粒子的多層模型和新的對稱-統計二重性

張一方

(云南大學 物理系，云南 昆明650091)

粒子的多層模型和新的對稱-統計二重性

張一方

(云南大學 物理系，云南 昆明650091)

基于筆者提出的夸克-粒子具有多層結構和在不同層次或能量時具有新的對稱-統計二重性，探討了粒子的統計性，統一的方程及各種相應的方程等.最后討論確定粒子質量的一種定量方法和粒子數學的發展.

粒子物理；對稱性；統計性；粒子結構；方程

0 引 言

量子力學和粒子物理的基礎是波粒二象性.由此粒子，特別是穩定粒子應該相應于孤子.由粒子物理中的非線性方程，筆者討論了方程的孤子解及其推廣.并研究粒子方程和各種統一的關系[1].

一般的波粒二象性有兩種可能：第一，單個是粒子，多個粒子或者多次事件(統計系綜)具有波動性(統計性的幾率波).勞厄圖是統計分布(類似Einstein觀點).這是量子力學、量子場論及其方程的統計基礎.第二，每個粒子都相應于一個孤波等(類似向導波)，多個波疊加得到量子力學幾率波(類似de Broglie觀點).二者相應于量子力學的最后結論是相同的.Dirac方程等基本適用于單個電子(僅有反常磁矩)，對重子磁矩相差很大.在核中可以驗證是第一或第二.先決定質子p、中子n及氘、氦等的波動性及性質，然后比較多個核子的核的波動性及性質.

兩方面統一則單個是粒子，相應于孤子波(如袋等)，其化為線性波加非線性波.由此可以得到結果：(1)非線性波對各個粒子相同或不相同，疊加后相消.(2)對較大時空，非線性波趨于0，如對強弱相互作用，自能等.(3)電磁相互作用的非線性波在低能時可以略去(相應于較大時空).這樣，非線性波與能量及相應的時空有關.

1 夸克和粒子的多層結構

粒子結構模型有兩類：分立結構，如夸克；連續結構，如特殊結構的弦、膜、袋，或者統計模型.二者結合可為QCD.數學上主要是對稱性、統計性.超對稱性、超弦(superstring)、統一、亞夸克等粒子物理中這些最時髦的理論都是對稱性的.

三夸克、多夸克組成的重子、粒子可能也是三體、多體糾纏態；三體類似拓撲學中3分支的Borromean環(rings)[2-6]，如此3個夸克如圖3所示，合則存，分則亡(United they stand, divided they fall).由此可以形象說明單個夸克不存在[7].

圖1 Borromean環Fig. 1. Borromean rings

筆者提出粒子的多層結構(many-shell structure)模型(MSSM)[8].低能時是結構對稱的三種集團(即夸克)，粒子穩定，亞夸克數一定；SU(3)等對稱性可能是低能粒子內部結構的反映.中能碰撞時對稱性結構破缺，出現多個部分子，類似液體模型，呈現出弦、袋等.高能時對稱性進一步破缺，出現非常多的組分，呈現統計性，對應非常小的微粒子——砂子(the sand-particle即sandon).砂子源于如恒河砂數(numberless as the sands).此時的統計模型把整個粒子作為一個不分彼此的高能集團，類似火球及多火球模型.而砂子也可以是非常小的弦或超弦.

在不同的能級等條件下，粒子呈現不同的結構形式和特征，可以不斷轉化.具有對稱性的方程導致量子化的質量譜，其反映或者解釋為統計性.模型在不同層次、不同能量、不同條件下具有不同特性，對應不同方程：砂子是統計性的，對應Kolmogorov方程；夸克是對稱性的，對應SU(N)規范場方程及其對稱性破缺，聯系于Higgs機制、動力學破缺；粒子是二象性，對應量子力學方程.并且砂子的統計性應該導致量子力學的統計性，夸克對稱性則聯系于二象性；進而應從統計性方程直接導出對稱性規范場方程.這聯系于統計性和量子場論的對應關系[9,10]，對應于由統計性導致量子力學方程，即量子力學的統計解釋.量子力學方程的特點是只與粒子自旋有關，自旋分別是整數、半整數時方程各是Klein-Gordon(KG)和Dirac方程，近似時統一為Schrodinger方程.多層模型本質上是雙重性模型，或者統計模型.一般靜態(如質量、壽命、衰變)都是由對稱性結合場論決定；高能相互作用(如碰撞、多重產生)則由統計性決定.

