基于斷裂力學的煤層氣井破裂壓力計算方法

東 振， 劉亞東， 鮑清英， 張 義， 陳姍姍

( 1. 中國石油勘探開發研究院 廊坊分院，河北 廊坊 065007； 2. 中國礦業大學 資源與地球科學學院，江蘇 徐州 221008 )

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基于斷裂力學的煤層氣井破裂壓力計算方法

東 振1， 劉亞東2， 鮑清英1， 張 義1， 陳姍姍1

( 1. 中國石油勘探開發研究院 廊坊分院，河北 廊坊 065007； 2. 中國礦業大學 資源與地球科學學院，江蘇 徐州 221008 )

為了提高煤層氣井破裂壓力預測精度，運用斷裂力學理論推導裂縫性地層破裂壓力計算公式，結合分形巖石力學理論建立裂縫性地層破裂壓力解析模型，提出一種實用的破裂壓力計算方法.結果表明：在非均勻地應力下，煤巖井壁更易沿最大水平主應力方向起裂，解析模型與傳統模型在表達形式上具有統一性和更廣泛的適用性.煤巖裂縫具有分形特征，分形效應提高巖石阻礙裂縫擴展的能力，當分形維數越大、相似比越小時破裂壓力越大.在不同裂縫狀態下，縫長對破裂壓力的影響規律不同，當裂縫長度較小時破裂壓力隨裂縫長度增加而迅速減小；當裂縫長度增加到一定數值后，閉合裂縫破裂壓力隨縫長增加而增大，開啟裂縫破裂壓力隨縫長增加而減小并趨于定值.鄭莊地區5口煤層氣井實例計算表明：該計算方法預測的破裂壓力誤差在10%以內，破裂壓力對縫長變化特別敏感，合理確定裂縫長度對準確預測破裂壓力尤為重要.

破裂壓力； 斷裂力學； 分形幾何； 有限元； 煤層氣

0 引言

煤巖中大量發育的自生割理，使得煤巖與砂泥巖在巖體結構上存在很大差異，巖石力學破裂壓力計算模型沒有考慮裂縫的影響，這種局限性使得巖石力學計算方法并不適用于裂縫性地層[1-2].由于沒有針對煤層氣井有效、實用的破裂壓力計算方法，煤層氣井破裂壓力預測結果往往不能有效指導現場實踐，準確地預測煤層破裂壓力成為煤層氣鉆完井工程亟需解決的問題.

煤巖是裂隙—孔隙型雙孔介質，考慮裂縫存在時破裂壓力計算轉變為斷裂力學I型裂縫問題.Atkinson B K[3]將斷裂力學運用于水力壓裂，建立井壁裂紋擴展的斷裂力學模型.Laubach S E等[4]對煤層裂縫進行斷裂力學分析，認為裂縫上、下高點比裂縫走向端點應力集中程度更大，給出裂縫開裂時需滿足的應力條件.在水平井井壁穩定模型的基礎上，Ai C等[5]分析鉆井液浸泡時間、井眼直徑和裂縫長度對強度因子的影響.陽友奎[6]、盧國勝[7]等基于斷裂力學模型推導應力強度因子和破裂壓力，通過鹽巖假三軸水力壓裂實驗對研究結果進行驗證.曹光言等[8]應用斷裂力學理論，建立不同完井方式下油氣井破裂壓力計算模型.唐書恒[9]、顏志豐[10]等運用有限元方法討論地應力、裂縫方位對破裂壓力影響.在破裂壓力研究過程中，存在問題：(1)模型沒有考慮地層壓力；(2)在推導過程中沒有考慮裂縫啟閉狀態；(3)沒有考慮分形效應影響；(4)采用邊界配置法計算近似解，需要查閱圖版得到相關系數.

筆者運用有限元法討論裂縫性地層井壁起裂位置，綜合考慮地層壓力、裂縫形態和分形效應，建立裂縫性地層破裂壓力解析模型，為煤層氣井破裂壓力計算提供思路.

