不規則曲線擬合質量評定方法的改進

范玉茹，師 巖，張幼群，徐 棟

（1.61206 部隊， 北京 100042）

不規則曲線擬合質量評定方法的改進

范玉茹1，師 巖1，張幼群1，徐 棟1

（1.61206 部隊， 北京 100042）

不規則曲線擬合時，需要按最優原則依據曲線的形狀來選擇擬合函數，構造函數模型。給定數據點的多少以及數據的擬合方向對曲線擬合也會產生影響，因此需要對曲線進行最佳的擬合。衡量曲線擬合模型誤差的精度時，要求觀測數據的方差相同且觀測數據的協方差為零，這與一般的實際情況不符。因此，在曲線最佳擬合的基礎上，對評定曲線擬合精度的質量標準方法進行了改進，從不規則曲線擬合的精度及形狀2個方面進行了評價。

不規則曲線；質量評定；協方差；最佳擬合

矢量地圖數據采集無論直接方法還是間接方法，都面臨曲線的處理。常見的有等高線、水系、曲線道路等不規則形狀的表示。由于直接方法或間接方法所采集的數據都只能是曲線的有限點，因此，對曲線的處理有插值和擬合2種方法，前者是將采集數據當作無誤差處理，后者則是將采集的數據看作含有誤差。對于測量工作而言，只要是數據測量，就一定存在誤差，因此，對曲線數據的處理常采用擬合的方法。在曲線擬合時，選擇函數模型比較關鍵。選用擬合函數不同，會產生不同的擬合效果，因此需要按最優原則依據曲線的形狀來選擇擬合函數，構造函數模型。除此之外，給定數據點的多少對曲線擬合也會產生影響。曲線擬合的誤差分為曲線模型誤差和曲線擬合的偶然誤差2個部分。對曲線進行最佳擬合的原則是綜合考慮系統誤差和偶然誤差的聯合影響，將模型誤差和數據誤差對曲線擬合的影響減小到最小。對矢量地圖數據擬合曲線的精度評定，不僅要考慮已知數據的偶然誤差，而且要考慮擬合曲線的模型誤差，應該將兩者結合起來完整地去評價擬合曲線的質量。在文獻[1]中，藍悅明采用最小二乘擬合曲線，綜合考慮曲線擬合的兩種誤差影響，采用均方誤差MSE（δ）來衡量曲線擬合模型的精度，對各擬合方程的均方誤差進行比較，MSE（δ）最小的即為最佳曲線擬合方程。

式中，X、Y為擬合曲線的縱橫坐標；β為擬合曲線參數；ε為擬合的模型誤差；Δ為擬合數據Y的偶然誤差，且E（Δ）=0；n為擬合曲線的觀測個數；t為擬合曲線的參數個數；σ2為觀測數據方差；I為單位矩陣。

但是，使用MSE（δ）來衡量曲線擬合模型誤差的精度時，要求觀測數據的方差相同且觀測數據的協方差為零，這與一般的實際情況不符。因此，需要對評定曲線擬合精度的質量標準進行探討。

1 不規則曲線的最佳擬合

由于最小二乘估計具有無偏性、一致性和有效性，目前曲線擬合的方法多采用最小二乘擬合法，擬合方向一般選用X方向，將Y方向作為真值，使殘差的平方和最小，即

式中，X、Y為觀測點的值；a為曲線待定參數。

實際上，無論是x坐標還是y坐標都為觀測值，均含有偶然誤差，當采集的數據在擬合方向發生劇烈變化時如圖1第4、5、6點，在選用的某一定方向擬合是值得探討的[2,3]。

