基于SGA的約束非線性預測控制

燕凌春，翟春艷，李書臣，王國良

（遼寧石油化工大學 信息與控制工程學院，遼寧 撫順 113001）

在工業生產過程中，被控對象通常具有非線性、時變性和不確定性等特征，它無法避免嚴格的工業現場和生產條件所致的約束限制，諸如高低溫、高低壓、易燃易爆和毒害性；用常規的基于線性模型的預測控制方法已經不能達到對約束非線性系統的優化控制，因而約束非線性預測控制算法應運而生。30多年來，非線性預測控制在復雜工業過程中所取得的成功，已充分顯示出其處理復雜約束優化控制問題的巨大潛力[1]；非線性預測控制方法在學術界和工業應用領域都取得了很大的進展，尤其在工業過程控制方面成為一種重要的先進控制方法[2]。目前，約束非線性預測控制算法總體上分為模型預測控制法、線性化方法和基于智能算法3種方法。模型預測控制法是利用Volterra、Hammerstein等特殊模型作為非線性預測控制的預測模型解決系統約束及優化問題，文獻[3-4]對此做了具體分析；線性化方法是研究非線性系統的常規方法，是將非線性系統線性化，然后對線性的模型采用預測控制算法實現對被控對象的控制，文獻[5]采用此種方法求得穩定的控制律；基于智能算法是將遺傳算法、微粒子群算法等智能算法與預測控制算法相結合，解決系統的約束問題以及對控制量進行尋優，文獻[6-9]均采用此種方法實現了對被控對象的良好控制。

本文在研究上述非線性預測控制算法的基礎上提出了一種基于SGA的約束非線性預測控制器優化求解策略。SGA是一種用于全局優化搜索的迭代算法，它具有優良的全局搜索能力，能夠有效的處理帶約束的優化問題，因此本文將SGA算法引入到預測控制的滾動優化中求取最優控制量。

1 問題描述

考慮離散時間非線性系統的狀態空間描述為：

其中，x(k)∈Rn，u(k)∈R為k時刻系統的狀態和輸入，f(…)∈Rn為已知的非線性向量函數。

在實際控制中，該系統存在以下約束：

假設，f(0,0)=0在k時刻，通過系統(1)和預測控制輸入序列u(k+i-1/k)(k=1,2,…,M)來預測未來M步內的系統狀態x(k+j/k)j=1,2,…,M，M為控制時域，則目標函數如下：

其中Q和R為正定的狀態和輸入加權矩陣。

非線性預測控制器的基本思想是在滿足約束條件(2)下，根據系統模型(1)和控制輸入序列u(k+i-1/k)(k=1,2,…,M)使目標函數(3)達到最小，得到最優控制序列u(k+i-1/k)(k=1,2,…,M)；采用最優控制序列的首個元素作為當前時刻的控制輸入并作用于系統，在k+1時刻再次進行采樣、預測、優化。

2 基于SGA的約束預測控制算法

非線性預測控制滾動優化的目的是解決存在約束的非線性方程，在任意采樣時刻都必須求得對性能指標的全局最優解。由于遺傳算法具有優良的全局搜索能力，本文采用標準遺傳算法SGA實現在有限時域內對控制序列的尋優，設控制時域為M，則相當于待優化目標函數為M維。

用標準遺傳算法尋優這一過程是在線滾動進行的，基于SGA滾動優化的非線性預測控制結構如圖1所示。

圖1 基于SGA滾動優化的約束非線性預測控制結構圖Fig.1 Constrained nonlinear predictive control based on SGA rolling optimization structure

2.1 種群初始化

遺傳算法在尋優過程中，必須充分考慮非線性預測控制中的約束，以避免在尋優階段出現不滿足約束的個體。因此本文在遺傳算法初始種群產生階段采用搜索空間限定法，從滿足非線性預測控制的約束空間中產生初始種群，保證算法在合法的約束空間中尋取最優控制序列。

2.2 適應度選取

選取目標函數(3)作為遺傳算法的適應度函數，狀態變量的預測值為：

2.3 編碼

采用二進制編碼方法對變量進行編碼，根據約束條件確定編碼串的長度。GA將控制增量Δu轉換為位數為m的二進制碼，則能夠產生2m種不同的編碼，設控制時域為M，則編碼字串的總長為M×m，編碼形式如圖2所示。

