基于圖像超分辨率重建的質心細分的研究

周明遠，石 英

（1.北京航空航天大學宇航學院 北京 100083；2.北京航空航天大學 儀器科學與光電信息學院，北京 100083）

隨著現代科技的發展，人們對于航天器姿態確定的精度要求也越來越高。作為導航系統中精度最高的敏感器，星敏感器可以獲得角秒級的定姿精度，因此它在現代導航中扮演了越來越重要的角色。而航天器姿態確定的關鍵是星圖識別，但是，當在實際應用中如果給定的星圖分辨率過低，則會產生較大的誤差，這嚴重影響了定位精度。受制于上述的不足，近年來眾多學者開始了對亞像素細分算法的研究[1]，并取得了一定的效果。這些算法包括：質心法，平方加權法，帶閾值的質心法等。然而這些算法均完全依賴于原始圖像的分辨率，當圖像分辨率過低、要求的質心精度過高或者受制于高分辨率CCD的成本時，上述的精度就已經達到了瓶頸。利用超分辨率進行圖像重建以獲得更多圖像信息的新方法就應運而生了。

超分辨率重建在醫學、軍事、遙感等領域已得到了廣泛的應用。目前學者集中研究多幅圖像的超分辨率重建技術[2-3]，以達到引入新信息來提高原始圖像的分辨能力。這就需要考慮圖像配準等關鍵技術。但在航天導航中，由于有實時輸出姿態的要求，無法做到用多幅圖像進行超分辨率重建，因此本文著重研究單幅圖像的超分辨率。超分辨率的算法主要有：插值法[4]，凸集投影法（projection onto convex sets， POCS）[5]以及最大后驗概率法（maximum a posterior， MAP）[6]等。 本文利用基于字典學習的稀疏表示理論，實現對星圖的超分辨率重建。首先利用原始星圖獲得通過學習得到的過完備字典，然后根據字典得到圖像的稀疏表示，并最終生成高分辨率的星圖。接下來，用平方加權質心法分別提取超分辨率星圖和原始星圖中星點質心的坐標，計算求得任意對應的兩顆觀測星的角距。最后，將這兩個角距的值與真實值作對比，從得到的結果上看，經過超分辨率處理的星圖所得到的星角距，更接近真實值，從而證明了該方法提高了質心細分的精度。

1 基于稀疏表示的圖像超分辨率重建

稀疏表示的基本思想是字典的選擇應盡可能的包含被表達信號所含有的信息結構，信號的稀疏分解即從超完備字典中選擇最佳的若干原子的線性組合來表示信號，實際上它是一種逼近過程。假設y∈Rn是原始圖像，D是L個n維單位長度向量dr的集合。即

因此圖像可以表示成：

其中矩陣D是過完備字典，di是D的一個原子。x=[x0，x1，…，xL]T是系數矩陣，b是殘余分量。稀疏表示問題即求出L×1的系數向量x，使y=Dx+b，且||x||0最小：

其中‖x‖0是l0范數，它表示向量x中不為0的元素的個數。然而，在實際的信號表示中，很少表示能有許多系數嚴格地等于零，因此用l0范數衡量稀疏性并不十分有效。特別是當信號中含有噪聲時，情況更是這樣。因此，如何求得最優解就成了一個NP問題。為此，Donoho等人提出BP（Basis Pursuit）算法[7]，用l1范數代替l0范數，有效地解決了NP問題；將（3）的約束項轉換為懲罰項，給定適合的懲罰因子μ（balances sparsity of the solution），可以得到求解（3）的等價問題：

其中懲罰因子μ是控制表示誤差和表示稀疏性權衡的正則化參數。

依照公式（4），在滿足最小均方差意義下采用逐個原子更新的方法通過迭代來更新字典。字典學習的過程可以融合到貝葉斯最大后驗（MAP）估計中，即假設字典D也是未知的，對于給定的圖像y，通過解決NP問題，求得稀疏表示的原子然后在得到的基礎上利用 K-SVD 算法[8]更新字典 D。

對于圖像的超分辨率重建，需要同時使用低分辨率圖像塊的字典Dl和高分辨率圖像塊的字典Dh。每個低分辨率的圖像塊li都可以通過上節的方法得到相對于Dl的稀疏表示，根據這些系數x，將相應的高分辨率圖像塊的基Dh進行組合，就可以得到高分辨率圖像塊h。因此求解l的稀疏表示問題可以由公式（5）給出，并且用l1范數代替l0范數：

其中F是特征提取算子。公式只是分別對單個的圖像塊進行處理，而如果對整個圖像進行超分辨率重建，則要考慮相鄰圖像塊間的匹配問題，根據one-pass方法[9]，得到如下的優化公式：

