灰色GM（1，1）與Kalman濾波模型用于變形預(yù)測的比較分析

韓亞坤，周 呂，陳冠宇，袁明月

（1.桂林理工大學(xué) 測繪地理信息學(xué)院，廣西 桂林 541006；2.廣西空間信息與測繪重點實驗室，廣西 桂林 541006）

灰色GM（1，1）與Kalman濾波模型用于變形預(yù)測的比較分析

韓亞坤1,2，周 呂1,2，陳冠宇1,2，袁明月1,2

（1.桂林理工大學(xué) 測繪地理信息學(xué)院，廣西 桂林 541006；2.廣西空間信息與測繪重點實驗室，廣西 桂林 541006）

通過運用灰色GM（1，1）和Kalman濾波模型分別對某高層建筑物的沉降變形趨勢進(jìn)行分析，得出灰色GM（1，1）適用于短期且變形趨勢呈線性變化的變形分析與預(yù)測，而Kalman濾波模型不僅適用于短期預(yù)測，對于長周期預(yù)測也有較高的精度。因此，在觀測周期較短時，灰色GM（1，1）和Kalman濾波模型對線性變化的高層建筑物都有較高的預(yù)測精度，但是對于較長周期的觀測，Kalman濾波模型預(yù)測的精度和可靠性要高于灰色GM（1，1）模型。

GM（1，1）；Kalman濾波；建筑物沉降；變形分析

為了確保高層建筑物的穩(wěn)定性，在高層建筑物的施工過程中以及竣工后都需要進(jìn)行定期的變形觀測。本文根據(jù)灰色GM（1，1）和Kalman濾波理論，結(jié)合某棟高程建筑物實測數(shù)據(jù)對這2種方法建立相應(yīng)的模型，通過對比這2種模型的預(yù)測精度與可靠性來探討這2種模型在高層建筑物的沉降變形趨勢分析和預(yù)報中的應(yīng)用。

1 灰色預(yù)測模型GM(1,1)

灰色系統(tǒng)理論是一門跨領(lǐng)域的新興學(xué)科，它以小樣本、貧信息的特征來解決數(shù)據(jù)量不夠、信息不是很明確的問題。灰色系統(tǒng)理論已經(jīng)被應(yīng)用于天氣預(yù)報、商業(yè)銷售預(yù)測、農(nóng)業(yè)產(chǎn)量預(yù)測以及水利工程災(zāi)害預(yù)測和建筑工程災(zāi)害預(yù)測等領(lǐng)域。灰色預(yù)測是通過少量的不完整的信息，建立灰色微分預(yù)測模型，并對事物發(fā)展規(guī)律作出模糊性的長期描述。

灰色系統(tǒng)中GM(1,1)模型是常用的灰色理論模型之一，其預(yù)測模型建立過程如下[1,2]。設(shè)非離散數(shù)列為：

式中，n為序列長度。對x(0)進(jìn)行一次累加生成，即可得到一個生成序列：

對此生成序列建立一階微分方程：

記為GM（1，1）。式中，?a和?u是灰參數(shù)，其白化值（灰區(qū)間中的一個可能值）為：

2 Kalman濾波

Kalman濾波技術(shù)是一種被廣泛采用的遞推式濾波算法，它可以對動態(tài)系統(tǒng)的實時數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。但是，Kalman濾波模型對建模所需的數(shù)據(jù)要求很高[3]。

Kalman濾波的數(shù)學(xué)模型由狀態(tài)方程（動態(tài)方程）和觀測方程兩部分組成，其離散化形式為：

式中， Xk是系統(tǒng)k時刻的狀態(tài)向量（n維）；Lk是系統(tǒng)k時刻的觀測向量（m維）； Fk/k-1是系統(tǒng)k-1時刻到k時刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣（n×n）；Gk-1是系統(tǒng)k-1時刻的動態(tài)噪聲矩陣（n×R）；Wk-1是系統(tǒng)k-1時刻的動態(tài)噪聲（r維）；Vk是系統(tǒng)k時刻的觀測噪聲（m維）；Hk是系統(tǒng)k時刻的觀測矩陣（m×n）。

