

F-statistic26.56271Prob.F（3，1916）

0.0000

Obs*R-squared76.66588Prob.Chi-Square（3）0.0000

可以看出，檢驗即使在q=3時，殘差序列的相伴概率也都為0.0000，遠遠小于顯著性水平，說明序列都存在高階ARCH（q）效應。一個高階的ARCH模型可以用一個低階的GARCH模型代替，此時可考慮采用GARCH（p，q）模型。

4.ARCH類模型的建立及其波動性分析

通過以上ARCH效應的檢驗，得知在上證指數日收益率序列的均值方程（AR模型）的殘差平方序列均存在高階的自相關。故本文在均值方程（AR模型）的基礎上通過低階的GARCH（p，q）模型來刻畫收益率。其中p是GARCH項的階數，q是ARCH項的階數，p，q的選擇是通過赤池信息準則（Akaike Information Criterion，即AIC）來確定，這里選擇最高階數為2。表3為滬市各類GARCH（p，q）模型的AIC檢驗。

根據AIC準則，GARCH（1，1）的AIC值最小，ARCH項系數均為正數，符合GARCH模型建立的基本要求，GARCH（1，1）模型在5%顯著性水平下各參數檢驗均顯著，故最終選擇GARCH（1，1），認為GARCH（1，1）模型可以較好的描述我國上證股票收益率的波動情況，因而建立GARCH（1，1）模型：

xt=mt+εt

εt=htet

ht=ω+αε2t-1+βht-1

et～i.i.d;et～N（0，1）

對該模型進行殘差檢驗，從殘差自相關圖中可以看到，殘差序列不存在自相關問題。而從ARCH檢驗中看到在滯后12階的情況下p值顯著大于0，故說明殘差序列不存在ARCH效應。從圖5 Q-Q圖可看出，殘差序列不服從正態分布。因此，需要對殘差序列進行比較正確的分布描述。一般情況下，當大樣本時，t分布給出的概率比正態分布給出的概率要大。因此，我們用t分布來估計GARCH模型。

圖5Q-Q圖

從圖5（右）可見，除個別觀察值外，殘差序列服從t分布。

在GRACH（1，1）模型建立的基礎上，考慮能否進一步進行TGARCH或EGARCH模型進行建模，考慮是否存在杠桿效應。經過檢驗后，發現參數檢驗不顯著，故說明不存在杠桿效應。

5.上證指數收益風險模型分析

金融理論表明具有可觀測到的較高風險的資產可以獲得較高的平均收益 [6]。Engle等人提出了GARCH—M模型，用以描述風險與收益之間的聯系。它將條件均值作為條件方差的函數，也就是作為基礎變量的滯后值的自回歸函數。在原始ARCH模型基礎上推廣的GARCH模型形式如下：

ri=α0+α1ht+∑airi+εt

εt=htet

ht=ω+αε2t-1+βht-1

et～i.i.d;et～N（0，1）

考慮到股市存在風險與收益，故嘗試擬合殘差服從t分布的GARCH（1，1）-M模型，將受益率波動狀況擬合更好，達到最優狀態。

有表4可知，模型擬合各參數檢驗均顯著。同時，該模型的AIC值也明顯小于GARCH（1，1）（見附錄），因此，本文可建立的關于上證股票收益率波動情況的最終模型為GRACH（1，1）-M，殘差服從t分布。估計回歸結果如下：

用GARCH（1，1）-M模型擬合后得到殘差的ARCH-LM檢驗結果，F統計量值為0.041184，P值為0.9889，R2值為0.123801，P值為0.9888。因此可以看出收益率序列殘差不存在ARCH效應。在GARCH（1，1）-M模型中的ARCH項和GARCH項系數大于0，滿足模型的非負約束。其之和（α+β）為0.995328滿足模型是平穩的過程。α反映了外部沖擊對股市波動的影響程度，β值大表明波動性對市場走勢變動反映較快，從而傾向于更發散;則反映了股市波動自身的記憶性，當0<β<1時，β值越大說明波動性消減越緩慢且將持續存在，當β>1時，系統本身將會放大前期波動。通常α值會小一些，而β值較大。αβ之和則反映了外來沖擊對系統整體波動的影響的持續性[7]。

