改進小波空域相關去噪算法的飛行數據濾波

胡渴望 ， 吳根水 ， 屠 寧 ， 王艷奎

（1.中國空空導彈研究院 河南 洛陽 471009；2.航空制導武器航空科技重點實驗室，河南 洛陽 471009）

飛行數據對于導彈性能的分析、改進以及仿真模型的修正具有重要意義，由于外場試驗環境的復雜，所測得的飛行數據往往具有噪聲。飛行數據本身具有非平穩的特點，且導彈完整的飛行過程又分為中制導、末制導等階段，不同制導階段飛行數據具有明顯不同的變化特征，這使得傳統的降噪方法作用非常有限。

小波變換不同于傳統分析方法把時域信號表示為若干精確的頻率分量之和，而是將其表示為若干描述子頻帶的時域分量之和。小波分析具有自適應的時—頻窗，可以聚焦到被分析信號的局部時域位置和局部頻帶，具有在時域、頻域表征信號局部特征的能力，小波降噪中對信號的多尺度分解，即通過不同中心頻率不同帶寬的濾波器對信號進行濾波，然后根據噪聲和信號在各頻帶上的不同特性對小波系數進行處理，再重構實現信號的降噪[1]。

目前小波降噪方法主要有3種，即模極大值降噪、閥值降噪和空域相關濾波算法[2-3]。模極大值降噪基于信號和噪聲有不同的奇異性，提取信號在各個尺度上的模極大值，由信號模極大值重構實現降噪。其優點是無需估計噪聲水平，但缺點是模極大值的搜索困難、且投影算法過于復雜，計算量太大；而基于閥值的小波降噪由于其計算量小、易于實現得到了廣泛的應用。但不論采用哪種閥值選取準則，由閥值收縮后保留下來的小波系數，與原信號的小波系數存在一定偏差，使得降噪后信號過平滑；空域相關濾波算法利用相鄰尺度間小波系數的相關性來進行濾波，需要設定處理相關系數的閥值，且可能會保留由噪聲引起的變換點，使得重構的信號出現“毛刺”[4]，但空域相關濾波的最大優點是能保留信號尖峰等細節信息。

空域相關濾波算法的應用有兩個難點：即難以確定小波的分解層數和濾波閥值。這限制了空域相關濾波算法實現效果。本文將基于統計理論的白噪聲檢驗方法[5]和相關空域濾波相結合，自適應的確定最佳小波分解層數，并利用新的閥值準則，使得信號的小波系數的保留更加精確，通過仿真和實測數據試驗表明，本文算法實現了更好的濾波效果。

1 空域相關濾波

信號的突變點在不同分解尺度的同一位置都有較大的峰值出現，而噪聲并無此特性，基于此Xu提出了空域相關濾波算法[6]。即取相鄰尺度的小波系數的直接乘積進行相關計算，根據相關性大小區分尺度上的噪聲和信號。這樣可以更好地保留信號邊緣信息。

空域相關濾波概括如下：對含噪信號進行小波分解，設cd（l，n）為觀測數據在l尺度上n位置的小波系數，則相鄰尺度間相關系數為

為了使相關系數與小波系數具有可比性，將corr（l，n）的能量歸一化到 cd（l，n），即

上式中：

通過比較 newcorr（l，n）和 cd（l，n）的大小來判斷該位置小波系數是否信號能量占優，即若 newcorr（l，n）≥cd（l，n），認為 n 位置小波系數為信號系數，提取 cd（l，n）并保存為 cd′（l，n），將原位置的 cd（l，n）置零。再利用剩余的 cd（l，n）計算新的newcorr′（l，n）、Pw′、Pc′，再重復進行上述計算，不斷更新cd′（l，n），直到該尺度上未被抽取的點的能量Pwl滿足該尺度上的噪聲能量閥值停止迭代計算。最后根據各個尺度上新的小波系數cd′（l，n）重構濾波后的信號。

上述傳統空域濾波算法有不足之處：分解到哪個尺度上可得到最佳濾波效果全靠經驗；對于各尺度上認定為噪聲能量占優的小波系數完全舍棄，使得重構信號在很多點失真較為嚴重；各尺度上噪聲能量閥值的設定會對濾波效果帶來很大的影響，如何精確設定閥值也稱為關鍵。

2 改進的空域相關濾波

2.1 白噪聲檢驗

為確定相關空域濾波的分解停止尺度，引入白噪聲檢驗方法[4]，在此先做介紹，以便后文使用。由于有用信號和噪聲的非關聯性，二者各自的自相關函數也具有非關聯性，故噪聲的自相關函數反映了噪聲的分布情況。若小波系數序列為X=（x1，x2，…xi，…xN），定義噪聲自相關函數為：

定義序列

則判定小波系數序列X是否為噪聲序列就等價于判斷序列P的z個變量是否獨立并服從標準正態分布。若定義

則判斷序列P的z個變量是否獨立并服從標準正態分布就等價于判斷Q是否服從自由度為m的χ2分布，此處z取5。

2.2 改進算法

信噪比低的信號，其小波分解最高尺度上往往噪聲能量絕對占優，甚至完全為噪聲，這種情況下進行相關空域濾波已失去意義，本文對分解所得的小尺度上的小波系數，在進行相關空域濾波前，先進行白噪聲檢驗，若判斷是白噪聲，則全部舍去，再對下一層進行檢驗，直至某一層未通過白噪聲檢驗，則認為大于等于該層的尺度上，含有足夠的信號信息，應進行相關空域濾波。