根據(jù)最小二乘原理，可推得隨機(jī)離散線性系統(tǒng)的Kalman濾波遞推公式[4]。

狀態(tài)預(yù)報：

狀態(tài)協(xié)方差陣預(yù)報：

狀態(tài)估計：

狀態(tài)協(xié)方差陣估計：

式中，Jk是濾波增益矩陣，其具體形式為：

3 模型精度檢驗

本文采用相對誤差和后驗差檢驗評判模型精度[5,6]。

3.1 相對誤差檢驗

相對誤差檢驗是模型精度檢驗中最常用的一種方法。設(shè)原始數(shù)列為x(0)（k），預(yù)測數(shù)列為x^(0)（k），則其相對誤差η（k）為：

3.2 后驗差檢驗

該檢驗法由后驗差比值C和小誤差概率P共同描述。設(shè)實測數(shù)據(jù)方差為s12，殘差數(shù)據(jù)方差為s22，則計算式分別為[3]：

表1 后驗差檢驗法精度等級表

4 工程實例分析

4.1 濾波初值的選取

因為此變形體動態(tài)系統(tǒng)維數(shù)為2，觀測系統(tǒng)維數(shù)為1，故設(shè)觀測點的狀態(tài)向量為1，觀測點的狀態(tài)向量為取初值為：

觀測值采樣間隔取其初值Δ Tk=1，根據(jù)建筑變形測量的等級及其精度要求，三等沉降變形觀測（二等水準(zhǔn)）的動態(tài)噪聲方差陣Qk=2，觀測噪聲的方差陣Rk=0.5。

4.2 結(jié)果分析

本文以某高層建筑物某一點的9期觀測數(shù)據(jù)為例，對高層建筑物的沉降監(jiān)測點前5期數(shù)據(jù)建模進(jìn)行擬合運算，后4期進(jìn)行預(yù)測。然后利用灰色GM（1，1）模型和Kalman濾波模型對該點進(jìn)行建模分析，并通過預(yù)測值與原始觀測值進(jìn)行對比分析。

4.2.1 利用灰色GM（1，1）模型預(yù)測

首先以實測的數(shù)據(jù)前5期進(jìn)行建模，見表2。模型后驗差比值C=0.11，小誤差概率P=100%。然后利用該模型對第6～9期數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，所得結(jié)果如表3、圖1所示。

表2 灰色GM（1，1）模型建模結(jié)果/m

表3 灰色GM（1，1）模型預(yù)測與原始觀測值殘差/m

通過圖1、表2、表3可以看出，根據(jù)實測數(shù)據(jù)建立的灰色GM（1，1）模型，模型精度為一級，模型精度良好，說明通過GM（1，1）來建立建筑物變形分析的預(yù)測模型，進(jìn)而分析建筑物變形是可靠性較高的方法，該方法在一定程度上能夠準(zhǔn)確地反映建筑物的沉降趨勢。但是在預(yù)測的過程中，伴隨著觀測時間的增加，預(yù)測值與原始觀測值的殘差波動較大，曲線呈線性關(guān)系。

4.2.2 利用 Kalman 濾波模型預(yù)測

利用Kalman 濾波模型進(jìn)行預(yù)測，首先以實測的數(shù)據(jù)前5期進(jìn)行建模，見下表4。模型后驗差比值C=0.09，小誤差概率P=100%。然后利用該模型對第6～9期數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，所得結(jié)果如表5、圖1所示。

圖1 Kalman濾波、灰色預(yù)測差值和原始觀測值對比

表4 Kalman濾波模型建模結(jié)果/m

表5 Kalman濾波模型預(yù)測與原始觀測值殘差/m

通過圖1和表4、表5可以看出，對原始觀測數(shù)據(jù)建立Kalman 濾波模型，模型精度為一級，Kalman濾波預(yù)測值和原始觀測值之殘差全部在1 mm以內(nèi)，具有較高的預(yù)測精度。通過表5可以發(fā)現(xiàn)，Kalman濾波模型剔除了隨機(jī)誤差的干擾。通過觀察對比濾波后的曲線和原始數(shù)據(jù)的曲線可以發(fā)現(xiàn)，預(yù)測曲線與原始沉降曲線的變化趨勢大致相同，而且具有較好的擬合精度,能夠很好地反映變形監(jiān)測的實際情況。因此，Kalman 濾波模型隨著時間的增加能夠更好地反映出高層建筑物的變形趨勢，且具有較高的預(yù)測精度，可以很好地模擬動態(tài)目標(biāo)系統(tǒng)的變化規(guī)律。4.2.3 兩種模型對比分析