1 井壁起裂位置

1.1 單裂縫

井壁起裂位置是建立破裂壓力計算模型時必須考慮的問題，在建立計算模型時，一般假設沿最大水平主應力方向的井壁最先發生破壞.采用Ansys有限元軟件分析裂縫性井壁的起裂位置，假設條件：

(1)煤巖為橫觀各向同性的線彈性材料；

(2)不考慮溫度、滲流與應力的耦合效應；

(3)裸眼完井，不考慮井眼擴徑；

(4)模型為二維平面模型，模型尺寸相對井筒直徑足夠大，以消除邊界效應影響；

(5)單裂縫由兩條沿徑向分布的等長對稱矩形縫構成，考慮縫寬時為開啟裂縫，忽略縫寬時為閉合裂縫(長寬比足夠大時，可以將矩形縫視為線性縫).

閉合單裂縫模型(見圖1(a))參數：二維平面模型(3 m×3 m)，模型左邊界、下邊界采用固定約束，最大水平主應力平行于x軸，最小水平主應力平行于y軸，井筒內載荷垂直于井壁，楊氏模量為7.51 GPa，泊松比為0.38，抗拉強度為1.19 MPa；采用2維、8節點結構實體單元(PLANE82)，三角形網格劃分，模型外邊界分60段，井筒內邊界分120段，裂縫分5段，井筒半徑為100 mm，單縫半長為5 mm，裂縫長寬比為20，裂縫與最大水平主應力間的夾角以10°為間隔從0°變化到90°.在計算過程中，井壁最大拉應力與井筒內載荷呈線性關系[11]，最大拉應力等于抗拉強度時井筒內載荷即為煤巖破裂壓力.

圖1 單裂縫和多裂縫有限元模型

不同地應力、裂縫角度下破裂壓力見表1，其中σh1為最大水平主應力；σh2為最小水平主應力.由表1可以看出：

(1)裂縫沿最大水平主應力方向時破裂壓力最小，沿最小水平主應力方向時破裂壓力最大.

(2)最大水平主應力不變，破裂壓力隨最小水平主應力增大而增大；最小水平主應力不變，破裂壓力隨最大水平主應力增大而減小.

(3)采用巖石力學公式計算的破裂壓力,大于裂縫沿最大水平主應力方向時破裂壓力，但小于高角度裂縫時破裂壓力.

表1 不同地應力、裂縫角度下破裂壓力Table 1 The fracture pressure under different in-situ stress and crack orientations MPa

1.2 多裂縫

不同方位裂縫共存時井壁更符合工程實際，因此對多裂縫共存的煤巖井壁進行有限元數值模擬.多裂縫模型(見圖1，其中p為井筒壓力)的井壁均布18條單裂縫，兩條裂縫角度間隔10°，其中水平縫與最大水平主應力方向一致，考慮裂縫間相互影響和計算精度將裂縫分10段，其他模型參數、力學參數、裂縫幾何參數與單裂縫模型的一致.有限元數值模擬結果表明：

(1)裂縫尖端應力與原始地應力關系密切，水平應力差越大，裂縫尖端的應力差異越明顯.在非均勻地應力條件下，沿最大水平主應力方向裂縫尖端應力集中最為嚴重，是井壁上最先起裂的位置，井壁起裂后易形成單一裂縫(見圖2(a)).

(2)在均勻地應力條件下，不同方位裂縫的尖端應力差異小，井壁起裂后易形成徑向裂縫(見圖2(b)).

圖2 多裂縫尖端應力云圖

2 破裂壓力

割理是煤層中垂直層面分布的系統裂縫，常被方解石、黏土、黃鐵礦等礦物及其他膠結物充填，根據充填程度分為完全充填割理、充填割理和未充填割理[12]；煤巖在填充物、應力(地應力和構造應力)共同作用下存在開啟、閉合狀態裂縫，在鉆井過程中可以遇到.為方便建立模型，假設條件：

(1)只考慮沿最大水平主應力方向的徑向裂縫；

(2)井壁周圍不存在異常地層壓力；

(3)不考慮井眼擴徑和鉆井液向地層的滲透作用.

考慮裂縫啟閉狀態和地層壓力，建立裂縫性地層破裂壓力計算模型(見圖3)，其中po為地層壓力；R為井筒半徑;a為裂縫半長；x為裂縫上某點到井眼中心的距離.根據彈塑性力學[13]得到不考慮地層壓力時周向應力表達式為

(1)

式中:σ(x)為距離井眼中心x處周向應力；θ為裂縫與最大水平主應力方向夾角，模型中裂縫與最大水平主應力方向一致，夾角為0°.根據斷裂力學[14]無限板內半長為a的拉伸裂紋強度因子尖端應力計算公式，計算模型裂縫強度因子：

(2)

式中:KⅠ為Ⅰ型裂縫強度因子，以拉應力為正，以壓應力為負.模型中裂縫受壓應力，故式(2)變號.

