動態灰色預測模型在變形監測中的應用

熊文全，黃張裕，胡家興

（1.國家測繪地理信息局 重慶測繪院，重慶 400015；2.河海大學 地球科學與工程學院，江蘇 南京 210098）

動態灰色預測模型在變形監測中的應用

熊文全1，黃張裕2，胡家興1

（1.國家測繪地理信息局 重慶測繪院，重慶 400015；2.河海大學 地球科學與工程學院，江蘇 南京 210098）

在分析灰色模型的基礎上，研究了灰數遞補和新陳代謝2種動態灰色模型，并結合工程實例分析驗證動態灰色模型的應用。2種模型的預測精度表明，動態灰色模型理論正確，精度合格，完全能夠滿足工程需要。

變形監測；動態灰色模型；GM(1,1)；預測

1 動態灰色模型的建立

1.1 灰色預測模型

灰色預測模型是具有部分差分、部分微分性質的模型，在關系、性質和內涵上具有不確定性[1,2]。具有研究價值的有一階多元預測模型GM（1，N）和一階一元預測模型GM（1，1）。實際中應用中，較多采用GM（1，1）模型，而GM（1，N）模型一般不用于預測[3]。

GM（1，1）模型是通過原始數據序列的一次累加生成數據序列所建立的，設非負離散數列為：

式中，n為序列長度。對x(0)進行一次累加生成，即可得到一個生成序列：

對此生成序列建立一階微分方程：

記為GM（1，1）模型。式中，a和u是灰參數，其白化值（灰區間中的一個可能值）a^=[a u]用最小二乘法求解，得：

式中，a為發展系數[2]，其中，

則模型還原值為：

由GM（1，1）模型得到：

計算殘差：

記原始數列x(0)及殘差數列e的方差分別為S12、S2

2，則：

模型精度等級判別式為：模型精度等級= max{P所在的級別，C所在的級別}。各類精度等級見表1。

表1 灰色模型擬合精度檢驗

解算出發展系數a后，可以根據a的大小確定模型的適用范圍。模型的適用范圍見表2。

表2 灰色模型的適用范圍

1.2 動態灰色模型

動態灰色模型主要包括灰數遞補模型和新陳代謝模型。對灰色序列x(0)={x(0)(1)，x(0)(2)，x(0)(3)，…，x(0)(n)}，進行一次累加（AGO）生成x(0)后建立GM（1,1）模型，可得到n+1時刻預測值x(0)（n+1）。然后將x(0)序列中的x(0)（1）舍去，加入x(0)（n+1），重新構成灰色序列x1(0)={x(0)(2)，x(0)(3)，…，x(0)(n+1)}，重新建立GM（1,1）模型，重新預測新值。依次循環，此種模型中加入的新信息來自模型預測，稱為灰數遞補動態預測模型[4,5]。另一種模型同樣可按上述方法建立動態預測模型，但是加入的是真實的信息，稱之為新陳代謝灰色預測模型[6,7]。

從預測角度可以看出，以上兩種模型相對于原始的GM（1,1）模型有了改進，隨著系統的發展，老數據的信息意義將逐步降低，被新信息取代，不斷更新的數據會降低模型的灰度，模型更能反映系統當前的特征。此外，不斷更新數據，去除老數據，還可以避免隨著信息增加，建模運算量增大的弊端。

2 動態GM（1,1）模型應用及分析

本文引用廣州地鐵臨大馬站商業中心路段某一時期的變形監測數據[8,9]。監測數據的采樣周期為1 d，選取序列長度為8，預測步長為4，構造原始灰色序列。分別建立灰數遞補和新陳代謝2種動態灰色預測模型進行4 d內預測，并與實際觀測數據進行比較。模型計算結果見表3、表4。

表3 動態灰數遞補預測模型計算結果/m

表4 新陳代謝灰色預測模型計算結果/m

由于第1天的模擬預測值是相同的，所以在以下結論中都不包含第1 天的預測數據。分析表3、表4、表5可以得到以下結論：

1）對于平均預測誤差，灰數遞補模型為8．5 mm，新陳代謝模型為6．5 mm；對于最大預測誤差，灰數遞補模型為30．1 mm，新陳代謝模型為25．3 mm，見圖1。從表5可以看出，灰數遞補模型的后驗差C大于新陳代謝模型。另外，灰數遞補模型的小誤差概率P小于新陳代謝模型。

圖1 2種模型殘差分析比較

表5 2種預測模型的精度對比

2）對比分析預測殘差可以發現，預測殘差隨著步長的增加而增大，從而精度降低。因為對于灰色模型而言，預測時間越長，一些未知的干擾因素將不斷進入模型而對模型預測產生影響，從而影響模型精度。

3）灰數遞補模型的平均發展系數a為-0．031 7，而新陳代謝模型的平均發展系數a為-0．028 5，根據a的數值分析得出，新陳代謝模型可以用于中長期預測，而灰數遞補模型可以用于短期預測，在中長期預測中使用需慎重。

3 結 語

對于動態灰色模型，新陳代謝模型的精度高于灰數遞補模型，并且預測適用范圍也稍大，這與現實情況相符。因為灰數遞補模型加入的是預測的模擬數據，而新陳代謝模型使用的是實測數據，本文中灰數遞補預測模型的精度為二級，而新陳代謝模型的預測精度可達到一級。這2種模型的預測精度表明，動態灰色模型理論正確，精度合格，完全能夠滿足工程需要，充分證實了動態灰色模型在變形監測預測中應用的可行性和有效性。

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1672-4623（2015）02-0137-03

10.3969/j.issn.1672-4623.2015.02.048

熊文全，高級工程師，主要從事控制測量、礦山測量、工程測量、變形監測及其應用開發。

2014-12-12。