通過對表2～5和圖1的對比分析可知，Kalman濾波的預(yù)測值和實際觀測值的曲線比較相近，殘差值波動較小，較灰色GM（1,1）更為穩(wěn)定。通過Kalman濾波我們發(fā)現(xiàn)，實際觀測中的一些尖端點被削弱了，比原始過程曲線更平滑，說明Kalman濾波模型能夠更好地模擬狀態(tài)向量的變化規(guī)律。在大多數(shù)非線性狀態(tài)情況下，可以使用Kalman濾波進(jìn)行觀測，不足是Kalman濾波要求的數(shù)據(jù)數(shù)量比較多。

灰色預(yù)測模型的預(yù)測精度是比較高的，它可以排除模型預(yù)測的偶然性，證明通過運用GM（1，1）建立的預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果可靠性高。灰色系統(tǒng)理論所需的樣本數(shù)據(jù)不像Kalman濾波要求的多，很適合不確定因素的情況。對于一般的高層建筑物沉降監(jiān)測，運用灰色理論模型更加科學(xué)合理。缺點是灰色GM（1，1）模型一般處理的都是線性數(shù)據(jù)，對于非線性數(shù)據(jù)預(yù)測效果不是很理想。

5 結(jié) 語

本文通過工程分析對Kalman濾波和灰色系統(tǒng)中的GM（1，1）在變形監(jiān)測中的應(yīng)用進(jìn)行對比分析，得出高層建筑物的沉降是一個動態(tài)過程，它會受很多種因素的影響，灰色GM（1，1）所反映的建筑物沉降變化的真實程度會隨著時間的累加而降低，但是Kalman濾波受此影響很小，在變形趨勢呈波浪形或者觀測周期較長時比灰色GM（1，1）的預(yù)測精度可靠。

[1] 鄧聚龍．灰色系統(tǒng)基本方法[M]．武漢:華中科技大學(xué)出版社,2005

[2] 張健雄,蔣金豹,張建霞．高層建筑沉降監(jiān)測與灰色預(yù)測[J]．測繪科學(xué),2007,32(4):56-59

[3] 黃聲享,尹暉,蔣征．變形檢測數(shù)據(jù)處理[M]．武漢:武漢大學(xué)出版社．2003．

[4] 張正祿,黃全義,文鴻雁,等．工程的變形監(jiān)測分析與預(yù)報[M]．北京:測繪出版社,2007

[5] 何君,楊國東．灰色預(yù)測理論在建筑物沉降中的應(yīng)用研究[J]．測繪通報,2012(3):63-64

[6] 姜剛,楊志強(qiáng),張貴剛．卡爾曼濾波算法的灰色理論模型在變形監(jiān)測中的應(yīng)用[J]．測繪科學(xué),2011,36(4):4-5

[7] 周呂,韓亞坤,陳冠宇,等．動態(tài)GM(1,1)在建筑物沉降變形分析中的應(yīng)用研究[J]．城市勘測,2013,10(5):2-4

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P258

B

1672-4623（2015）02-0156-03

10.3969/j.issn.1672-4623.2015.02.055

韓亞坤，研究方向為變形監(jiān)測與數(shù)據(jù)處理。

2014-03-14。

項目來源：國家自然科學(xué)基金資助項目（41071294）；廣西空間信息與測繪重點實驗室資助項目（1207115-06、1103108-02）；廣西礦冶與環(huán)境科學(xué)實驗中心資助項目（KH2012ZD004）；研究生教育創(chuàng)新計劃資助項目（YCSZ2012083）；廣西“八桂學(xué)者”崗位專項經(jīng)費資助項目。