基于l1范數最小化的水下圓柱殼振動聲輻射預報

葉珍霞，杜堃，邱昌林，陳樂佳，謝坤

1 海軍裝備部駐武漢地區軍事代表局，湖北武漢430064

2 中國艦船研究設計中心，湖北武漢430064

3 華中科技大學 船舶與海洋工程學院，湖北武漢430074

0 引 言

利用有限數量的振動傳感器重構結構振動速度場，進而預報輻射聲壓一直被國內外學者廣泛關注。目前，根據測點振動數據重構結構振動速度場主要有2 種方法：根據實驗數據識別激勵源后重構速度場［1-3］和直接重構速度場［4］。前者需要確定外載荷的幅值和相位以實現速度場重構，此方法主要針對集中力并且需要大量的測點；后者則存在解的唯一性、穩定性等問題。工程實際中，結構所受外載荷多為分布力或數量較多的集中力，因此建立一種根據有限數量測點快速準確地直接重構速度場的方法具有重要意義。

陳美霞和白爭鋒等［5-6］認為，中、低頻時，大多情況下只有少數幾階振動模態對系統響應的貢獻較大。陶襄樊等［7-8］則將流體作用下結構的振動響應用真空中模態疊加的形式表示［9］，建立了測點速度與模態矩陣及模態參與系數間的欠定方程組；結合文獻［5-6］里中、低頻時結構響應主要由少數幾階振動模態貢獻的結論，可知結構中、低頻振動對應的模態參與系數具有稀疏性［10］，以此為前提條件，采用l1范數最小化方法對欠定方程組進行求解從而獲得模態參與系數，實現了振動速度場的重構。然而，文獻［5-6］根據布置在內殼體上的測點重構外殼體振動速度場后再進行輻射聲壓預報，當雙層圓柱殼結構的外殼體結構較為復雜時將嚴重限制預報方法；此外，文中模態矩陣是采用有限元建模計算獲得，限制了預報方法的實時性。因此，研究中、低頻時雙層圓柱殼能否根據內殼重構振速預報輻射聲壓及如何快速獲取結構模態矩陣具有重要意義。根據模態疊加理論，典型邊界條件下（如簡支）平板、圓柱殼等結構的位移函數可用三角函數展開［11-12］；相對于有限元建模計算獲取模態矩陣，利用解析法位移函數將能快速地生成典型邊界條件下圓柱殼的模態矩陣，從而保證預報方法的實時性與快速性。

本文將在文獻［7-8］的基礎上，根據解析法位移函數生成典型圓柱殼結構模態矩陣，采用l1范數最小化方法求解欠定方程從而重構速度場，并結合邊界元方法預報聲壓，建立基于少量測點振動實現典型圓柱殼結構振動與聲輻射的快速預報方法。首先，將通過典型單層圓柱殼實驗結果與預報結果的對比驗證本文方法的正確性；然后，研究基于布置在內殼體上的測點振動實現雙層圓柱殼振動與聲輻射預報的可行性，并初步研究測點數目、測點位置等參數對預報結果的影響。

1 基本理論

1.1 結構振動基本原理

根據結構振動與聲輻射的基本原理，結構在流體中振動產生聲輻射時，結構與流體交界面的法向速度相等，重構結構與流體交界面的法向振速是進行聲輻射預報的基礎。根據模態疊加原理，結構在流體中振動時表面法向速度場可用真空中模態展開［9］：

式中：?j為第j 階模態；ξj為模態參與系數；p 為結構自由度；[V ]為結構法向速度。工程實踐中，高階模態對響應的貢獻較小，在滿足工程精度的前提下，通常取前N 階模態作為基向量而將高階模態截斷。式（1）表示為矩陣形式：

式中，[Φ ]p×N為法向模態矩陣。結構上任意M 個點的法向速度可表示為

若此M 個點與實驗測點對應，則可根據實驗測得的振動速度[V ]M×1并對式（3）求解即可得到模態參與系數向量[ξ ]N×1，然后代入式（2）便可重構出結構表面的速度場，進而實現聲輻射預報。

