基于多目標(biāo)遺傳優(yōu)化算法的PSA貼敷機(jī)單驅(qū)形式橫梁研究

魏 淼，王西峰，康運(yùn)江，苗振海

（1.機(jī)械科學(xué)研究總院，北京 100044；2.機(jī)科發(fā)展科技股份有限公司，北京 100044）

0 引言

PSA 貼敷機(jī)能夠?qū)崿F(xiàn)PSA 自動(dòng)化貼敷，通過(guò)模組實(shí)現(xiàn)XY 向精確定位。現(xiàn)采用龍門(mén)雙驅(qū)結(jié)構(gòu)，但由于橫梁雙電機(jī)驅(qū)動(dòng)造成的同步性控制問(wèn)題難以解決，設(shè)備不能有效提高生產(chǎn)效率。本文通過(guò)采用單驅(qū)結(jié)構(gòu)來(lái)避免同步性控制，完成橫梁參數(shù)化設(shè)計(jì)。

設(shè)備定位系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中，橫梁作為主要移動(dòng)部件，其機(jī)械精度是影響設(shè)備貼裝精度的重要因素之一。本文通過(guò)Pro/E 和Workbench 協(xié)同仿真完成單驅(qū)橫梁的參數(shù)化設(shè)計(jì)，并保證機(jī)械精度在±0.04mm 范圍之內(nèi)。

1 建立數(shù)學(xué)參數(shù)模型

橫梁參數(shù)模型涉及尺寸優(yōu)化，尺寸優(yōu)化關(guān)鍵步驟是確定目標(biāo)函數(shù)和設(shè)計(jì)變量。橫梁結(jié)構(gòu)及參數(shù)定義如圖1所示。其中，Width 表示橫梁截面寬度，Hight 表示截面高度，N 表示橫梁掏空孔個(gè)數(shù)，Nlength 表示掏空孔截面長(zhǎng)度，壁厚均設(shè)置為20mm。

圖1 模型參數(shù)定義Fig.1 The parameter definition of model

確定設(shè)計(jì)變量參數(shù)為：

式（1）中變量N 無(wú)量綱，其余單位為mm。PSA 貼敷機(jī)對(duì)橫梁有尺寸設(shè)計(jì)要求，因此可以定義變量X 在數(shù)學(xué)模型中的約束條件。在式 （2） 中，初始變量值為X0=[160，140，5，120]T，上下限值U=[180，160，8，200]T、L=[140，120，3，80]T。

橫梁參數(shù)化模型的目標(biāo)函數(shù)如式（3）～（5），其中s（Xi）表示橫梁運(yùn)行過(guò)程中的變形量，f一階（Xi）表示橫梁的一階模態(tài)固有頻率，m（Xi）表示橫梁質(zhì)量。

綜上所述，橫梁參數(shù)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型為：

2 橫梁參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 橫梁參數(shù)化建模

通過(guò)Pro/E 建立橫梁的參數(shù)化模型，將模型導(dǎo)入Workbench 中分析。在Workbench 中引入模態(tài)分析模塊和瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析模塊，然后進(jìn)行Pro/E 和Workbench協(xié)同仿真。

2.2 多目標(biāo)遺傳算法優(yōu)化

各參數(shù)設(shè)定好之后對(duì)橫梁進(jìn)行優(yōu)化。優(yōu)化過(guò)程包括實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、響應(yīng)面和優(yōu)化三部分。首先通過(guò)蒙特卡羅抽樣技術(shù)采集實(shí)驗(yàn)樣點(diǎn)，計(jì)算每個(gè)實(shí)驗(yàn)樣點(diǎn)的響應(yīng)結(jié)果，然后通過(guò)二次插值構(gòu)造出設(shè)計(jì)空間響應(yīng)曲面，最后基于響應(yīng)曲面完成目標(biāo)函數(shù)的參數(shù)優(yōu)化，選出滿足要求的解集。

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)采用中心復(fù)合設(shè)計(jì)法，Workbench 根據(jù)數(shù)學(xué)模型中設(shè)計(jì)變量的上下限矩陣自動(dòng)生成了25 個(gè)實(shí)驗(yàn)樣點(diǎn)，根據(jù)這25 個(gè)實(shí)驗(yàn)樣點(diǎn)值計(jì)算出響應(yīng)結(jié)果，并生成響應(yīng)曲面，得出擬合度和靈敏度等結(jié)果，方便數(shù)據(jù)處理。

