七模類Lorenz系統(tǒng)的界估計(jì)及計(jì)算機(jī)仿真

徐鴻鵬，王記昌

（河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 河南 南陽(yáng) 473000）

1963年美國(guó)科學(xué)院院士E.N.Lorenz在研究大氣對(duì)流時(shí)，首次給出了一個(gè)簡(jiǎn)單的三維自治系統(tǒng)，即著名的Lorenz系統(tǒng)[1]，采用的辦法就是對(duì)Navier-Stokes方程和熱傳導(dǎo)方程進(jìn)行Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)進(jìn)行截取前三項(xiàng)所得。以后，又有其他學(xué)者進(jìn)行有限項(xiàng)截?cái)?，得到不同模?shù)的非線性微分方程組[2-4]?；煦缥邮窍嗫臻g中的一個(gè)點(diǎn)集，隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間的增加，所有軌線都趨向于它。這些混沌系統(tǒng)的全局吸引子的存在性和部分動(dòng)力學(xué)行為已經(jīng)被許多研究者所認(rèn)識(shí)和研究。除了Lorenz系統(tǒng)族[5]之外，也存在其他混沌系統(tǒng)[6]，這些新混沌系統(tǒng)的提出和研究為混沌系統(tǒng)甚至混沌理論的應(yīng)用提供了一定的理論基礎(chǔ)和參考價(jià)值。文獻(xiàn)[7]研究了Navier-Stokes方程的七模截?cái)嗟娜治拥拇嬖谛?，并給出了部分?jǐn)?shù)值模擬圖像，本文進(jìn)一步考慮該系統(tǒng)，通過(guò)理論和數(shù)值方法給出了系統(tǒng)的相圖、Poincare映射圖、分岔圖等揭示系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為，并構(gòu)造出廣義李雅普諾夫函數(shù)給出了新的全局指數(shù)吸引集的估計(jì)表達(dá)式，并給出理論計(jì)算和實(shí)際數(shù)值計(jì)算的結(jié)果比較，表明了本文方法的正確性。

1 數(shù)學(xué)模型及其主要結(jié)果

王賀元等研究的一個(gè)七模Lorenz混沌系統(tǒng)的方程為[7]:

其中（x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7）∈R7為狀態(tài)變量，R e 為系統(tǒng)實(shí)參數(shù)。

系統(tǒng)（1）在坐標(biāo)變換下（x1，x2，x3，-x4，-x5，-x6，x7）保持不變，說(shuō)明系統(tǒng)具有該變化下的對(duì)稱性。根據(jù)劉維爾定理，由于系統(tǒng)的平均散度所以系統(tǒng)屬于耗散系統(tǒng)，并以指數(shù)e-28t收縮，說(shuō)明系統(tǒng)存在吸引子。當(dāng)R e=100時(shí)，初值?。?，1，1，1，1，1，1），系統(tǒng)（1）的軌線的吸引子相圖如圖1所示。

隨著參數(shù)R e的變化，系統(tǒng)表現(xiàn)出穩(wěn)定到平衡點(diǎn)、極限環(huán) （周期軌或擬周期軌）和混沌吸引子等不同的非線性行為，即出現(xiàn)Hopf分叉和混沌現(xiàn)象。下面通過(guò)數(shù)值模擬給出不同于典型混沌吸引子的復(fù)雜周期軌的吸引子相圖以驗(yàn)證圖4中的結(jié)論，此時(shí)R e=200。并結(jié)合Poincare映射圖來(lái)進(jìn)一步加以說(shuō)明，Poincare映射截面上有一些具有分形結(jié)構(gòu)的密集點(diǎn)，說(shuō)明系統(tǒng)是混沌狀態(tài)，截面上只有幾個(gè)離散的點(diǎn)，說(shuō)明系統(tǒng)處于周期狀態(tài)或擬周期狀態(tài)。這與圖3和圖5的結(jié)論是吻合的。

圖1 系統(tǒng)（1）的軌線相圖Fig.1 Phase portrait of system （1）

圖2 系統(tǒng)（1）的分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram of system （1）