圖 1 2種方式的曲線擬合

最佳地擬合各觀測點的估計曲線，應使各觀測點到估計曲線的正交距離殘差平方和最小，如圖1b所示，用式子表示即

取坐標xi和待求參數a為未知數，令

則：

方程中的觀測個數為2m，未知數個數為m+n+1，其矩陣表達式為：

式（8）中，I為單位矩陣，B為m階對角矩陣，表示為：

按式（4），采用參數平差得：

單位權中誤差為：

2 曲線擬合評定的改進

由已知點數據來擬合曲線其形狀位置是不確定的，如圖2所示。給定點本身的位置誤差可以根據點的方差-協方差來定量地描述，但是，對于曲線模型的不確定性，通常難以定量化描述，因為根據已知點能構成的曲線很多，只能在一定的范圍內給其不確定性[4,5]。

圖 2 數據擬合的不確定性

在曲線擬合時，對于給定的2點間最大偏差h，可以由給定的2點間長度S和擬合曲線方程來確定，如圖3所示。當選擇不同的擬合函數模型時，將會得到不同的值。

圖 3 曲線擬合2點間長度s和最大偏差h

對于曲線擬合的原始離散點，它們均含有一定的測量誤差，如圖4所示。實線為真實曲線，虛線為擬合曲線，顯然h1為離散點擬合曲線的最大誤差。對于原始曲線，h1是固定的，可以采用不同的擬合模型來擬合曲線，擬合后的h^1與原始曲線的h1存在偏差通過多次擬合試驗可得，Δ h1可反映出點M1的擬合誤差，依次可以采用整條曲線的來衡量擬合曲線的精度。

圖 4 曲線擬合誤差

由于擬合曲線時，是采用曲線上的特征點來擬合的，特征點在一定程度上代表了曲線的形狀，也是曲線精簡的過程。特征點的提取可參見文獻[6]，在上一級特征點提取后，兩相鄰特征點之間的曲線段上距這2個相鄰特征點間直線偏差最大的點，如圖5所示，由此可通過計算特征點的h值來替代真實曲線上的h值。圖5中點（xi，yi）到點（xi-1，yi-1）和點（xi+1，yi+1）所連直線的垂直距離為[6]：

圖 5 除端點外的離散數據h值

3 實例分析

采用文獻[1]的擬合數據，同一幅圖上取一組數字化點，其數字化精度為σ=0．3 mm，數據見表1。分別按式（12）～（14）擬合，擬合結果如圖6所示，擬合精度見表2。

表 1 數字化的X、Y坐標值/mm

表 2 數據擬合比較

由表2可以看出，對于第二組數據不管采用哪種方法，四次多項式擬合的效果比較好。采用正交最小二乘，在擬合精度和擬合效果上都優于在y方向的最小二乘擬合。

圖 6 數據擬合效果圖

4 結 語

1）自變量誤差較小時，可以忽略自變量誤差，對擬合參數的影響較小，采用普通最小二乘法計算簡單實用。如果自變量誤差較大，忽略自變量的誤差就會影響參數的大小，此時應該顧及自變量的誤差。

2）正交距離曲線擬合，同時顧及了因變量和自變量的誤差，以正交距離的殘差平方和最小為原則，擬合結果從整體意義上保持最佳，從幾何意義上，其曲線擬合更合理，改進了普通最小二乘使擬合曲線沿一個方向與實際曲線逼近的效果。

（ ）參考文獻

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[2] CLesort N C．Statistical Efficiency of Curve Fitting Algorithoms [J]．Computational Statistics＆Data Analysis,2004 (47):713-728

[3] 丁克良，鷗吉坤，趙春梅．正交最小二乘曲線擬合法[J]．測繪科學,2007(5):18-20

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[5] 許谷聲，童小華．一種GIS中不規則曲線數字化的精度評定方法[J]．同濟大學學報，2002(11) :1 361-1 364

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P208

B

1672-4623（2015）02-0134-03

10.3969/j.issn.1672-4623.2015.02.047

范玉茹，博士，工程師，主要研究方向為GIS數據質量控制與評價。

2014-04-17。

項目來源：國家自然科學基金資助項目（41274016）。