2.3 橫梁優(yōu)化結(jié)果分析

（1）擬合度曲線。根據(jù)響應(yīng)面結(jié)果生成擬合度曲線，曲線上的點(diǎn)表示輸出參數(shù)預(yù)估值與實(shí)驗(yàn)樣點(diǎn)觀察值的比值，用來(lái)判定響應(yīng)面是否擬合實(shí)驗(yàn)樣點(diǎn)。如圖2 所示，圖表橫坐標(biāo)為設(shè)計(jì)點(diǎn)觀察值，縱坐標(biāo)為響應(yīng)面預(yù)測(cè)值，圖中的實(shí)驗(yàn)樣點(diǎn)基本接近對(duì)角線，該實(shí)驗(yàn)中得到的響應(yīng)面擬合度較好。

圖2 目標(biāo)函數(shù)的擬合度Fig.2 Goodness of fit of the objective function

（2）響應(yīng)面。Workbench 可以根據(jù)響應(yīng)面結(jié)果生成二維或三維響應(yīng)曲面。通過(guò)響應(yīng)曲面查看各輸入?yún)?shù)對(duì)輸出參數(shù)的影響，選擇判斷合適參數(shù)。

圖3 一階模態(tài)固有頻率對(duì)輸入?yún)?shù)N 的響應(yīng)曲線Fig.3 The response curve of the one modal natural frequency to N

圖4 橫梁最大變形量對(duì)輸入?yún)?shù)N 和Nlength 的響應(yīng)曲線Fig.4 The response curve of the beams maximum deformation to N and Nlength

若觀察單獨(dú)輸入變量對(duì)輸出變量值的影響，采用2D云圖，如圖3 為輸入?yún)?shù)N 對(duì)一階模態(tài)固有頻率影響，一階固有頻率負(fù)相關(guān)于參數(shù)N。若觀察兩個(gè)輸入變量對(duì)一個(gè)輸出變量的影響，采用3D 云圖，圖4 為輸入?yún)?shù)N 和Nlength 對(duì)橫梁最大變形量影響，橫梁最大變形量正相關(guān)于N 和Nlength。設(shè)備要求橫梁最大變形量在±0.04mm 范圍內(nèi)，因此，最優(yōu)解選擇最大變形量在0.04mm 值以下。

（3）局部靈敏度。局部靈敏度分析連續(xù)輸入?yún)?shù)對(duì)輸出參數(shù)的影響，是基于單個(gè)輸入?yún)?shù)變化下輸出參數(shù)的變化。本文截取靈敏度條狀圖結(jié)果，條狀圖分成三個(gè)縱欄，分別表示三個(gè)不同的輸出參數(shù)，每一欄中不同顏色的條框代表不同的輸入?yún)?shù)。條狀圖中靈敏度有大小和正負(fù)兩種含義，其中大小表示輸入?yún)?shù)在輸出參數(shù)所占的權(quán)重；正負(fù)則表示該輸出參數(shù)與輸入?yún)?shù)呈正 （負(fù)）相關(guān)關(guān)系。各參數(shù)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的靈敏度條狀如圖5 所示。

圖5 目標(biāo)函數(shù)的局部靈敏度Fig.5 Local Sensitivity of the objective function

由靈敏度圖可以看出，參數(shù)N 和Nlength 對(duì)橫梁一階模態(tài)固有頻率影響權(quán)重最大，且呈負(fù)相關(guān)性；對(duì)橫梁運(yùn)行過(guò)程中最大變量值影響最大，且呈正相關(guān)性；對(duì)橫梁質(zhì)量影響較大，呈正相關(guān)性。還可以發(fā)現(xiàn)，橫梁截面尺寸對(duì)橫梁的最大變形量幾乎沒(méi)有影響，對(duì)橫梁的質(zhì)量有影響。

3 橫梁參數(shù)化優(yōu)化結(jié)果

完成上述結(jié)果分析之后，通過(guò)Workbench 生成各參數(shù)圖表并找出最優(yōu)解。按優(yōu)先級(jí)比較，各組解首先要保證橫梁的最大變形量在±0.04mm 范圍之內(nèi)，其次保證橫梁質(zhì)量盡量小，最后要求橫梁一階模態(tài)固有頻率滿足避免共振的要求。

