GM（1，1）正弦模型修補氣溫監測缺失數據的探討

郭贊洪，唐其環

（西南技術工程研究所，重慶 400039）

環境條件對裝備的使用或長期放置有重要的影響，文獻[1—5]介紹了不同環境條件對于裝備器械的影響，因此，了解環境的各性質很重要。其中，溫度是氣象站或者相關試驗站所要監測的一個基本氣象因素。由于在監測過程中，儀器的突然損壞、采集數據記錄時突然出錯等原因，會造成某段時間溫度數據的缺失，如何對這部分數據進行修補至關重要。同時，環境溫度受到各種自然環境因素的影響，溫度變化難以預測，但是對于大部分天氣沒有突然轉變的情況，溫度變化是具有一定的規律性的。文中將對具有規律性的溫度數據進行缺失修補研究分析。文靜等人[6]研究了人工監測數據和自動站監測數據的相互填補，但隨著信息自動化，人工檢測將被完全取代。灰色系統法[7—9]中的GM（1，1）模型法近些年在許多領域中常用于缺失數據修補[7—9]，而且是灰色系統法中應用最多的方法[10]。

GM（1，1）標準模型法適合于具有指數型性質增加或減小的數據[11—14]，而不是所有的數據都恰好滿足這樣的要求。因此，不同領域的學者們對GM（1，1）標準模型進行改進，以適用于該領域數據變化情況[15—21]。Zou Lihua[22]、倪凱[23]和彭濤[24]分別在振動數據、量測數據和軟基沉量數據方面采用將GM（1，1）模型進行研究改進，結果可知，針對不同數據變化規律將GM（1，1）模型進行改進后，預測效果得到了較大的提高。唐五湘等人[25—26]提出的時序修正法改進后的GM（1，1）模型即GM（1，1）時序修正模型，對于某些時序數據的預測具有一定的改進。文中研究的對象是大氣溫度數據，根據大氣溫度數據的變化情況，提出了以正弦函數對GM（1，1）標準模型進行改進，得到GM（1，1）正弦修正模型，對大氣溫度數據具有較好的預測修補作用。

文中將以萬寧試驗站監測的溫度數據作為原始數據，采用GM（1，1）正弦修正模型與GM（1，1）時序修正模型以及GM（1，1）標準模型進行缺失修補對比分析研究。

1 數學模型

1.1 GM（1，1）標準模型

根據GM（1，1）標準模型法的建模過程要求，對原始數據X（0）數據進行一次累加生成得到X（1），如下：

作一次累加公式為：

建立X（1）如下的白化微分方程為：

式（2）中的a和u為待求參數，記參數列為：

解出白化微分方程的解為：

式（4）即為通過原始數據建立起來的GM（1，1）模型。

1.2 GM（1，1）時序修正模型

根據唐五湘[25]提出的時序修正法對GM（1，1）模型進行改進。該文提出GM（1，1）標準模型已經確定了參數a和b，在模型中只剩下參數t，最終的預測精度就只和參數t相關，因而該作者討論了輸入變量t的GM（1，1）模型。該模型的建立過程如下：

將式（9）代入式（7）得到：

式（10）即為GM（1，1）時序修正模型。

1.3 GM（1，1）正弦修正模型

根據大氣溫度的類似周期變化性質，每天的溫度變化類似于正弦函數的變化規律。文中提出了以正弦函數sin x修正GM（1，1）標準模型后的GM（1，1）正弦修正模型。并且將GM（1，1）模型中的t以24 h的整點時間帶入，即t∈（1，2，…，24），經過試驗帶入，過程如下。

標準模型為：

經檢驗后，模型建模部分采用標準模型建模，預測部分采用改進5建模。因為標準模型和改進5模型分段使用時具有較好的擬合性，對該類溫度數據具有較好的適應性。故GM（1，1）正弦修正模型為：

其中n為建模時的原始數據個數。

2 實例應用

文中以萬寧試驗站所監測的溫度數據為基礎，對以上模型進行檢驗。該試驗站9月份的連續小時溫度數據見表1。根據表1的原始數據建立相應模型。

2.1 GM（1，1）模型建立

用前9個數據作為原始數據建立GM（1，1）模型。

表1 萬寧試驗站9月份的某天的24 h溫度數據Table 1 24 hour temperature data in Wanning test station on one day in September