圖3 Poincare映射圖Fig.3 Poincare mapping diagram

圖4 系統(tǒng)（1）的復(fù)雜周期軌Fig.4 Complex periodic orbit of system （1）

2 系統(tǒng)的界估計(jì)和數(shù)值模擬

下面給出系統(tǒng)的界估計(jì)和最終有界集的結(jié)論。

圖5 系統(tǒng)（1）的Poincare映射圖Fig.5 Poincare mapping diagram of system （1）

對(duì)V沿系統(tǒng)（1）的軌線對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有，

注1：本文給出的結(jié)論比文獻(xiàn)[7]的范圍更小，為了便于比較，采用文獻(xiàn)[7]的符號(hào)記法，在文獻(xiàn)[7]中的結(jié)論

注2：該定理不僅給出了系統(tǒng)解的最終界估計(jì)式，而且給出了系統(tǒng)（1）的軌線從吸引集外進(jìn)入吸引集的速率估計(jì)表達(dá)式。

當(dāng)參數(shù)R e=100時(shí)，系統(tǒng)（1）的最終界估計(jì)表達(dá)式為，Ω=數(shù)值模擬如圖15所示。

圖6 混沌吸引子的最終界Fig.6 Ultimate bound of chaotic attractor

3 結(jié) 論

本文研究了參數(shù)Re變化時(shí)系統(tǒng)（1）的部分動(dòng)力學(xué)行為和全局指數(shù)吸引集，并且給出了相應(yīng)的計(jì)算機(jī)仿真[9]。由于該系統(tǒng)具有豐富的動(dòng)力學(xué)行為，可以為信息加密技術(shù)提供良好的信號(hào)源，因此其混沌機(jī)理的研究以及電子振蕩電路的實(shí)現(xiàn)是我們下一步研究的重點(diǎn)任務(wù)。

[1]Lorenz E N.Deterministic non-periods ows[J].J.Atoms.Sci.1963，20（2）:130-141.

[2]Franceschini V，Tebaldi C.A seven-modes truncation of the plane incompressible Navier-Stokes equations[J].Journal of Statistical Physics，1981，25（3）:397-417.

[3]Boldrighini C，F(xiàn)ranceschini V.A five-dimensional truncation of the plane incompressible Navier-Stokes equations[J].Communications in Mathematical Physics，1979，64（2）:159-170.

[4]Franceschini V，Zanasi R.Three-dimensional Navier-Stokes equations truncated on a torus[J].Nonlinearity，1992，4（3）:189-209.

[5]尹社會(huì)，張勇，張付臣，等.基于Lorenz系統(tǒng)的強(qiáng)迫Lorenz混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究[J].東北師大學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014，46（1）:42-47.YIN She-hui，ZHANG Yong，ZHANG Fu-chen，et al.Dynamical behavior for the forced Lorenz system based on the Lorenz map and simulation[J].Journal of Northeast Normal University（Natural Science Edition），2014，46（1）:42-47.

[6]尹社會(huì)，張勇，徐鵬飛.一個(gè)三維混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為及反饋同步[J].江西科學(xué)，2013，31（6）:717-721.YIN She-hui，ZHANG Yong，XU Peng-fei.Dynamical analysis and feedback synchronization of a Three-dimensional Chaotic System[J].Jiangxi Science，2013，31（6）:717-721.

[7]WANG He-yuan，CUI Yan，HUANG Min.A new sevenmodes truncation of the plane incompressible Navier-Stokes equations[J].Chinese Quarterly Journal of Mathematics，2012，27（1）:11-17.

[8]Damei Li，Jun-an Lu，Xiaoqun Wu，et al.Estimating the bounds for the Lorenz family of chaotic systems[J].Chaos，Solutiona and Fractals，2005，23（2）:529-534.

[9]尤裕榮，袁洪濱，王春民，等.PWM高速開(kāi)關(guān)閥動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)特性仿真研究[J].火箭推進(jìn)，2012（5）：24-29.YOU Yu-rong，YUAN Hong-bin，WANG Chun-min，et al.Simulation of dynamic regulating characteristics of PWM high-speed on-off valve[J].Journal of Rocket Propulsion，2012（5）:24-29.