對于各層噪聲能量閾值的設定，文獻[7]提出的作為停止相關性迭代計算的判定條件為：

其中nl為未被提取的小波系數的個數，cth為放大系數，于1～2之間依經驗取值。因為l尺度上噪聲標準差σl由估計而得，閾值設定有誤差，使得相關空域濾波難以有效實施。本文為了更精確地提取信號系數，從相關性濾波的目的出發，經過提取后剩余的小波系數，若噪聲能量絕對占優，則較好的分離了信號占優系數和噪聲占優系數。而噪聲占優系數大多處于同一能量級別，若設定閥值在臨界值變動時，則提取的小波系數的個數會有極其明顯的變化，而設定閾值在除臨界值外的相當大的范圍內變動時，提取的系數個數并無顯著變化。故本文采取由結果導向來確定閾值的新方法：在 σl和 2σl之間等間隔設置 m 個閾值（t1≤t2≤…≤tm），依此分別進行相關性計算，得到m組cd（l，n），每組個數為Nm，由公式（8）可知，不等式右側閾值越大，提取的信號占優小波系數個數越少，即Nm≤Nm-1。比較兩相鄰閾值提取的信號占優小波系數的個數Nm，在某一組兩相鄰預設閾值情況下，若信號占優系數的個數（Nm-1-Nm）變化最大時，則確定兩閾值中較大的閾值為最優閾值，并確定提取出來的信號占優小波系數為

本文中m取6。

針對分解到哪一尺度停止相關空域濾波的問題，對l尺度上提取 cd′（l，n）過之后剩余的小波系數序列（設 cd″（l，n）為）非零項進行相關性檢驗，若判斷為白噪聲，則繼續對下一尺度上進行相關性濾波，否則說明該尺度進行相關濾波后剩余的小波系數已達到信號占優，不宜通過相關性濾波進行區分，上一尺度L即為最終相關濾波尺度。

如前所述，僅提取能量占優位置小波系數，則舍棄了真實信號在其他位置上的系數，為了將未提取位置上的噪聲能量占優系數調整到接近理想信號，考慮到不同尺度的噪聲方差沿分解尺度上近似為指數分布[5，8]，故取指數函數為萎縮函數，則最終的小波重構系數算法為：

綜上所述，本文的濾波步驟如下：

1）對含噪信號進行小波分解，得到近似系數和細節系數；

2）對前一步得到的細節系數用公式（7）進行檢驗，若cd（1）判斷為白噪聲，則cd （1）全賦零值，并對近似部分繼續進行小波分解和判斷，直至某一層細節系數判斷為非白噪聲，進入下一步；

3） 在預置的 6 個閥值 σl、1.2σl、1.4σl、1.6σl、1.8σl、2σl情況下，根據公式（1）、（2）進行相關空域濾波，最后根據公式（9）確定最優閥值，提取信號占優小波系數；

4）對 l尺度剩余的小波系數序列 cd″（l）非零項用公式（7）進行相關性檢驗，若判斷為白噪聲，則在下一尺度上繼續進行相關性濾波，直至分解到L+1尺度上，該尺度cd″（L+1）非零項判斷為非白噪聲，則停止分解，并確定L為最終分解尺度；

5）各尺度小波系數按式（10）進行構造，并進行小波分解逆變換重構信號。

3 試驗結果與分析

為驗證本文算法的有效性，分別采用仿真數據和實測數據進行分析。仿真數據來自某彈道條件下全數字仿真。對產生的仿真數據施加均值為0標準差為5、10、15、20、25的高斯噪聲，仿真結果分別見表1和圖1所示。

表1 不同信噪比降噪結果SNR比較/dbTab.1 The denoised results of different SNR signals

由于篇幅的限制，在此僅給出噪聲標準差為10的仿真結果，如圖1所示。

圖1 噪聲標準差10時仿真結果Fig.1 The result of signal with 10 standard deviation white noise

由上圖可知，文中算法較好地去除了噪聲干擾，有效的提高了信噪比。

取某彈道外場飛行試驗方位角數據，分別采用minimax準則的可調整軟閥值小波降噪算法和本文算法進行分析，結果如圖2所示，本文算法可有效改進數據質量，效果良好。

由圖2可知，文中提出的降噪方法，較之minimaxi閥值準則更完善的保留了信號尖峰等細節信息，又克服了rigrsure閥值準則過于保守的缺陷（去噪后依然含有過多噪聲），提高了信號的信噪比，改善了數據質量。

4 結 論

本文針對飛行數據難以有效去噪這一實際問題，從相關空域濾波的目的出發，給出了一種空域相關濾波閥值確定方法，將小波系數分為能量占優和噪聲占優部分，對噪聲占優系數進行了萎縮重構，并利用噪聲能量占優系數來自適應的確定相關空域濾波停止層數。給出了相關空域濾波的實用去噪流程，通過仿真信號和實測信號表明：本文提出的方法使得信噪比提高的同時完善的保留了信號的細節信息，提升了信號質量。

圖2 飛行試驗數據降噪結果Fig.2 The denoised result of real flight signal

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