2.2 GM（1，1）標準模型

根據表1、式（3）和式（4），建立GM（1，1）標準模型為：將?t帶入式（9）和式（10）中，得到GM（1，1）時序修正模型，即為：

2.3 GM（1，1）時序修正模型

根據式（8）可以求出具體數值，見表2。

2.4 GM（1，1）正弦修正模型

根據原始數據和式（11），可以求出GM（1，1）正弦修正模型為：

表2 ?t的計算值Table 2 The calculated values of?t

3 結果分析

分別對式（12），（13）和（14）進行計算，對結果進行精度檢驗，得到絕對誤差和相對誤差精度檢驗。見表3。（預測精度=1-相對誤差）

分析表3數據可知，從模型的擬合情況分析，GM（1，1）正弦修正模型與GM（1，1）標準模型具有相同的擬合平均誤差（和平均相對誤差），平均絕對誤差只有0.2，平均相對誤差也僅0.60%，具有與原始數據相當好的擬合效果。GM（1，1）時序修正模型的擬合平均絕對誤差為0.6，平均相對誤差為2.29%，雖然略大于另外兩種，但擬合效果也不錯。預測值的準確性的程度才是我們最關心的，GM（1，1）標準模型的預測平均絕對誤差為6.7，平均相對誤差為22.54%；GM（1，1）時序修正模型的預測平均絕對誤差為5.3，平均相對誤差為17.70%；GM（1，1）正弦修正模型的預測平均絕對誤差為0.9，平均相對誤差為3.14%。無論是從平均絕對誤差還是相對誤差來分析，GM（1，1）正弦修正模型相較于GM（1，1）標準模型和GM（1，1）時序修正模型有了很大的改進，預測的準確性得到了很大的提高。GM（1，1）標準模型的預測值的誤差基本都超過了20%，GM（1，1）時序修正模型的預測誤差也超過17%，而GM（1，1）正弦修正模型的預測誤差絕大部分未超過6%，非常好地預測了原始值。

GM（1，1）標準模型、GM（1，1）時序修正模型、GM（1，1）正弦修正模型與原始數據的圖形對比如圖1所示，從模型的擬合分析來看，前9個點為模型擬合，GM（1，1）標準模型和GM（1，1）正弦修正模型的擬合很好，GM（1，1）時序修正模型的擬合相對較差一些。從預測部分看，GM（1，1）正弦修正模型從趨勢和數值上很好地貼近原始數據的變化情況，而GM（1，1）標準模型和GM（1，1）時序修正模型則與原始數據相差太多，也未能符合原始數據的變化趨勢，數值上也相差太多，所以，GM（1，1）正弦修正模型的預測效果遠高于另外兩種模型。因而，無論從模型擬合還是預測效果上，GM（1，1）正弦修正模型都比另外兩種好很多，GM（1，1）正弦修正模型的預測值反應出了原始數據的變化規律，很好地預測了缺失數據。

圖1 GM（1，1）標準模型、時序修正模型及正弦修正模型預測值與原始值比較Fig.1 Comparison of the predicted and original values of the GM(1,1)standard model,GM(1,1)timing corrected model and GM(1,1)sinusoidal model

總的來說，GM（1，1）標準模型的預測效果很差；GM（1，1）時序修正模型的預測效果雖然有一定的提高，但效果也不好；而GM（1，1）正弦修正模型預測效果高于前兩種模型，很好地反映出了原始數據的變化規律，擬合很好。

表3 三種模型的誤差及其精度計算結果Table 3 The error and precision calculation results of the three kinds of models

4 結語

文中通過GM（1，1）正弦修正模型與GM（1，1）標準模型和GM（1，1）時序修正模型對環境溫度數據進行建模預測，GM（1，1）正弦修正模型對比GM（1，1）標準模型和GM（1，1）時序修正模型有了很大的改進，且預測值很好地符合了原始數據的變化規律，預測精度較另外兩種模型提高了很多，具有較高的預測精度。由于分析數據具有一定的局限性，該模型有待進一步研究。

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