在收益率方程中要包含ht項，是為了在收益率的生成過程中融入風險溢價，這是許多資產定價理論模型的基礎。因為預期較大值的條件標準差與高收益率相聯系，在這種情況下，ht的系數應該是正數，上述實證結果也正如此。在上海股票市場的收益率方程中ht的系數為0.048584，表明當市場中的預期風險每增加一個百分點時，就會導致收益率也相應增加0.048584個百分點。這與傳統的風險與收益關系的認識相，即上證指數收益率與風險是同向變動的，存在顯著的風險獎勵，高風險要求高收益，說明投資者對市場關注程度較高，信息傳遞較快，隨著風險的變化，會對收益率產生影響，體現出投資者一定程度的風險偏好。

6.結論

借助GARCH類模型對上證指數進行以上分析可知：

1.使用帶厚尾分布（student-t）的GARCH族模型的對上證指數收益率的擬合要優于帶正態分布的GARCH模型。通過EGARCH和TARCH模型系數的估計可知，上證指數不存在杠桿效應，這可能與我國股市的交易機制有關，另一方面也說明我國股民在股票投資方面不夠成熟，大多數為風險偏好型。

2.上證指數具有很強的波動集聚性和持續性。我國上證指數存在明顯的ARCH效應，GARCH模型適合于擬合滬市日收益率序列，這與文獻[9]中的結論是一致的。由GARCH模型估計的上海綜合指數的條件方差序列表明上海

股市波動具有典型的時變性、簇集特征，這表明在波動的內在傳導過程中，過去的股價變動對未來的股價波動有強烈的影響。

3.股票價格波動的短期記憶性及波動與風險存在正相關。在GARCH（1，1）-M模型中，ARCH項和GARCH項系數之和（α+β）為0.995328，滿足參數約束的條件。同時系數之和非常接近1，表明條件方差所受的沖擊是持久的，β值較大，這意味著上證指數的波動性的持續性越高，當證券收益一旦受到沖擊出現異常波動，則在短期內很難得以消除;由這種波動的長記憶性可以看出沖擊對未來所有預測都起重要作用。同時模型能很好的擬合上海股市風險與收益率之間的關系，實證結果表明上海股市的收益與波動之間存在一定的正相關關系，說明在這段檢驗時間內，我國上證指數的理性程度越來越高，理性投資已經逐步占據主要地位。

參考文獻：

[1]Bollerslev，T.，R.Y.Chou and K.F.Kroner.ARCH modeling in finance：

A review of the theory and empirical evidence [J].Journalof Econometrics，1992，52，5-59

[2]陳千里，周少甫，中國股市收益波動的實證研究[J].華中科技大學學報，2002，（9）.

[3]劉金全、于冬、崔暢，中國股票市場的信息反應曲線和股票價格波動的非對稱性[J].管理學報，2006，3（3）.

[4]殷玲，唐杰，GARCH一M模型與我國滬深股市的波動[J].江南大學學報.2002.4.

[5]尹清非，仇媛媛，滬市股票風險與收益關系實證研究[J].數學理論與應用.2007.6.

[6]么彩蓮，王 濤，ARCH類模型及其在上證指數收益波動中的應用[J].遼寧石油化工大學學報，第29卷第3期.

[7]李紅霞，中國股票市場波動性研究：模型選擇及實證[J].廣東金融學院學報，2007.9.

[8]嚴定琪，李育鋒，基于GARCH族模型的滬深300指數波動率預測[J].蘭州交通大學報.2008.2.

[9]耿貴珍，佟毅.GARCH模型的相依性[J].遼寧石油化工大學學報，2007，27（2）：93-95.