發現身邊的“數學建模”

馮回祥

在上一期的文章里，我簡要談了在數學課堂教學中要重視“數學思想方法”滲透的問題。但具體到某一種思想方法的教學，不少教師仍然存在困惑，不知如何將思想方法的滲透和教學內容聯系起來，也不知怎樣的教學措施是適宜的。這種現象在小學數學教師中尤為明顯。鑒于此，我以近些年來被大家視為熱門話題的“數學建模思想”為例闡釋，希望我自己的一些思考能給讀者一點“撥云見日”的啟發。

數學教師該如何理解數學建模？

說實話，“數學建模”這個概念剛出現在相關媒體上時，并沒有引起我太多的關注，總覺得“數學建模”是大學數學專業課程，和我們基礎教育無關。我也知道像華中科技大學等高校數學系的學生經常參加國內外“建模”比賽，因此覺得“這事”好像離我們小學數學教學很遠。事實上，《義務教育數學課程標準（2011年版）》中明確提出：“在數學課程中，應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。”通過相關理論的學習，并與大學數學專業有關教授交流，我現在意識到并發現，在小學數學教材中，數學模型其實是隨處可見的。小學生學習數學知識的過程，實際上就是對一系列數學模型的理解、把握的過程。由此看來，“數學建模”就在我們身邊，建模思想就在小學數學教學中，重視和發展學生的建模思想是新的歷史時期對數學教師的要求。只要我們在教學中重視滲透模型思想，幫助學生建立并把握有關數學的基本模型，那么將會極大地激發學生學習數學的興趣，有利于培養學生解決問題的能力，提升學生的思維品質。

我們所提到的“數學建模”，就是指建立數學模型。那什么是數學模型呢？數學模型是對客觀事物的數量關系和空間形式的一個近似的反映。按廣義理解，一切數學概念、數學理論體系、數學公式、方程式和算法系統都可稱為數學模型。因此，數學建模，可以理解成利用數學語言、符號、式子或圖象模擬現實的模型，是把現實世界中有待解決的問題，從數學的角度發現問題、提出問題，通過轉化過程，歸結為一類已經解決或較易解決的問題，并綜合運用所學的數學知識與技能求得解決的一種數學思想方法。如，18世紀的數學大師歐拉1736年在文章《哥尼斯堡的七橋問題》中，用他找到的“一筆畫”的數學模型，以否定的方式漂亮地解決了“哥尼斯堡七橋問題”，這就是一個數學建模的極好范例。因此，數學建模可以視作數學領域里通用的一種解決問題的思想方法，我們在有意無意中可能已經使用過了數學模型。認識到這一點，數學建模就不再矗立在高高的云端，而成了我們觸手可及的“工具”。

課堂上建模思想方法該如何為我所用？

小學階段的數學建模教學不能與高中或大學的相比，難度不能太大，可操作性要強。一般來說，數學建模有三個基本步驟，下面以“找零錢問題”為例來加以說明。

小華到商店買練習簿，每本3角錢，共買9本，應該付款2元7角。

服務員問：“你有零錢嗎？”

小華說：“我帶的都是零錢，5角一張。”

服務員說：“真不湊巧，你沒有2角一張的，我的零錢反而都是2角一張的，沒有1角的。”

你有沒有辦法能把零錢找開呢？

我們要求學生數學建模時，可以一步步引導如下：

從現實原型中抽象概括出數學模型。首先把上面生活問題轉化成數學語言：小華帶的都是5角一張的零錢，即小華付給服務員的錢只能是5的倍數，而服務員的零錢都是2角一張的，說明服務員找給小華的錢只能是2的倍數。小華付給服務員的錢與服務員找給小華的錢之差應該正好等于小華應付款額2元7角即27角。然后再抽象成下面的數學模型：在（ ?）中填入適當的數字，使得下面的等式成立：5×（ ?）-2×（ ?）=27。

利用模型推理、論證或演算，求得問題的解。模型建立后，我們就可以進行分析推理：設5角的x張，2角的y張，則，27+2y的和一定是5的倍數，那么y=4，9，…，故x=7，9，…由此可知，（ ?）中最小應該分別填入“7”“4”，即等式變為模型的解：5×7-2×4=27。

將研究所得的結論還原到現實原型上去，得到實際問題的解答。由分析可知，在原來的情境中，只要由小華付出7張5角的，服務員找回4張2角的，就能解決找零錢的問題。

這是一道大家都很熟悉的數學問題，大家可能會說，我就是這樣在解決數學問題。不錯，這樣解決問題的過程就是在進行數學建模，即利用數學模型解決問題。由此說明在小學數學教材中，數學模型隨處可見，數學建模并非高深莫測。

對數學建模教學的幾點建議

數學建模不能“為建模而建模”，應結合平常的教學內容，選取合適的切入點，把培養學生的應用意識落實到教學過程中，使學生真正掌握數學建模的基本方法，培養學生的數學建模能力。

以教材知識為基礎。小學數學建模能力的培養是一個漸進的過程，要從日常的教學開始，結合具體內容慢慢滲透，逐步培養學生的建模意識。教材中都配有大量反映實際問題的主題圖，我們可以從中抽象出主要的數學模型。例如，五年級抽象出“方程的意義”這一模型，就是按主題圖提供的天平實驗方式來實現的。數學概念、法則、性質、公式等數學基礎知識，一般也是由實際問題出發抽象出來的，都反映了數學建模思想。作為一種思想方法，數學建模思想可以與數學基礎知識的教學相依隨，經常滲透，逐漸升華。因此，教學時教師要充分利用教材知識的特點，重視展示知識的發生、發展、抽象、概括和應用過程，讓學生在知識的形成過程中掌握數學建模的基本方法。

以課堂教學為平臺。加強實驗操作。我們知道很多數學概念的建立，計算方法的形成都是在實驗操作的基礎上完成的。例如：教學長方形的面積、三角形的意義、三角形內角和的規律等內容時，都必須讓學生在操作中去抽象和歸納，建構它們的意義，從而建立出它們的模型。

加強合作交流。合作交流是一種很好的學習方式，利用這一方式進行學習，不僅有利于學生思維的碰撞，情感的交流，而且有利于學生實現對數學知識的建模。例如，教學“植樹問題”時，可以創設“植樹問題”的各種問題情境，然后利用小組合作的學習方式，讓學生去抽象出不同的數學模型，如“不封閉圖形植樹問題”的模型“樹的數量=總長度÷間隔數+1”等。此時重點要引導學生對數學模型進行討論驗證，如果發現模型不妥、不佳或者是錯誤的，就要修改，重新建模，直到模型正確無誤，才能讓學生解答出結果。這樣的一個過程十分重要，這不僅是學生學會數學建模并解決問題的需要，更是從小培養學生思維的縝密性和嚴謹治學態度的需要。

以生活性問題為基點。數學來源于生活，又應用與生活。把生活融合到學校數學教育中，是現代教育的一個趨勢。大量與日常生活相聯系（如投資買賣、銀行儲蓄、測量、乘車、運動等方面）的數學問題，大多可以通過建立數學模型加以解決。只要結合數學課程內容，適時引導學生考慮生活中的數學，會加深學生對數學知識的理解和運用，恰當地將其融入課堂教學活動中，增強應用數學的信心，獲得必要的應用技能。

綜上所述，在小學進行數學模型的教學是完全可行的，也是非常必要的。對于如何更好地幫助學生領會數學模型的思想和方法，增強數學的應用意識，提高學生的創新能力，養成良好的思維品質等相關問題，有待我們進一步思考與探索。