夸克是實體模型，則Heisenberg統一方程[11]應該是相應夸克的方程，是QCD方程的簡并態.統一方程推廣到有質量時就是有自相互作用的Dirac方程.夸克組成強子和核，類似原子組成分子.這樣強相互作用類似化學鍵.

形狀因子的實驗說明核子內不可能是只有3個夸克，而更可能是多個部分子、亞夸克和砂子.MSSM中夸克在低能時雖然可能存在，但結合相變理論其被禁閉.高能時不被禁閉又已經分解.夸克是亞穩定結構，則它也是一種靴帶(bootstrap)模型，一種定量的以夸克為靴帶的基礎的理論.這是二象性.

夸克的下一層次是亞夸克或前子(preon)，甚至是Salam提出的前前子(prepreon).高能時亞夸克、砂子可能得到顯現，很多情況、實驗都表明如此.高能對應小時空，內部結構不斷解放.夸克可以由類似的亞夸克組成，也可以由具有統計性的砂子結構組成，組成一種具有對稱性的幻夸克.海夸克常可以等價于亞夸克、砂子.砂子等于亞夸克則亞夸克結合統計性.砂子組成亞夸克則是多層結構模型.只要是湯川相互作用，基元是費米子就有多層膠子和多層類QCD.砂子組成部分子，數目不定；亞夸克組成夸克，數目一定，但又有膠子、海夸克等.或者砂子組成亞夸克，亞夸克是部分子，部分子再組成夸克.

無自旋砂費米子(或費米子對)場和有對稱性破缺的Higgs場耦合時就得到分數電荷的夸克、亞夸克等.亞夸克統一對稱的夸克和輕子.但仍有光子、W-Z(電磁、弱相互作用)；膠子(強相互作用)；Higgs粒子.

2 統一的方程和粒子的統計性

筆者探討了粒子物理中的各種統一.它們包括相互作用統一和規范場，場、粒子及其方程的統一，低高能時的統一，統一和非線性理論的關系等.并提出它們也許可以統一到統計性[12].基于粒子的動力學模型及其拉氏量和方程，進行了某些更深入的研究和應用.它可以聯系于袋模型；方程的解聯系于各種勢；其簡化的振動-轉動模型和諧振子模型等導致各種質量公式.由此可以討論強子的某些質量公式，并提出動力學模型可能的發展方向[13].進而各種已知的方程彼此結合可以得到一些新方程，并討論了由振動得到的方程，對稱性破缺時的方程及其推廣和各種解，探討了各種粒子及其相互作用的方程，而且討論了這些方程的混沌解和相應的物理意義[14].

Heisenberg統一方程[11]推廣到有質量時就是有自相互作用的非線性Dirac方程.進一步它可以程推廣為[8]：

(1)

(2)

H.B.Nielsen多年來的一個主要想法是，在最微觀的層次上，物理定律是隨機的.我們看到的規律是重整化群向一個不動點流動的結果.非線性方程經Feigenbaum定理的混沌解過渡到統計性.如此不需要統計性方程.當控制參數E足夠大時都出現隨機運動.這可能對應于能量高、相互作用強.