當M ≥N 時，式（3）為超定方程或恰定方程，可通過最小二乘或直接解得到確定的[ ξ]N×1。當M ＜N 時，式（3）為欠定方程。工程實踐中，由于截斷的模態矩陣中必須包含對振動貢獻較大的模態，隨著分析頻率的增高，模態截斷數也會隨之增加，因此模態截斷數N 通常會大于測點數M，即工程中的振速重構必須求解欠定方程組。然而，欠定方程組的解因具有非唯一性，故給求解帶來了較大困難。

綜上，為實現結構振動速度場的快速重構并進行輻射噪聲預報，必須解決如下2 個問題：建立結構模態矩陣的快速生成方法，以及建立欠定方程組最優解的快速求解方法。

1.2 模態矩陣的建立

盡管采用有限元法可計算得到結構的法向模態矩陣（此方法需要建立有限元模型并根據測點布置位置劃分有限元網格），但是實踐中，測點位置極易受測試環境的影響，只能進行現場調整，而這種測點位置調整所帶來的變化極易導致有限元網格重新劃分，進而導致重新計算，這嚴重限制了振速場重構的實時性。針對工程中常見的圓柱殼結構，簡支邊界條件下殼體表面的法向（徑向）位移可表示為［11-12］（忽略時間項ejωt）

式中：α=0，1，分別表示對稱模態和反對稱模態；n 為周向波數；m 為軸向半波數；為幅值。考慮到振型向量反映系統自由振動是各節點間位移的相對大小關系而非絕對大小［9］，因此在生成模態矩陣時取=1。

為得到結構模態矩陣，將結構離散為有限個節點后，由結構模態采用解析法表達式，只要給出節點坐標即可得到任意節點的各階振型位移。通過對m 和n 的取值上限進行限定，即可得到結構的法向模態矩陣。

1.3 基于l1范數最小優化的振速重構

根據文獻［5-6］可知，在中、低頻范圍內，結構某一頻率下的響應只有少數幾階模態貢獻較大，而其他各階模態貢獻很小，因此可知模態參與系數向量[ ξ ]具有稀疏性［10］。以此為前提，由文獻［10］可知，式（3）關于[ ]ξ 的求解問題可歸結為求解如下優化問題：

上式表示的優化問題目前已有多種方法可求解最優解[ ξ]N×1，如線性規劃法［13］、最短路徑法［14］及組合算法［15］等。針對這一問題，本文采用文獻［13］所提的線性規劃法進行求解。

一旦求解出模態參與系數，通過式（2），即可實現結構振速重構。

2 預報方法驗證

以典型單層圓柱殼為例，開展預報方法驗證。即以實驗數據作為輸入進行速度場重構及輻射聲壓預報，通過與實驗數據的對比討論本文方法的正確性。

2.1 模型參數

單層圓柱殼的結構參數：圓柱殼長度與半徑比L/R=5.333，半徑與殼體厚度比R/h=112.5，長度與肋距比L/b=32；環肋為T 型材，腹板高度與厚度比d1/h1=8.883，翼板寬度與厚度比d2/h2=2.667，殼體厚度與腹板厚度及翼板厚度比分別為h/h1=1.333 和h/h2=0.889。材料參數為：材料密度為7 800 kg/m3，楊氏模量210 GPa，泊松比0.3，結構阻尼比0.01。實驗中，在單層圓柱殼結構上布置108 個加速度傳感器，在水中布置2 個水聽器（即場點），其坐標為：1#場點坐標為（0，1.33R，8b），2#場點坐標為（0，11.11R，16），詳見圖1。實驗中，激勵力的坐標（x，y，z）為（0，R，8b），如圖1所示；圓柱殼兩端用艙壁（端板）密封后自由懸掛，以模擬自由狀態。文獻［16］指出，艙壁對殼體的作用相當于簡支邊界，因此可采用簡支邊界條件下的位移函數生成結構模態矩陣。分析頻率范圍為1～500 Hz，間隔1 Hz。

