零積三角矩陣代數

郭艷紅

(河南大學 數學與信息科學學院，河南 開封 475004)

零積三角矩陣代數

郭艷紅

(河南大學 數學與信息科學學院，河南 開封 475004)

設A是域K上的含單位元的結合代數. 證明了系數在代數A中的三角矩陣代數Tn(A),n≥2, 總是一個零積代數. 進而證明了代數A的對偶擴張代數和m-重復代數都是零積代數.

零積代數；三角矩陣代數；平凡擴張；m-重復代數

0 引 言

零積代數(zero product determined algebra)是Bresar等人在研究交換環之間的線性映射時引入的一類重要的代數，近年來這類代數得到了廣泛的關注和研究. 不僅對于結合代數，對于非結合代數，特別是李代數，也給出了零積代數的概念. Bresar等人證明了矩陣代數都是零積代數[1]. 對于一般的李代數, 并不一定是零積的, Grasic等人在文[2]首先給出了一類不是零積代數的無限維李代數. 但代數閉域上任意有限維李代數的的周期子代數都是零積代數[3]. 在文[4]中, 作者證明了有限多個代數的值和是零積的當且僅當每一個值和項都是零積代數. 此外, C*-代數和W*-代數的零積性也得到了細致的分析, 參看文獻[5].

本文我們證明了含單位元的結合代數A的三角矩陣代數一定是零積代數，進而證明了A的對偶擴張代數和m-重復代數都是零積代數.

1 預備知識

零積代數是由Bresar等人在文[1,6]中提出的，首先回憶一下零積代數的定義. 設K是一個域，A是一個結合K-代數. 記A2是由{xy | x, y∈A }張成的K-向量空間. 對于任一K-向量空間V及K雙線性映射{-,-}: A×A→V. 我們考慮下面兩種條件:

(a) 對任意的x, y∈A，若xy=0，則{x,y}=0；

(b) 存在K線性映射T: A2→V使得對任意的x, y∈A，都有T(xy)={x,y}.

顯然，由條件(b)可以推出條件(a). 如果對任意的K向量空間V和K雙線性映射{-,-}: A×A→V，都有條件(a)可以推出條件(b)，則代數A稱為一個零積代數. 對于非結合代數，特別是李代數和Jordan代數，同樣可以定義零積代數. 本文，我們只考慮結合代數的零積性.

設A是一個含單位元1的結合K-代數. 所有位置的元素都是A中元素構成的下三角矩陣在矩陣乘法下構成K上的結合代數，稱為代數A上的三角矩陣代數，記作Tn(A). 利用D(A)=HomK(A,K)是一個A-A-雙模, 我們可以得到A的平凡擴張代數T(A)=A⊕D(A)，其乘法定義為

(a,f)(b,g)=(ab,ag+fb),

其中乘法為矩陣的乘法.

2 主要定理

本節我們證明含單位元的結合代數A上的三角矩陣代數Tn(A)是零積代數，進而證明A的對偶擴張代數和m-重復代數都是零積代數.

定理1Tn(A)是一個零積代數.

證明 設V為一個K-向量空間, {-,-}: Tn(A)×Tn(A)→V為一雙線性映射，并且{-,-}滿足對任意的x, y∈Tn(A)，若xy=0，則{x,y}=0.下面令a, b∈Tn(A)為非零元，并記Eij為矩陣單位，即一個n×n矩陣只有第i行第j列的位置為1，其余位置都為0.

首先，當j≠k，或i

其次，我們有:

(1) 若i≥j≥l, 則對任意的i≥k≥l且k≠j，則{aEij,bEjl}={abEik,Ekl}；

(2) 若i

事實上，若i≥k≥l且j≠k，則簡單計算可知(aEij+abEik)(bEjl-Ekl)=0.從而由假設可知{aEij+abEik, bEjl-Ekl}=0，即得到結論.

在(1)和(2)式中，用ab取代a，1取代b，則有:

(3) 若i≥j≥l, 則對任意的i≥k≥l且k≠j，則{abEij,Ejl}={abEik,Ekl}；

(4) 若i

從而可知，對任意的1?i, j, l?n，都有等式{aEij,bEjl}={abEij,Ejl}.

要證明Tn(A)是一個零積代數,注意到A是一個含單位元的代數, 我們只需證明對Tn(A)中滿足等式x1y1+x2y2=0的任意元素x1, x2, y1, y2，都有 {x1,y1}+{x2,y2}=0成立. 為此, 我們記

對于任意的s=1, 2.由于x1y1+x2y2=0，對任意的二元組(i,l)，滿足i≥l，我們有

另一方面，即S={(i,l)|n≥i≥l≥1}，則有

定理得證.證畢.

一個結合代數A的平凡擴張代數和重復代數是兩類重要的代數，在研究A的表示理論和導出范疇時起著非常重要的作用,由定理1我們可以證明它們也都是零積代數.

推論1代數A的平凡擴張代數T(A)是一個零積代數.

證明 類似于定理1的證明, 將定理1的證明中代數A中的乘法用A在D(A)上的左模或右模作用取代, 即可得到結論. 證畢.

更一般地，我們有：

3 結 論

1) 證明了一個結合代數上的三角矩陣代數， 即這個結合代數的對偶擴張代數和m-重復代數都是零積代數.

2) 值得說明的是,一個李代數上的三角矩陣代數一般不是零積的李代數，利用本文的方法可以證明, 一個零積李代數上的三角矩陣代數也是一個零積李代數.

[1] Bresar M, Grasic M, Ortega J S. Zero product determined matrix algebras[J]. Linear Algebra and its Applications, 2009, 430: 1486-1498.

[2] Grasic M. Zero product determined classical Lie algebras[J]. Linear Multilinear Algebra, 2010, 58 (8): 1007-1022.

[3] Wang D, Yu X, Chen Z. A class of zero product determined Lie algebras[J]. Journal of Algebra, 2011, 331: 145-151.

[4] Brice D, Huang H. Direct sums of zero product determined algebras[J]. arXiv:1110.5848v1.

[5] Chebota M A, Ke W-F, Lee P-H, Wong N-C. Mappings preserving zero products[J]. Studia Mathematica, 2003, 155 : 77-94.

[6] Bresar M, Semrl P. On bilinear maps on matrices with applications to commutativity preservers[J]. Journal of Algebra, 2006, 301: 803-837.

[責任編輯：王軍]

Zero product determined triangular matrix algebras

GUO Yanhong

(School of Mathematics and Information Science, Henan University, Kaifeng 475001, China)

Letbe an associative algebra with identity over a field. We show that the triangular matrix algebra, , over algebrais always a zero product determined algebra. Therefore, we proved that the trivial extension ofand the m-replication algebra ofare zero product determined.

zero product determined algebra; triangular matrix algebra; trivial extension; m-replication algebra

2014-11-14

河南大學校內基金項目

郭艷紅(1983-)，女，河北景縣人，河南大學助教，碩士，主要從事有限維代數的表示理論的研究.

O153.3

A

1672-3600(2015)09-0019-03