關于分數階導數定義的商榷

吳 佳 施偉辰

(上海海事大學物流工程學院，中國 上海201306)

0 引言

分數階微積分[1-3]的研究歷史很久遠，要上溯到17世紀。1695年，在L’Hospital在給Leibniz的著名信中提到了關于某一函數的n階導數，當n為二分之一時，結果會是如何，從而產生了分數階微積分。對于分數階微積分的研究， 首先是在數學上，Euler、Laplace、Abel、Fourier、Liouvile 對分數階微積分的研究做了一些工作。但是，第一本關于分數階微積分理論的專著[4]直到 1974 年才出版。 隨著 Caputo、Riemann、Grünwald、Hadamard、Letnikov、Hardy、Riesz、Marchaud、Littlewood、Ross等數學家或物理家對分數階微積分的貢獻，形成了現在被公認的幾種分數階導數的“定義”，其中包括 Riemann-Liouville“定義”和 Caputo“定義”[5]。

在最近幾十年間，對于分數階微積分應用的研究有了較大的發展，在科學及工程中的很多領域都有重要的應用，這些領域包括生物材料[6-7]，控制和機器人[8-9]，粘彈性動力學[10-11]，量子力學[12-13]等等。 在這些眾多涉及到分數階導數理論應用的文獻中，都是直接引用上述“定義”的說法。

本文經仔細回顧R-L和Caputo的所謂“定義”，發現它們都是源自于分數階導數（0＜α＜ 1 ）而得到的兩個不同的表達式，含義相同并且互為等價。因此，我們認為，分數階導數的定義仍然為（0＜α＜ 1 ）。 而RL和Caputo或者其他的所謂“定義”應稱作R-L和Caputo等的分數階導數的計算公式。

1 數學歸納法推導分數階導數的計算公式

對任何自然數n有

對連續函數f（t），反復應用分部積分法可得

當 n＝2 時，有

假設 n=k-1 時式（3）成立，則

從而當時，

因此式（7）成立。

對于非正整數的正數a＞0，記[a]為不超過a的最大整數，取m＝[a]+1。令

顯然，由式（8）我們知道式（9）和式（10）是等價的，他們只是表達形式不同，含義相同。 所以，分數階導數的定義應該是（0＜α＜ 1 ），而式（9）和式（10）只是兩種不同的計算表達式。把式（9）和式（10）稱作“定義”并不妥當，而把它們稱作計算公式更為貼切。

由此可見，或許可能還有很多其他所謂的分數階導數的“定義”，但如果都是源自于式，他們也只是不同的計算公式，而非定義。

由于R-L和Caputo的所謂 “定義”都是是等價的源于（0＜α＜ 1 ），所以被稱作“定義”并不妥當。 分數階導數的定義是（0＜α＜ ）1 ，而R-L和Caputo的所謂“定義”應該改稱為R-L和Caputo的分數階導數的計算公式。

［1］S.G.Samko,A.A.Kilbas and O.I.Marichev,Fractional Integrals and Derivatives：Theory andApplications[M].Gordon and Breach,New York,1993.

［2］I.Podlubny,Fractional Differential Equations[M].Academic Press,San Diego,1999.

［3］A.A.Kilbas，H.M.Srivastava and J.J.Trujillo,Theory and Applicationsof Fractional DifferentialEquations[M].Elsevier,Amsterdam,2006.

［4］Oldham K B,Spanier J.The Fractional Calculus [M].New York-London:Academic Press,1974.

［5］Li Xiao-rang.Fractional Calculus,Fractal Geometry and Stochastic Process[D].Ontario:The University of Western Ontario USA,2003.

［6］W.G.Gl?ckle and T.F.Nonnenmacher,A fractional calculus approach to selfsimilar proteindynamics[J].Biophysical Journal,1995,68:46-53.

［7］M.Kopfet al，Anomalous diffusion behavior of water in biological tissues[J].BiophysicalJournal,1996.

［8］]R.R.Nigrnatullin and S.I.Osokin,Signal processing and recognition oftree kinetic equationscontaining non—integer derivatives from law dielectric data[J].Signal Processing，2003，83:2433-2453.

［9］M.D.Ortigueira,On the initial conditions incontinuous-time fractional linear systems[J].Signal Processing,2003.

［10］R.Metzler and T.F.Nonnenmacher,Fractional relaxation processes and fractional rheologicalmodels for the description of a class of viscoelastic materials[J].Int.J.Plasticity,2003.

［11］A.Chatterjee,Statistical origins offractional derivatives in viscoelasticity[J].Journal ofSoundand Vibration,2005,284：1240-1245.

［12］N.Laskin,Fractional quantum mechanics and Lévy path integrals[J].Phys.1ett.A 268(2000)：297-305.

［13］D.Baleanu and S.I.Muslih,About fractional supersymmetric quantum mechanics[J].Czechoslovak Journal of Physics,2005,55(9):1062-1066.