圖1 單層圓柱殼結構及測點布置示意圖Fig.1 Schematic diagram of the single cylindrical shell and the locations of sensors

2.2 單層圓柱殼振速重構及輻射聲壓預報

根據圖1 中給出的單層圓柱殼實驗模型測點布置方案，以1～60#及73～108#測點振速作為輸入進行振速重構，然后以61#，64#，67#及71#測點作為重構振速的檢驗點。需要指出的是，增加參與振速重構的測點數目可提升評估精度，因此處重點探討方法的可行性，即采用本文方法重構出結構表面任意位置的振動，故僅選取部分測點數據作為輸入，而剩下的測點則用于重構結果的驗證。

由于模態階數對預報結果存在影響，圖2 給出了不同階數模態矩陣重構均方振速的對比。由圖可知在m 和n 的3 種取值組合中，重構結果僅在波谷處存在較小的差別。后續討論中，m 和n分別取為15。

圖2 模態階數對預報結果影響Fig.2 The effects of mode number on the predicting results

圖3 給出了檢驗測點振動實驗結果與重構振速的對比。由圖可知，重構振速與實驗振速頻譜規律一致、量級相當，吻合良好，僅在波谷處量級存在較小的差別。經分析可知，頻響曲線的波峰由結構的共振決定，此時對結構響應起主要貢獻的模態為共振模態，而波谷處為非共振控制區，使得起主要貢獻的模態明顯增加，導致模態參與系數的稀疏性在波谷處比波峰處差，從而使得預報結果的精度在波谷處低于波峰處。

根據重構的單殼體結構表面振速，采用邊界元法進行輻射聲壓預報。圖4給出了預報聲壓與實驗測量聲壓的對比。經分析可知，重構的聲壓在波峰處與實驗聲壓趨勢一致、量級相當，吻合良好，僅在波谷處存在一定的誤差。結合重構振速結果進一步分析可知，預報聲壓在波谷處的結果較波峰處差的主要原因是重構振速在波谷處的結果較波峰處差。總體而言，預報聲壓與實驗結果基本吻合。

圖3 重構振速與實驗結果對比Fig.3 Comparison of the reconstructive velocity and the experimental velocity

圖4 預報聲壓與實驗結果對比Fig.4 Comparison of predicted sound pressure and the experimental sound pressure

綜合振速及輻射聲壓預報結果可知，本文方法重構振速及場點聲壓和實驗結果吻合較好，從而證明了本文方法的正確性。

3 雙層圓柱殼振速重構及聲輻射預報研究

3.1 模型參數

雙層圓柱殼的結構參數：內殼半徑0.425 m，外殼半徑0.525 m，長度1.05 m，內殼厚度0.004 m，外殼厚度0.002 m，實肋板厚度0.003 m，內殼環肋截面尺寸4 mm×33 mm。材料參數為：材料密度7 800 kg/m3，楊氏模量210 GPa，泊松比0.3，結構阻尼比0.01。場點坐標：1#場點坐標為（0，-1，0.525），2#場點坐標為（1，0，0.525），3#場點坐標為（0，1，0.525）。計算中，圓柱殼兩端處于簡支邊界，作用力的坐標（x，y，z）為（0，-0.425，0.525）。分析頻率為5～1 000 Hz，間隔5 Hz。圖5 給出了雙層圓柱殼結構及測點布置示意圖，共96 個測點。

圖5 雙層圓柱殼結構及測點布置示意圖Fig.5 Schematic diagram of the double cylindrical shell and the locations of sensors