粒子的統計性，一方面是量子力學本身的幾率性；量子力學的統計詮釋，類似統計光學.另一方面是更深入的量子力學的統計基礎等，由此聯系于：1)高能或小時空時的統計性基于眾多砂子的隨機性.2)非線性方程的統計性.3)非平衡態統計，對應于新的算符，砂子組成幻夸克等.4)統計性背景，如真空漲落.5)唯象的各種統計模型等.保守系統中的自發隨機性與平衡態統計物理的基礎密切相關.

具體方法可以首先改造、統一各種統計模型.目前主要用于高能過程.很多模型都導致統一的Gamma分布、B分布等.火球及CKP模型基于熱力學；Fermi統計模型、Landau流體力學模型、Hagedorn統計靴帶模型多邊緣模型等都基于統計平衡，并類比于統計力學.平衡態統計模型可以推廣為非平衡態統計模型.高能等時的統一性、對稱性、超對稱性導致簡單化.

砂子對應方程.此時隨機項F=0是費米子，其可以是穩定的.但砂子組成玻色子時必有相互作用，F≠0，其不能完全穩定.砂子的隨機性，一是直接引入具有隨機力的Langevin方程；一是由非線性導致隨機性的混沌等.粒子的產生和湮滅在隨機理論中對應于生滅過程；這相應于粒子的統計性、砂子.

由非線性方程導出非Abel群方程(對稱性)，統計性方程.非線性方程低能時導致動力學模型(DM)，孤子(粒子，分數荷夸克等)；高能時導致混沌，粒子的分形砂-海綿模型(FSSM)[8]，MSSM及平衡態、非平衡態統計模型.MSSM在一定程度上已包含振動-轉動模型(ORM)，具有不同的振動-轉動能態.

多層模型中最小的組成可能是統計性的砂子，也可能是類似原子的砂子，僅是統計性組成夸克.在粒子層級，夸克可變，而砂子不變，正如化學中的原子；而極高能時直接呈現出來.經典統計是從分立的原子、分子等過渡到連續的氣體、液體等.此時，應該對應于量子統計從分立的砂子、夸克過渡到連續的統計模型.反之是從連續的統計模型過渡到分立的夸克等.這對應于統計性的方程應具有對稱性或得到對稱性解.

DM和MSM都認為夸克不存在或者僅是亞穩的幻粒子.但是二者分別認為SU(3)是動力學對稱性和夸克是由砂子組成的.

倍周期分岔到混沌圖形類似高能強子的雙火球模型(粒子的兩體衰變)到多重產生.一般是QCD的非線性方程及其分岔過程.QCD等導致非線性的Dirac方程、KG方程等，用孤子方程可以化為非線性的一階、二階常微分方程，或非線性的Heisenberg方程

dF/dt=[F,H]+Q.

(3)

基態強子或介子由兩種夸克組成，即u,d→4夸克→8亞夸克，對應二分岔，SU(2)→SU(4)→SU(8)等等；一般粒子或重子由3個夸克組成，即一個粒子→3個夸克→9個亞夸克，對應三分岔，即SU(3)→SU(9)等等.進一步都是夸克數混沌，或是深入層次的亞夸克、亞亞夸克，最后達到砂子混沌.砂子基于層級結構是統計性粒子，具有隨機性；如果它是混沌夸克(chaosoquark)，則可稱混沌子(chaoson).

低能態時是3夸克，對應Morse勢

V(r)=A[1-De-α(r-r0)]2.

(4)

高能態時是n夸克，對應唯象束縛勢

(5)

更高能態時是統計性，對應V=aψ3,bφ3+cφ5等，是FD和 BE統計，統一的統計性[16].這又相應于分數統計(fractional statistics)和任意子(anyon).

混沌一方面是粒子內部的亞粒子數不斷增多，可以趨于無窮(這是結構).另一方面是粒子的性質是統計性的.按照混沌理論，粒子無窮，代也無窮.如此不同代只能認為是激發態.