設 Δu 在[Δumin,Δumax]范圍內取值，定義對應字串為 q，則其編碼關系如下所示：

圖2 遺傳算法編碼形式圖Fig.2 Genetic algoritm encoding figure

式中，decimal(q)是對某個個體的解碼，假設個體x的編碼是bmbm-1bm-2…b2b1，則對應的解碼為

2.4 選擇操作

選擇操作是以一定的概率從舊群體中選擇適應度較高的個體，組成新的種群，為下一步個體進行交叉或變異運算做準備，適應度越高的個體被選擇的可能性越大。

2.5 遺傳算子的選取

交叉概率Pc、變異概率Pm對遺傳算法的搜索效率和性能有重大影響。Pc選的大可增加交叉的次數利于引進新個體，但也可能會破壞高性能的個體，影響收斂性；Pc過小，將會導致過早收斂，很小的Pm可以使變異作為交叉的補充；Pm若過大則變成本質的隨機搜索了。本文采用如下自適應交叉算子和自適應變異算子[10-11]：

上式中，GHη為匹配對中兩個個體間的廣義海明距離；為所有匹配個體之間的平均廣義海明距離；α是常數，取值范圍是0.2~0.8；fmax為交換前所有個體的最大適應度；為平均適應度；β為常數，一般取值0.005。

2.6 算法中對約束的處理

而對于約束預測控制，一般解決其約束的方法描述如下：

令：

則：

把優化問題轉換為求解不等式約束的最小方差問題：

本文對于約束預測控制的處理方法如下：

1)軟約束作為性能指標。所有超出約束的控制行為會受到懲罰，比如作為控制增量存在的飽和約束問題。

2)搜索空間限定法。遺傳算法編碼階段，所有超出約束范圍的控制行為將不被編碼；算法初始種群產生階段，在滿足預測控制的約束空間中產生種群個體；在算法交叉、變異操作階段采用自適應操作算子，從滿足約束條件的父代中產生合法子代，使搜索始終在滿足約束條件的空間中進行。這種方法的應用依賴約束條件的類型。由于解空間的減少，降低了計算的復雜性。

2.7 遺傳算法優化實現步驟

在采樣時刻k，SGA算法在線優化的步驟如下：

1)在滿足過程的約束條件下，對以式(3)為目標函數的控制序列{Δu(k+j-1)}進行尋優，尋優過程如下：

①在滿足約束條件下隨機產生初始種群(即p個控制增量序列)，設置代數N=0；

②將種群中每個個體作用于預測模型計算輸出矢量yp；

③以式(3)計算每個個體適應值；

④應用選擇、交叉、變異算子產生新一代種群，N=N+1；

⑤重復2)、3)、4)，直到 N達到預定的代數。

2)將適應值最大的個體作為最優控制量投入控制；

3)在下個采樣周期，重復步驟1)。

3 仿真結果

本文將分別采用約束廣義預測控制方法和基于SGA的約束非線性預測控制方法對控制序列進行尋優。選取預測控制模型參數：預測步長M=4，控制步長L=3，誤差權系數=1，控制權系數=500，柔化因子=0.5，控制增量取值范圍為[-1，1]，種群規模為 50，交叉概率 0.7，變異概率 0.1，仿真結果如下：

采用兩種方法求得的仿真曲線如圖3、圖4所示。圖中，曲線1為采用約束廣義預測控制算法得到的仿真曲線，曲線2為采用基于SGA的約束預測控制算法得到的仿真曲線。

針對約束非線性系統，本文以Hammerstein模型描述的熱交換器為仿真實例。Hammerstein非線性系統可看作是無記憶非線性增益和線性系統的組合，用一個非線性增益來反映過程的非線性特性，從而達到控制目的。它可用于描述熱交換，聚合物牌號切換等非線性化工過程[12-13]。

經過參數辨識，該交換器可用如下Hammerstein模型來描述[14]：

圖3 系統輸出量仿真曲線Fig.3 Output simulation curve of the system

圖4 系統控制增量變化仿真曲線Fig.4 The simulation curve of the system control incremental change

4 結論

由圖可見，使用基于SGA的約束非線性預測控制算法求取最優控制量策略，系統預測輸出可以較好的跟蹤系統[15-16]輸入，且控制增量的變化趨勢波動較小，變化較為平穩。仿真驗證了基于SGA的約束非線性預測控制算法優化控制量求解策略的有效性。

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