例談數學應用問題的建模

顧燕萍

全日制義務教育《數學課程標準》（2011版）在課程目標中指出：“通過義務教育階段的數學學習，學生能夠初步學會從數學的角度發現問題和提出問題，綜合運用數學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力。”近年來，各地中考命題圍繞這一目標進行了積極的探索，貼近社會實際、貼近學生生活，體現時代需求，反映市場經濟等應用問題如雨后春筍般涌現出來。

解數學應用問題的關鍵是對問題原始形態的分析、聯想、抽象、將實際問題轉化為一個數學問題，即構建數學模型。利用數學建模解數學應用題對于多角度、多層次、多側面思考問題，培養學生發散思維能力是很有益的，是進行素質教育的一條有效途徑。數學學習不僅要重視數學基礎知識、基本技能、思維能力、運算能力等方面的訓練，而且要重視在應用數學分析和解決實際問題的能力方面進行訓練和提高，要讓學生學會提出問題，能夠運用已有的知識進行交流，并將實際問題抽象為數學問題，建立數學模型，從而形成比較完整的數學知識結構。

一、構建方程模型

這類問題一般要通過列方程式或方程組求解，首先要明白題意，找出已知量和未知量，并分析各量之間的關系，在此基礎上尋找相等的數量關系列出方程式或方程組。必須注意，在求得方程的解之后，要根據應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理。一要檢驗所求出的解是否為所列方程的解;二要檢驗方程是否符合應用題的題意，最終寫出答案。

例1：有一個允許單向通過的窄道口，通常情況下，每分鐘可以通過9人.一天，王老師到達道口時，發現由于擁擠，每分鐘只能3人通過道口，此時，自己前面還有36人等待通過（假定先到的先過，王老師過道口的時間忽略不計），通過道口后，還需7分鐘到達學校.此時，若繞道而行，需要15分鐘到達學校，從節省時間考慮，王老師應選擇繞道去學校，還是選擇通過擁擠的道口去學校？若在王老師等人的維持下，幾分鐘后，秩序恢復正常（維持秩序期間，每分鐘仍有3人通過），結果王老師比擁擠的情況下提前了6分鐘通過道口，問維持秩序的時間是多少分鐘？

解：（1）因為36+7=19>15，所以王老師應選擇繞道而行去學校.

（2）設維持秩序的時間為t分鐘，則

36-（t+36-3t） =6， 解得t=3

二、構建不等式模型

現實生活中普遍存在著一些量之間的不等關系，應注意相關信息的聯想、發現、探索及歸納總結，能有效的考查學生的閱讀能力、探索能力和建模能力，培養學生的數學思想和實際應用能力，一般當問題中出現“未超過”、“最多”、“至少”等關鍵詞，可考慮建立不等式的數學模型解之。

例2：《中華人民共和國個人所得稅法》規定，公民全月工資、薪金所得不超過800元的部分不必納稅，超過800元的部分為全月應納稅所得額，此項稅款按下表分段累進計算：

某人1月份應繳納稅款80元，求他當月工資是多少元？

如果某單位共有50人，某月繳納稅款3080元，且每人的當月的工資都在超過800元而不超過2000元之間，求當月工資不超過1300元的職工最多可能有多少？

解：（1）設他當月工資為x元則，500×5%+（x-1300）×10%=80，解得x=1850（元）

答：他當月工資為1850元.

（2）設當月工資不超過1300元的職工為y人，則當月工資超過1300元，但未超過2000元的職工為（50-y）人，根據題意得50×500×5%+（2000-1300）（50-y）×10%≥3080-70y≥1670， y≤23 6 ，

所以y的最大整數解是y=23

答：當月工資不超過1300元的職工最多為23人.

三、構建函數模型

現實中普遍存在最優化問題，常可歸結為函數最值問題，通過建立相應的目標函數，確定變量的限制條件，運用函數知識和方法去解決，這也是近年來中考命題的一個熱點，這要求我們在教學中要切實重視最值問題的探究。

例3：某校九年級（1）班共有學生50人，據統計原來每人每年用于購買飲料的平均支出是a元.經測算和市場調查，若該班學生集體改飲某品牌的桶裝純凈水，則年總費用由兩部分組成，一部分是購買純凈水的費用，另一部分是其他費用780元，其中，純凈水的銷售價x（元/桶）與年購買總量y（桶）之間滿足如圖所示關系.

（1）求y與x的函數關系式;

（2）若該班每年需要純凈水380桶，且a為120時，請你根據提供的信息分析一下：該班學生集體改飲桶裝純凈水與個人買飲料，哪一種花錢更少？

（3）當a至少為多少時， 該班學生集體改飲桶裝純凈水一定合算？

解：（1）設y=kx+b，∵x=4時，y=400;x=5時，y=320.

∴ ? ? ? ? ? ?解之，得

∴y與x的函數關系式為 ? ? ? ? ? ? ? .

該班學生買飲料每年總費用為50×120=6000（元），

當y=380時，380=-80x+720， 得x=4.25，該班學生集體飲用桶裝純凈水的每年總費用為380×4.25+780=2395（元），顯然，從經濟上看飲用桶裝純凈水花錢少.

（3）設該班每年購買純凈水的費用為W元，則

W=xy=x（-80x+720）=-80（x-4.5）2+1620

∴當 x=4.5時， Wmax=1620

要使飲用桶裝純凈水對學生一定合算，則50a≥Wmax+780，即50a≥1620+780解之，得a≥480.所以a至少為48元時班級飲用桶裝純凈水對學生一定合算。

四、構建幾何圖形模型

現實生活中，航行、建橋、測量、人造衛星等涉及一定圖形屬性的應用問題，常構建幾何圖形，利用幾何圖形的性質，用方程、不等式或三角函數知識來解答。

例4：青海玉樹地震發生后，一支專業搜救隊驅車前往災區救援.如圖，汽車在一條南北走向的公路上向北行駛，當在 處時，車載GPS（全球衛星定位系統）顯示村莊在北偏西26°方向，汽車以35km/h的速度前行2h到達B處，GPS顯示村莊 在北偏西52。方向.

（1）求B處到村莊C的距離;

（2）求村莊C到該公路的距離.（結果精確到0.1km）

（參考數據： ? ? ? ? ? ? ， ? ? ? ? ? ?，

， ? ? ? ? ? ? ）

解：過C作 ? ? ? ?，交AB于D.

（1） ? ? ? ? ? ， ? ? ? ?，

， ? ? ? ? ?，

即B處到村莊C的距離為70km.

（2）在 ? ? ? ?中，

即村莊C到該公路的距離約為55.2km.

數學模型是數學知識與數學應用的橋梁，研究和學習數學模型，能幫助學生探索數學的應用，產生對數學學習的興趣，培養學生的創新意識和實踐能力，加強數學建模教學與學習對學生的智力開發具有深遠的意義。只要教師在教學中能根據當地及學生的實際，使數學知識與生活、生產實際聯系起來，就能增強學生應用數學模型解決實際問題的意識，從而提高學生的創新意識與實踐能力。

總之，解答數學應用問題，應將其轉化為數學語言，脫去其“應用”的神秘外衣，還其數學問題的真面目。根據實際問題的數學模型，用數學知識、思想、方法去解答，最后對數學結果進行解析，并作出準確的判斷后返回到實際問題中去。