2.1 閉合裂縫

計算強度因子是求解Ⅰ型裂縫問題的關鍵，由于裂縫的啟閉狀態影響裂縫上有效應力的分布，因此對不同狀態下裂縫分別進行強度因子計算.對于閉合裂縫，裂縫與井筒不連通，因此裂縫內、外壓力與地層壓力相等，將作用在裂縫上的地應力、井筒壓力和地層壓力分別代入式(2)，積分后由疊加原理得到總強度因子；根據Ⅰ型裂縫起裂準則，建立強度因子與斷裂韌性之間關系，進而推導閉合裂縫破裂壓力.

圖3 閉合、開啟狀態裂縫破裂壓力計算模型

(1)沿最大水平主應力方向，距離井眼中心x處地應力作用下表達式為

(3)

將式(3)代入式(2)并積分，得到地應力作用下裂縫強度因子KⅠ1：

(4)

式中：σ1(x)為距離井眼中心x處地應力；l=1+a/R，a/R為裂縫半長與井眼半徑之比，簡稱為縫徑比；f(l)、g(l)為與縫徑比有關的無量綱因數.

(2)井筒壓力p在距離井眼中心x處產生的周向應力為-pR2/x2，將它代入式(2)并積分，得到井筒壓力作用下裂縫強度因子KⅠ2：

(5)

式中：h(l)為與縫徑比有關的無量綱因數.

(3)裂縫內、外受到地層壓力作用，將-po代入式(2)并積分，得到地層壓力作用下裂縫強度因子KⅠ3：

(6)

式中：q(l)為與縫徑比有關的無量綱因數.

將式(4-6)進行疊加，根據Ⅰ型裂縫開裂準則，得到裂縫開裂要需滿足應力條件為

(7)

式中：KⅠC為Ⅰ型裂縫的巖石斷裂韌性.

(8)

其中

式(8)等號兩邊量綱一致，符合量綱和諧原理，將等號右邊第三項定義為名義抗拉強度；它與巖石的楊氏模量、泊松比、斷裂能和縫徑比等有關，可以作為不考慮外力作用時巖石抗拉強度；巖石斷裂韌性實驗表明斷裂韌性與抗拉強度存在一定線性關系[15]，式(8)間接證明該觀點.當裂縫長度值趨近于0時，地應力、地層壓力前的應力因數極限值分別為3、1、1，應力因數極限值與巖石力學中破裂壓力計算公式的因數一致.可以將均質砂泥巖地層作為裂縫性地層在裂縫長度值為0時的特殊情況，巖石力學破裂壓力計算公式作為式(8)在裂縫長度值為0時的特殊表達式，因此式(8)具有更廣泛的適用性.

2.2 開啟裂縫

裂縫開啟時裂縫與井筒連通，裂縫內壓力等于井筒壓力，裂縫外受地層壓力作用，裂縫上作用垂直于裂縫的均布力(井筒壓力與地層壓力之差)，將作用在裂縫上的地應力、均布力分別代入式(2)并計算，利用疊加原理得到裂縫強度因子；根據Ⅰ型裂縫起裂準則，建立強度因子與斷裂韌性之間關系，因推導過程較為繁瑣，僅給出開啟裂縫時破裂壓力計算公式：

(9)

式(9)中應力因數、名義抗拉強度表達式與式(8)的不同，地層壓力對破裂壓力的影響不再與裂縫長度有關.當裂縫長度值趨近于0時，式(9)中最大主應力與最小主應力前的應力因數極限值分別為1、3，式(8)、式(9)中名義抗拉強度比的極限值等于1，即不存在裂縫時式(9)和式(8)計算的破裂壓力相等，與實際情況相符.