3.1 橫梁參數(shù)化計(jì)算結(jié)果

根據(jù)實(shí)際情況輸入?yún)?shù)N 是整數(shù)，故優(yōu)化數(shù)據(jù)結(jié)果分成6 組。根據(jù)局部靈敏度的分析，輸出參數(shù)橫梁質(zhì)量與橫梁截面的長(zhǎng)寬呈正比關(guān)系，故在結(jié)果提取過(guò)程中保證橫梁截面尺寸在上下限范圍之內(nèi)越小越好。在參數(shù)化分析計(jì)算結(jié)果中，得到表1 數(shù)據(jù)。

表中N 為整數(shù)，無(wú)量綱，Nlength、Width、Hight、Length四個(gè)輸入?yún)?shù)單位均為mm，f1 表示在橫梁實(shí)際運(yùn)行中的最大變形量，f2 表示橫梁的一階模態(tài)固有頻率，f3 表示橫梁質(zhì)量。

對(duì)上述表格數(shù)據(jù)進(jìn)行分析： 將橫梁截面尺寸設(shè)置在允許范圍內(nèi)最小值，根據(jù)靈敏度分析，f1 與參數(shù)Nlength 呈正相關(guān)關(guān)系。當(dāng)輸入?yún)?shù)N 為7 和8 時(shí)，輸入?yún)?shù)Nlength 為最小值時(shí)，橫梁最大變形量f1 最小為0.048mm 和0.58mm，超過(guò)設(shè)計(jì)允許范圍之內(nèi)。當(dāng)N 分別為3、4、5、6 時(shí)，均可以滿足設(shè)計(jì)條件。

當(dāng)N 為6 時(shí)，Nlength 的最大值為166mm，此時(shí)橫梁的最大加速度值為一個(gè)g 值。當(dāng)N 小于6 時(shí)，橫梁輸入?yún)?shù)Nlength 和輸出參數(shù)最大變形量均有提升的空間，同時(shí)橫梁的最大加速度值也可以提升，這樣便能有效地提高設(shè)備定位系統(tǒng)的工作效率。

3.2 橫梁改動(dòng)前后對(duì)比

根據(jù)現(xiàn)有PSA 貼敷設(shè)備雙驅(qū)動(dòng)形式結(jié)構(gòu)梁尺寸數(shù)據(jù)，選取參數(shù)為優(yōu)化之后的橫梁參數(shù)。令橫梁結(jié)構(gòu)尺寸： Width=140mm、Hight=120mm、N=4、Nlength=182mm。計(jì)算得到橫梁長(zhǎng)度： Length=828mm，跨距688mm，原雙驅(qū)動(dòng)橫梁長(zhǎng)度826mm，跨距690mm。

用優(yōu)化后的設(shè)計(jì)變量重新生成模型，并與原來(lái)模型進(jìn)行對(duì)比分析如表2 所示。表中定義Vmax為橫梁所能達(dá)到的最大速度，定義amax為橫梁在運(yùn)行過(guò)程中達(dá)到的最大加速度值，根據(jù)數(shù)據(jù)分析得出結(jié)論： ①當(dāng)速度為1m/s和1.75m/s，加速度為10m/s2和17.5m/s2時(shí)，優(yōu)化前的結(jié)構(gòu)均不滿足機(jī)械精度要求，優(yōu)化后的橫梁均能達(dá)到要求；②當(dāng)速度為1m/s，加速度為10m/s2時(shí)，優(yōu)化后的模型相對(duì)于優(yōu)化前最大變形量降低62.7%，當(dāng)數(shù)值為1.75m/s 和17.5m/s2時(shí)，優(yōu)化后的模型相對(duì)于優(yōu)化前最大變形量降低63.9%；③優(yōu)化后的橫梁相對(duì)于優(yōu)化前的橫梁一階模態(tài)固有頻率提高75%。

表2 模型優(yōu)化前后各目標(biāo)函數(shù)值對(duì)比Tab.2 The comparison of the objective function value before and after the model optimization

4 結(jié)論

（1）本文建立了橫梁的參數(shù)數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)數(shù)學(xué)模型建立了橫梁的參數(shù)化模型。

（2）通過(guò)Pro/E 與Ansys Workbench 的協(xié)同仿真，基于模態(tài)分析和瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析對(duì)橫梁進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)，得出了滿足設(shè)計(jì)要求的最優(yōu)解。

（3）得出最優(yōu)解橫梁參數(shù)，生成橫梁模型進(jìn)行模態(tài)分析和瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析，優(yōu)化后的模型相對(duì)于原有模型的一階固有頻率提高75%，橫梁最大變形量在某一工況條件下提高62.7%。

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