砂子分別組成夸克、膠子，或者它們是兩種砂子，或者是一種砂子有兩種統計性、兩種方程、兩種組成.如果膠子是由夸克對組成，則高能時即不斷產生膠子、夸克對，就是多夸克.而且夸克、膠子統一為部分子.二者不可分即可能是弦.能量增大時，砂子組成的亞穩態，如亞夸克、夸克、膠子等可以增多，或者隨能量不同而對稱性及夸克不同，出現新的夸克.應該研究統計性與拉氏量的一般關系.

3 新的對稱-統計二重性

最近，波粒二象性被發展為規范-引力二重性(gauge-gravity duality)[17-21]、電-磁二重性(electric-magnetic duality)[22]、夸克-強子二重性(quark-hadron duality)[23,24]、玻色子-費米子二重性(boson-fermion duality)[25]和規范-弦二重性(gauge/string duality)[26,27]等.

筆者提出的新的對稱-統計二重性[9,28]可以是：1)統計性理論對應規范場(對稱性).每種具體的統計模型都可以表述為連續的場論形式.統計物理是一種漲落場論，由此聯系于統計物理.2)非線性方程具有對稱性.高能時(相應于無窮迭代)導致混沌解(統計性，對應多重產生等).然后結合火球等統計模型及統計分布；對非平衡態，有序化又對應幻夸克的耗散結構.3)基于統計性方程.其對應重整化群(對稱性)方程，都導致Gamma分布等.但二者不等價.4)進一步結合非線性方程和統計方程.非線性方程具有對稱性，其可以重整化時應該導致重整化群方程，其可能是二者間的過渡.由非線性方程導致統計性方程，特別是隨機性方程，如Kolmogorov方程.由對稱性方程，例如規范場方程和重整化群方程導致Gamma統一分布.

個體的特性明顯，如粒子自旋時則是對稱性.而個體的特性可以忽略時則是統計性.特別高能時統計性還可以進一步統一[16].量子化場對應砂子，是物質存在的基本形態.其激發時就是自由粒子.而基態場就是物理真空.真空有效應，有起伏，可自發破缺.對非Abel規范場是瞬子，其對應非線性效應.

對稱性決定方程(規范場)，方程聯系于統計性；特別非線性方程具有隨機性.高能時砂子、超弦、部分子等更類似布朗運動，所以具有統計性.此時部分子間關聯更強，所以非線性更強，或者統計性更顯著.從統計性過渡到對稱性方程、量子力學，數學上可用早期的各種量子理論，并結合液態發展到晶體的方法.

以新的二重性及其結構基礎(MSSM)為根本，俯視粒子全局.粒子的質量、壽命及衰變等低能時是對稱性，動力學性質；較高能量的共振態等偏離對稱性.高能時的碰撞、橫動量等是統計性及其方程、模型等，或較大的對稱性；反之，低能時是動力學性質，對稱性等，如孤子碰撞.這樣碰撞時對稱性(對應方程)產生(解，如孤子)峰、谷.統計性產生平滑曲線，導致截面上升.由高能統計性已可以導出這個結果.

MSSM中對稱性及其破缺與大爆炸后對稱性及其破缺是一致的，都是由高能(溫)到低能(溫).這也是行星對應原子，星團對應原子核的發展，宇宙演化對應MSSM.而且粒子結構，原子核也類似星團，存在螺旋狀(對應自旋)，棒狀，不規則等等形狀.這是宇觀-微觀大小的對稱性，是由Titius-Bode定則推廣得到的泛量子理論[29-33]的發展.

砂子形成夸克具有對稱性可以是：1)砂子分別形成費米子和玻色子，夸克和膠子.2)這些粒子具有對稱性，并且相互作用和對稱性破缺.形象地可以是(1)正反砂子形成玻色子，相同砂子形成費米子.砂子有正反，類似夸克形成強子.(2)砂子是Langevin-Dirac方程，結合Heisenberg統一方程[11]，所以砂子應是類費米子.如此則偶(奇)數個砂子形成玻色子(費米子).(3)各個砂子的運動方向相反是費米子(夸克)，相同是玻色子(膠子)；類似磁學，則有吸引力.這些砂子處于不同的運動狀態(如OR態)就是不同的夸克或膠子.