3.2 雙層圓柱殼振速重構及聲輻射預報

工程實踐中，雙層圓柱殼結構的測點多布置于內殼。文獻［7-8］是根據內殼上的測點重構外殼振速然后再進行輻射聲壓預報，而文獻［5］則指出，在中、低頻范圍可采用內殼進行輻射聲壓預報。本節針對雙層圓柱殼模型，以數值法計算的振速作為輸入進行振速重構及輻射聲壓預報。后續分析中，將數值法計算的結果作為基準值對預報結果的精度進行討論。

圖6 給出了96 個測點預報重構振速和聲壓的結果。分析可知，重構的均方振速在前2 個峰值處與基準值（用數值法直接計算振動和聲輻射）吻合較好，但隨著頻率的升高，重構均方振速精度下降，從而導致預報聲壓與計算聲壓間偏差增大；此外，重構均方振速較計算結果偏小，但對應的輻射聲壓不一定隨之減小，可能會增大。產生此現象的原因可能是結構表面某一部分重構振速較實際振速大并且此部分對場點聲壓貢獻較大，從而導致預報的聲壓偏大。結合圖3 和圖6（a）進一步分析可知（圖3 和圖6（a）分別為單層圓柱殼重構振速對比及雙層圓柱殼重構振速對比），雙層圓柱殼中由于實肋板的強支撐作用，使得圓柱殼的徑向位移在實肋板處發生突變而不完全符合式（4）中的三角函數形式，這種影響隨著模態階數的升高表現得尤為明顯。總體來講，基于l1范數最小化方法及解析法模態矩陣，采用重構內殼振速預報輻射聲壓在中、低頻段能滿足工程需要。

圖6 雙層圓柱殼重構結果與計算結果對比Fig.6 Comparison of reconstructive and the numerical results for the double cylindrical shell

上述分析中的測點數為96 個，下面考慮將測點數減為48 個，并且討論2 種布置方案。方案1是在圖5 給出的96 個測點的基礎上，每一圈測點數均勻減為8 個，并且每一圈測點在周向位置相同；方案2 中每一圈測點數也為8 個，但為了更好地根據有限測點捕獲更多的周向模態，相鄰兩圈的測點在周向位置不同，且每一圈測點與前一圈測點相比在周向上旋轉22.5°。圖7 給出了預報結果對比與計算結果對比。

圖7 測點數及測點位置對預報結果影響Fig.7 The effects of the number and position of sensors on the predicting results

分析圖7 可知，當測點數減少為48 個后對均方振速影響較小，但對輻射聲壓影響較大。在48個測點的2 種布置方案中，方案2 的預報結果明顯優于方案1，特別是在750 Hz 以下的頻率范圍內。經進一步分析可知，在方案2 的測點布置中，由于不同肋位上測點在周向位置不同，使得在測點數一定的前提下，不同肋位上的測點在周向形成互補以捕獲更多的周向振動信息，因此相比于方案1，方案2 預報的結果精度更高。

4 結 論

本文基于模態疊加理論，通過測點振動速度和模態矩陣建立以模態參與系數為未知量的欠定方程組；利用結構中低頻段振動對應的模態參與系數的稀疏特性，采用l1范數最小化法對基于測點振動建立的欠定方程組進行求解，得到模態參與系數，從而實現了結構振動場的重構及聲輻射預報。通過模型實驗和數值分析，可得到以下結論：

1）針對單層圓柱殼結構，本文的振動重構結果及聲輻射預報結果與實驗結果量級相當、頻譜規律一致，吻合良好，驗證了本文方法的正確性。

2）雙層圓柱殼研究結果表明，在中、低頻范圍內，采用內殼上測點的振動重構出內殼振速并進行聲輻射預報是可行的。

3）針對雙層圓柱殼，初步分析了測點數和測點位置等參數對預報結果的影響。結果表明，在測點數一定的前提下，布置在不同軸向位置的測點在周向上的位置不一致而呈一定角度時，預報結果精度將明顯高于測點在周向布置相同的方案。后續將進一步研究測點數、測點位置等參數對振動聲輻射預報結果的影響。

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