其中矩陣G提取當前目標圖像塊與前一步高分辨率重建的圖像塊的重疊區域，w表示前一步高分辨率重建圖像在重疊區域的估計值。公式（6）可以重新改寫為：

其中B表示模糊濾波器，S表示降采樣操作，L和H分別表示低分辨率圖像與高分辨率圖像。利用文獻[10]的方法，即可得到最終的超分辨率圖像：

2 星像點的質心細分與相機的標定

星圖預處理主要包括星圖去噪，星點提取和質心定位等步驟。為了降低星圖識別的冗余匹配，提高識別的準確率，需要對星點的質心進行更為精確的定位，即星點位置精度突破CCD探測器像素尺度，達到亞像素質心定位[11]。本文采用基于灰度的亞像素質心定位方法中的平方加權質心法，即設某個連通域中共包含n個像素點，每個點像素點的坐標和灰度分別為（ui，vi）（i=1，2，…，n）和 g（ui，vi），則該方法的亞像素質心為：

根據公式（10），可以得到星像點質心在相機CCD上的坐標，進而根據文獻[12]，利用三次多項式曲面擬合：

將星像點質心的坐標轉換為對應的恒星相對于CCD上的星光矢量假設導航星的赤經赤緯為（α，δ），根據導航星在慣性系中的星光矢量公式

3 實驗結果與數據分析

為了將星像點在CCD上的坐標轉換成對應的恒星相對于CCD上的星光矢量首先需要對三次多項式曲面擬合公式（11）進行系數標定。本文利用相機的實拍星圖進行標定，拍攝條件如表1所示。

表1 外場觀星拍攝條件Tab.1 The condition of star shooting in the wild

拍攝的星圖如圖1（a）所示，經虛擬天文館軟件Stellarium對比，找到對應的星空如圖1（b）。實拍星圖的星像點放大后如圖2（a）所示。從圖中可以看出，其像素化嚴重，會給質心的定位帶來較大的誤差。為了得到更高精度的星像點質心坐標，利用2.2節的理論及公式（9），對其進行超分辨率重建，即可得到如圖2（b）所示的星圖。將超分辨率處理后的星圖進行星像點提取，得到圖3中的40個星像點。

圖1 野外拍攝的星圖及其位置Fig.1 The star map shot in wild and the position in stellarium

從虛擬天文館軟件Stellarium中可以查得這些恒星的信息，并用公式（10）將星圖中的星像點提取出來，得到星像點在CCD上的坐標。則恒星的星號、赤經、赤緯以及對應的星像點在CCD上的坐標即如表2所示。

圖2 超分辨率重建前后的星圖對比Fig.2 The comparison between star map with and without super resolution reconstruction

圖3 提取出的40個星像點Fig.3 Stars extracted in the star map

根據公式（11）和（13），可以對相機進行標定，得到標定參數如表3所示。

根據以上得到的結果，以實拍星圖中編號分別為19和33的兩顆星為例，利用求角距公式

可以求得這兩顆星之間的角距為21.3700°，而未經過超分辨率重建的星圖，求得的角距值為21.3260°。經過Stellarium比對可知，編號19為金牛座畢宿五，赤經4h36m44s， 赤緯16°32′11″； 編號 33為獵戶座參宿四， 赤經5h55m56s，赤緯 7°24′31″，根據公式（12），其在慣性系中的星光矢量分別為 和，同理可求得畢宿五與參宿四的真實星角距為21.3874°，本文方法求得的角距值與真實值之間的誤差為1.0435′，而原始方法的誤差為3.6830′，可見本文方法精度提高了71.67%。為了驗證本方法精度提高的普遍性，本文計算了兩種方法的各1024個角距值，其角距值與真實值的誤差曲線如圖4（a）與圖4（b）所示。本文方法所計算的角距值誤差均在9′以內，優于傳統方法的15′以內。經計算，本文方法的平均絕對誤差為1.6048′，傳統方法的平均絕對誤差為2.2783′，提高了29.56%，并且本文計算的角距值標準差為2.268，優于傳統方法的標準差3.350。質心細分的精度得到了明顯的、可靠的提高。

4 結 論

文中首先針對星圖識別中的質心細分問題，分析了質心定位精度的重要性，并由此提出了基于超分辨率重建的星圖質心定位的新方法。首先對圖像的稀疏表示和超分辨率原理進行了詳細的闡述，并研究了求星角距的流程。本文采用外場實拍星圖的方式進行驗證，比前人的模擬星圖質心定位所得到的數據更加真實可靠。為了比較本方法與傳統方法所得到的星角距的精度，利用Stellarium軟件識別出實拍星圖中對應的真實恒星進行求解真實星角距。通過實驗數據對比，經超分辨率重建得到的星圖，所提取的星像點的角距誤差約為1.6′，比傳統方法提高了約30%，證明本文方法具有可行性和有效性。

表2 實拍星圖中提取出的恒星信息及其在CCD上的坐標Tab.2 The information and coordinate of CCD of stars extracted in star map

表3 標定系數Tab.3 Calibration coefficient

圖4 質心定位的誤差曲線Fig.4 Error curve of centroid location

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