高能統一的基礎也許是此時粒子中的亞粒子數目增大，且有起伏，多一個或少一個無關大局，但如此就分別是費米子或玻色子，但統一為任意子.砂子可能類似核，還有殼層結構.其最外層或許與P=±1有關.高能時統計性加高能等時非線性.平均時它們可能為0.高能時混沌解對應多層結構的亞夸克、砂子不斷解放.

首先是場粒二象性及其量子化，關鍵是強弱相互作用的場方程.其次是MSSM，場對應波動具有幾率性、統計性，而粒子是對稱性.幾率場、統計場的對稱性奇點就是粒子.

低溫晶體是對稱性，高溫液體、氣體是統計性.結晶類似對稱化，費得洛夫群類似SU(3)群.一般的演變過程是，對稱性→對稱破缺→統計性.粒子的很多模型都是類比于核模型及理論，如夸克類似殼層模型，統計、液滴模型類似核液滴模型等.核的許多模型結合為綜合模型.粒子也可以結合多種模型形成綜合模型.MSSM就是一種綜合模型.

低能時微粒子運動有序，所以呈現幻夸克.高能時微粒子運動無序，對應于統計性.可以結合非平衡態統計.如果有序出現周期性，則夸克一代代出現.相應的統計性等方程應該有周期解.這有些類似λ→λ1,λ2,λ3等時不斷出現分岔(對應有序)、混亂(對應無序)等各種周期性.

粒子是孤子波，大量孤子以幾率波的形式出現.這類似de Broglie的雙重解理論[34]，可能是量子力學的統計基礎，聯系于二象性的本質.在大時空時，非線性項可以忽略就化為線性方程.t→±∞時的矩陣S就是線性理論，如此由孤子性質應可以導出二象性.量子的本質就是每個粒子(孤波)的能量是hv.非線性項統計平均時互相抵消，或由統計力學導出熱力學.線性疊加原理成立→干涉→線性算符；大時空，平面波.廣義線性疊加原理，Backlund變換→N體碰撞解→非線性算符；小時空，孤波.兩種波，粒子疊加原理，相應于粒子算符、方程.統計解釋必須推廣.如果波函數不是抽象的，就是具體的Schrodinger方程中的各種場的場量.非線性波、孤波平方也是幾率.量子場論中幾率波已經不成立.單個粒子是孤子解，而N-孤子解當N→∞或極大時就是一個統計問題.

目前主要是相應于規范理論的群、對稱性統一.而非線性理論是動力學及方程的統一.二者結合，則非線性量子理論中[8,35]的因子F、Γμ由對稱性、群決定；非Abell群非線性項不為零，對應于Γμ≠0.非線性方程略去非線性時是量子力學，可以具有對稱性，能過渡到混沌解、統計性.

結合多層模型，則非線性、統計性源于下一層次，是夸克或砂子相互作用或其本性，相應于小時空區域、高能、短程強弱相互作用.砂子是非線性方程和拉氏量.Γμ、F與對稱群G有關，在一定條件下化為各種方程.低能等時具有SU(3)、SU(N)等對稱性，拉氏量、方程化為QCD等，表現為幻夸克；OR態時是DM；孤子解聯系于袋、火球等成團模型；特定條件時有混沌解，對應于統計性及模型.分岔理論對應衰變、多重產生.如果靴帶方程是非線性方程，則上述結論仍然適用于靴帶.

非線性方程經混沌解得到統計性，結合隨機微分方程，漲落穩定開放系統時導致有序的耗散結構，對稱性的幻夸克.這對應于QCD，其及相應的Heisenberg方程類比于非平衡態和隨機過程的Liouville方程等.非線性場方程聯系于QCD等的方程和對稱性；非線性Heisenberg方程聯系于非平衡態等和統計性.二者都可能出現耗散結構；可以有混沌解；可以統一為Liouville方程.