3 公式修正

在公式推導過程中，將井壁周圍裂縫作為線性縫處理，現場實測和實驗觀測表明，裂縫表面具有非線性、不規則的特點，巖石中裂縫不只沿直線擴展.巖石的斷裂行為具有分形特征[16-18]，可以利用分形巖石力學理論對公式進行修正.分形理論的核心是“自相似性”，定量描述這種相似性的參數是分形維數，測井曲線可以連續記錄不同深度地層的物性和裂縫發育情況，因此可以通過測井資料的變尺度分析計算裂縫分形維數.

變尺度分析法(R/S分析)是目前應用最廣泛、最成熟的分形統計方法之一[19]，R稱為極差，代表時間序列的復雜程度；S稱為標準差，代表時間序列的平均趨勢；R/S刻畫無因次時間序列的相對波動強度.如果R(n)/S(n)與n在雙對數坐標系下能回歸出較好的線性關系，就代表該時間序列具有自相似性的分形特征.測井參數(聲波時差、深淺電阻率和密度)R/S分析后得到的直線斜率H即為Hurst指數，分形維數D由2-H計算[20].對于一維過程Z(t)，R/S分析過程為

(10)

式中:n為分析層段測井采樣點數；u為由端點開始在0～n之間依次增加的樣點數；Z為隨采樣點變化的測井參數；i，j為樣點數的變量；R(n)為測井參數全層段極差；S(n)為測井參數全層段標準差.

根據分形巖石力學理論，得到考慮分形效應后的巖石斷裂韌性[21]為

(11)

式中:KⅠCD為沿分形裂縫斷裂的巖石斷裂韌性；E為楊氏模量；υ為泊松比；r為相似比；γs為線性擴展時單位宏觀斷裂面表面能.

將考慮分形效應的巖石斷裂韌性代入式(8)和式(9)，得到修正后的破裂壓力計算公式為

(12)

(13)

式中：pfc為修正后閉合裂縫破裂壓力；pfo為修正后開啟裂縫破裂壓力.

4 實例分析

分析山西沁水盆地鄭莊區塊5口煤層氣鄰井.通過內壓厚壁空心圓柱實驗，鮮保安[22]得到山西永紅煤礦的煤巖斷裂韌性范圍為0.13～0.24 MPa·m1/2，平均為0.22 MPa·m1/2；劉志強[23]通過實驗獲得鄭莊區塊煤巖的抗拉強度范圍為0.42～1.56 MPa，平均為0.90 MPa；顏志豐等[10]通過實驗獲得沁南寺河煤礦的煤巖抗拉強度范圍為0.68～1.34 MPa，平均為1.19 MPa.實例計算中取斷裂韌性為0.22 MPa·m1/2，抗拉強度為1.19 MPa，楊氏模量為7 GPa，泊松比為0.31，井眼直徑為215.9 mm.

4.1 地應力與地層壓力

在鄭莊區塊地質模型基礎上，開展基于多井約束優化的地應力數值模擬(見圖4)，5口煤層氣井最大水平主應力范圍為24.88～25.66 MPa，最小水平主應力范圍為14.27～14.91 MPa，距研究區最近的一口原地應力測試井的最大水平主應力為23.08 MPa，最小水平主應力為14.77 MPa，數值模擬結果與測試結果的相對誤差較小(小于10%).鄭莊區塊實測與計算煤層壓力的關系見圖5.由圖5可以看出，研究區注入/壓降測試獲得的煤層壓力,與根據煤層深度計算的煤層壓力間存在較好的線性關系，可以根據兩者關系計算煤層壓力，5口煤層氣井的地應力和煤層壓力計算結果見表2.

圖4 沁水盆地鄭莊區塊地應力預測

4.2 分形參數

W2井煤層段測井資料變尺度分析曲線見圖6.由圖6可以看出，R/S曲線呈良好的線性關系，表明煤層裂縫具有分形特征.5口煤層氣井分形維數計算結果見表3.由表3可以看出，W3井煤層段的分形維數比測井段的分形維數要小，說明煤層相對于砂泥巖地層裂縫欠發育.聲波時差對于煤層孔滲變化有較強的響應，尤其是裂縫段被氣體、液體充填時聲波時差反應明顯，并存在周波跳躍現象[24].由于聲波時差R/S曲線的相關系數普遍較大，文中以聲波時差R/S分析得到的分形維數為標準.深、淺雙側向電阻率的分形維數基本相同，與聲波時差變尺度分析結果相比，測井段分形維數計算結果偏大.密度的變尺度分析結果與聲波時差變尺度分析結果相近，但個別井相關因數偏小.孫麗鳳[25]、李瑋等[26]給出分形維數、相似比和

圖5 沁水盆地鄭莊區塊實測與計算煤層壓力的關系

彎折角之間數學關系，可以通過分形維數反算彎折角和相似比，計算結果見表2.