對稱性及其方程具有隨機性、統計性；如粒子數n>2時，SU(N)的Yang-Mills方程等引入隨機項時.反之，隨機性及其方程具有對稱性；如當隨機項取統計平均等時.粒子性發展為對稱性，數學方法是群.波動性發展為統計性、隨機性；由此導致不可逆性，聯系于復雜性.波粒二象性是微觀粒子的本質屬性.新的二重性是微觀動力學的性質，同時又是粒子結構的特性.

4 新的二重性和相互作用

分數維已用于懸浮液中某粒子的布朗運動軌跡.如果對應于砂子，則自相似可以是生成新的相同粒子，更可能是產生新的關聯.

粒子高能時與真空相互作用，真空的漲落、起伏使粒子被Brown運動激發，具有統計性.這與de Broglie的觀點是相同的.這是粒子的統計基礎.統計性的基礎還可能是：1)基于根本的統計性、隨機性方程，可以由非線性方程導致；這是數學方程.2)假設砂子、部分子、粒子等各層次的統計性，由砂子和多層模型導致統計模型；這是結構模型.二者結合，則非線性方程中的非線性項對應統計性，當其化為規范理論、對稱性時就是幻夸克.

由少量幾個微粒構成的系統不可能是有序的.而且有序即使能夠形成也會被統計性漲落破壞.所以起碼在統計模型中粒子、夸克必須由大量微粒組成.砂子組成粒子可以類似原子組成大分子，分子組成物質.可以有晶體、液晶、玻璃體、液體、氣體、等離子體等.如果八重態基態粒子相當于晶體，則共振態相當于液晶、玻璃體，具有某種近似的穩定性、對稱性.

可能有序時是強相互作用，無序時是弱相互作用(對應無相互作用的統計性).二者的時間可逆和不可逆.粒子孤立時趨于無序，所以會自發衰變，弱相互作用.在一切情況下都可以是無序，所以普遍存在弱相互作用、平衡態.可能因為無序，所以P、CP、T不守恒.粒子產生時能量輸入，對應于有序、強相互作用；只有在一定條件下才可以有序、非平衡態.但共振態自發衰變仍然是強相互作用.這又說明是從一種有序態轉變到另一種有序態.夸克模型中就是夸克轉化，或共振態是多夸克轉化為三或二夸克的粒子.無序時對應于夸克解體、粒子衰變.這已經結合相互作用及其統一和亞夸克模型等.在夸克，特別砂子層次，統計性自然統一.如果夸克、強相互作用都歸為有序排列運動，則自然不必要膠子；而夸克只對應于強相互作用(色)，所以只需要3種.這樣仍回到Gell-Mann的簡單夸克模型.如此砂子的拉氏量、方程結合非平衡態、平衡態統計方程應該導致強、弱相互作用及QCD、DM的拉氏量、方程.砂子特定的統計性方程在有序時化為夸克的Dirac方程，對應QCD、DM.

超高能時是大統一，統一的統計性[16]，具有更大的對稱性，對應于無序.對稱性在高能時數學方程具有統計性質.而有相互作用、非平衡態時，無序化為有序，原來統一的對稱性破缺，出現幻夸克.結構相變，參數是能量、量子數或無量綱的標度變量.

非平衡統計模型已聯系于Higgs場、非線性方程和理論.它應該結合分形模型及應用，聯系于弦、袋及各種新現象和假設.對夸克的產生、三分岔最好如同u,d穩定而s不穩定.假設密度、波函數或其平方正比于質量m，則

(6)

這是演化方程，對應粒子或宇宙演化.應該由此導出間歇公式和分維等，特別是結合推廣的混沌模型，因為二者都描述多重產生.宇稱、PC等守恒、不守恒可能各是兩種不同的相.此時相應于不同的相互作用.因此不同的相互作用，或各種相互作用的統一和破缺對應各種或兩種相.

5 新的二重性相應的方程

我們提出粒子具有新的對稱性和統計性二重性[8,28].其中對稱性包含SU(3)等，說明物理結構上具有對稱性，例如夸克等，及動力學及方程的對稱性；而且還包括GMO質量公式、場和粒子的對稱、波粒二象性等；靴帶也是各種已知粒子平等、等價，可以互相置換的對稱性.統計性表現在大量粒子出現于各種層次的組成中都可以用統計隨機方法，并且統計性導致量子力學的幾率波；而波動性可發展為幾率性、統計性、隨機性等.大量的、小質量的粒子呈現出波動性、統計性；少數的、大質量的粒子呈現出對稱性.前者集聚化為后者，后者分解化為前者.低能、時空相對較大時呈現波動性，高能、時空相對較小時呈現統計性.統計性方程為Fokker-Planck(FP)方程[36]，即Kolmogorov方程.

Regge理論對應于量子分布，特別附加補償力學時.它導出的多邊緣模型及與之相關的火球模型、液滴模型及碎裂極限假設和量子液滴模型、激發態模型、統計熱力學模型等都導致統一的Gamma分布.電荷分布e-r/R，re-r/R及r-2e-2μr都是Gamma分布[37].球面散射波也是Gamma分布.粒子的主要特性都是對稱性或統計性，二者互補，各是低、高能情況.對應于夸克、靴帶二重性.低能對稱性應包括、導致波粒二象性；高能統計性應導致粒子的互相轉化，散射等.二者統一應該就是統計性與各種對稱性及超對稱性統一.

對稱性對應規范場及其方程，聯系于群，規范場是對稱性場的數學表示.這類似晶體，對應結構，例如夸克.而且由對稱性破缺也許可以聯系于統計性.Regge理論發展為Veneziano模型又聯系于B分布，而模型具有的交叉性、雙關性都是對稱性.

新的二重性可能是對稱性代入統計性或反之.即對稱的統計性或統計的對稱性.具體可能是夸克與靴帶等互相結合.也可以是多種特性結合為多象性，如包括場論、非線性理論等.進一步發展新的二重性，則對稱性發展為超對稱性，統計性發展為新統計性.二者都是統一，統一相互作用、粒子和統計性.袋具有夸克-部分子的動力學和對稱性的性質，又有統計性的特征.新二重性的交點之一就是袋及其推廣，二維以上的弦就是膜、袋.Regge軌跡(s-Rea(3)的Chew-Frautschi圖)聯系低能共振態(對稱性)與高能散射(統計性).

對于統計性，一方面是統計力學導致量子力學、量子場論；另一方面是統計模型建立在量子場論的基礎上.統計性還有兩個方面：理論上應該探討統計性、量子力學與對稱性等的各種關系；同時實驗上各種符合的統計模型.統計性不同就可以化為多種不同的模型，如Fermi模型、火球模型、激發態模型、極限碎裂模型及各種衰變、反應時的分布.其中極限碎裂模型符合較好，研究統一時可以此為基礎.但低能時可能不符合統計性.由動力學模型、統計性等應該導出各種粒子和夸克的量子數.

新的二重性基于Langevin方程，Fokker-Planck(FP)方程

(7)

右邊二項分別是漂移項和擴散項.這是Schrodinger方程的推廣，即Schrodinger方程的一種發展方法是FP方程.當存在非線性項K時，分布函數f(q,t)是時刻t發現變量q在q→q+dq區間的概率.進一步統一發展的方程應是FP相對論化方程，和KG，Dirac方程相應的推廣.這又聯系于費米子、玻色子統一的方程[8].

(8)

即

(9)

(10)

(11)

統計性對應Kolmogorov方程，聯系于半群，對應P、C、T不守恒，類似氣體.各種統計模型也許可以統一為Markov隨機過程，起碼其導致多重性分布.漸近自由時相互作用微弱，所以可用統計性.