4.3 破裂壓力預測結果

獲得5口煤層氣井地應力、煤層壓力和分形參數后，通過小型壓裂實驗結果反算該井的縫徑比為0.004，忽略煤巖割理裂縫變化影響，運用文中解析模型預測鄰井破裂壓力.由表2可以看出：由于傳統模型沒有考慮裂縫影響，解析模型與傳統模型計算結果差距較大.解析模型比傳統模型的預測精度提高，計算結果與實測破裂壓力的相對誤差在10%以內，誤差產生原因：

(1)解析模型只考慮徑向單裂縫，真實井眼周圍發育不同方向和長度的裂縫系統，井壁不一定沿最大水平主應力方向起裂；

表2 建立解析模型與傳統模型破裂壓力計算結果Table 2 The fracture pressure calculation result of analytical model and traditional model

圖6 W2井煤層段測井R/S分析曲線Fig.6 Coal seam logging data R/S Analysis of well W2

表3 5口煤層氣井分形維數計算結果Table 3 The calculation result of fractal dimension

(2)每口井的裂縫發育不同，解析模型對地質條件穩定、煤巖性質變化小的地區預測效果好，在裂縫發育差異較大時誤差較大.

4.4 破裂壓力影響因素

縫徑比與分形參數分別表征裂縫宏觀和微觀發育，是影響破裂壓力的兩個關鍵因素.縫徑比對破裂壓力的影響見圖7.由圖7可以看出：閉合裂縫破裂壓力隨縫徑比增加先減小后增加；開啟裂縫破裂壓力隨縫徑比增加逐漸減小并趨于定值.短裂縫改變井筒周圍的巖石結構，應力集中現象使得井壁巖石更易破壞，從而導致破裂壓力降低.閉合裂縫尖端達到起裂條件前整個裂縫張開，隨裂縫長度增加所需能量和破裂壓力也隨之增加.裂縫開啟時受力與巖石力學中破裂壓力計算模型類似，裂縫上只作用井筒壓力、地應力和地層壓力，地應力隨裂縫長度增加而不斷減小，并趨于最小水平主應力，破裂壓力不斷減小；當超過井筒附近的應力集中區(5～10倍井筒半徑)后，裂縫尖端處的應力狀態不再變化，破裂壓力也趨于定值.

分形參數對破裂壓力的影響見圖8.分形維數表征裂縫的復雜程度，分形維數越大,說明裂縫擴展路徑越不規則，擴展裂縫在產生更大斷裂面積的同時也將消耗更多的表面能.相似比表征裂縫的最小分形尺寸，分形相似比越小，說明對裂縫分形程度的測量精度越高，分形裂縫測量長度也越大，因此裂縫擴展所需能量也越多.總之，分形效應提高巖石阻礙裂縫擴展的能力，增加破裂壓力.

圖7 縫徑比對破裂壓力的影響

圖8 分形參數對破裂壓力的影響

5 結論

(1)建立的解析模型與巖石力學模型在表達形式上具有統一性和更廣泛的適用性，巖石力學模型可以作為解析模型在縫長值為0時的特殊情況，解析模型的破裂壓力計算公式間接證明巖石斷裂韌性與抗拉強度之間存在線性關系.

(2)裂縫在開啟、閉合時應力狀態不同，縫長對破裂壓力的影響規律不同.煤層裂縫具有分形特征，分形效應提高巖石阻礙裂縫擴展的能力，導致破裂壓力增大.

(3)建立的解析模型具有較好的預測精度.在割理裂縫很小時，破裂壓力對縫長變化特別敏感，合理選擇裂縫長度對于準確預測煤層破裂壓力尤為重要.

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2015-10-08；編輯：任志平

國家科技重大專項(2011ZX05033，2011ZX05033-001，2011ZX05043-006)

東 振(1988-)，男，碩士，助理工程師，主要從事煤層氣鉆完井方面的研究.

P618.13

A

2095-4107(2015)06-0111-09

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2015.06.013