重整化群方程等價于統計性方程(如Kolmogorov方程)，應可以導致Gamma、B分布的Pearson方程.1975年S.W.MacDowell推廣的Callan-Symanzik方程

(12)

類似Dirac方程

(γμ?μ+μ)ψ=j.

(13)

基于統計性方程，在一定條件、領域中(原子尺度，QED)導出量子力學、量子場論.

6 確定粒子質量和粒子數學的發展

如果設砂子質量m=0或極小，夸克質量為M，用重整化及標度性聯系M=Ldm.當砂子互相關聯時對應于海綿，有無限多個空隙，有無限長線度L=∞，1/L→0(砂子間距離趨于0)，所以M=Ldm=∞d·0=有限；此時d可以是分數維.當然這是極限情況，m→0，L→∞.這與量子場論重整化

(14)

相同.μ2=L2da，無窮大的μ2對應于砂子的本底，海綿的線度為無限長時的極限.

a[1-(δμ2/μ2)]=m2=0,

(15)

是質量平方的量綱，所以

δμ2/μ2=1-(m2/a).

(16)

μ0=Ldμ=∞·0是有限值.

所謂量子化條件，幾率軌道，又對應于Lyapunov函數.中微子v，電子e和質子p是3個穩定點，都是費米子.設函數為

(17)

所以

f′(m)=A(m-me)(m-mμ)(m-mN)...(m-mΞ).

(18)

如此穩定粒子和不穩定粒子交叉出現.如有2n+1個因子時，me,mN,mΣ等穩定，而mμ,mΛ,mΞ等不穩定.結合實驗，令最簡單的函數為

f′(m)=A(m-me)(m-mμ)(m-mN),

(19)

則

f=A[m4-am3+bm2-cm+C],

(20)

其中系數a=2m(K±)+3m(π0)=1392.22 MeV，b=3m(K±)m(π0)=199665 MeV和c=3m(K±)[m(π0)+m(π±)]/2=202623 MeV完全由介子質量決定.

非線性相應的數學特性(如新的統計性，非結合代數，李代數及其推廣等)可能是夸克、亞夸克、砂子的性質.粒子，特別弦、超弦中引入分維、復維、四元數.并且在各種矩陣、包括三維矩陣、矩陣力學、四維時空等中引入分維、復維、四元數等.進一步發展就是超對稱性(這又聯系于統一)及其各種理論、模型(包括超引力，超弦等)與統計性、隨機性相結合.

量子力學是能量、動量聯系于頻率、波長，pi=?ki.相對論是能量、動量聯系于時間、空間及其時空間隔、四矢，pi=Fdli.新的二重性是能量E、動量p聯系于統計性、隨機性.因此,1)能量E，動量p本身具有統計性、隨機性.2)引入溫度、熵等.3)E，p與某些統計量、隨機量成正比，目前尚未知.而且研究各種統計模型、理論的主要特征量，這些量可能又應該分為動力學和粒子特性兩方面.

總之，量子力學方程是對稱性的，但其解釋是統計性的；非線性方程是確定性的，而其解可以是隨機性的，這就是混沌.

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[責任編輯：徐明忠]

Many-Shell model of particles and new symmetry-statistics duality

CHANG Yifang

(Department of Physics, Yunnan University, Kunming 650091,China)

Based on the many shell structures of quark-particles and the new symmetry-statistics duality for different shells or energies proposed by me, the statistics of particles, the unified equations and various corresponding equations, etc., are researched. Final, a quantitative method determined masses of particles and the developments on mathematics of particles are discussed.

particle physics； symmetry； statistics； structure of particle； equation.

2015-03-09

國家自然科學基金資助項目(11164033)

張一方(1947-)，男，云南昆明人，云南大學教授，主要從事理論物理的研究.

O320

A

1672-3600(2015)09-0022-09