培養合情推理能力，提高學生的數學素養——從《矩形、正方形(一)》一節課例說起

◆李蘭榮

(山東濟寧市第十三中學)

著名數學家波利亞認為:“合情推理是數學發現與創造的源泉”。所謂合情推理，就是從具體的事實經驗出發，通過觀察、實驗、類比、聯想、歸納、猜想等手段而進行的一種推理。在問題解決中，合情推理具有猜想和發現結論、探索和提供思路的作用，有利于創新意識培養。下面我以課例《矩形、正方形(一)》中的部分片段為例，就如何培養學生的合情推理的點滴做法與大家共勉。

教學片斷一:通過讓學生欣賞一組生活中熟悉的矩形圖片，發現美、欣賞美、感悟美，體會矩形在生活中的廣泛應用。然后根據學生的已有知識借機提出問題:(1)圖中有你熟悉的四邊形嗎?(2)它與平行四邊形相比有什么特殊的地方?接下來再通過教具演示由平行四邊形轉變為矩形的過程，使學生更加直觀的感受二者之間的聯系，并讓學生嘗試說出矩形的定義。

設計意圖:從學生熟悉的生活圖片出發，激發學生學習興趣，讓學生通過觀察、猜想、歸納，認識平行四邊形與矩形的主要特征與他們之間的變換關系，對矩形的特點進行識別，歸納矩形定義，同時又輔以適當的教法，培養學生一定的合情的推理能力。”

教學片斷二:為讓學生主動探究出矩形的性質，引導學生動手實踐、自主探索、合作交流，我設計了以下的探究活動。

探究一:借助學具拉動平行四邊形活動框架一對不相鄰的頂點，改變平行四邊形的形狀。

(1)當∠ABC 是直角時，平行四邊形變成矩形，其他三個角是什么角?

(2)隨著∠ABC 的變化，兩條對角線的長度是怎樣變化的?當∠ABC是直角時，兩條對角線的長度有什么關系?

引導學生觀察由平行四邊形轉變為矩形的過程中，角、對角線發生了怎樣的變化。

活動要求:(1)4 人一小組，利用學具，通過猜一猜、量一量、算一算、探究、驗證矩形在角、對角線方面的特殊性質。(2)每組推選一位同學展示本組得出的結論。

設計意圖:著名數學教育家波利亞曾指出:“只要數學的學習過程稍能反映出數學的發明過程的話，就應當讓猜測、合情推理占有適當的位置。”因此在教學中要從知識發生的過程設計合情推理的問題情境，留給學生足夠的推理與猜想的時間，讓學生通過合作交流或獨立探究自主發現規律，從而獲取新知，充分展示學生的思維過程，有利于學生理性思維的提高。在這個過程中，教師留出充足的時間讓學生動手實踐，學生可能會通過觀察、測量、分析等方法初步得出矩形的相關性質。教師借助幾何畫板的動畫演示，讓學生更直觀的感受到圖形間的奇妙變化，體會到由量變到質變的過程，以及探索的樂趣與奧妙，從而獲得矩形相對于平行四邊形特有的性質。學生在具體問題的探索過程中熱情參與，積極思考，大膽發言，在得到結論過程中品嘗成功的喜悅，激發了合情推理的意識，形成了一定的合情推理能力。

教學片斷三:為了讓學生驗證矩形的對稱性，我設計了探究活動二。

探究二:借助手中的學案紙通過折疊，判斷矩形是軸對稱圖形嗎?它有幾條對稱軸?

設計意圖:讓學生通過折疊矩形紙片動手做一做，想一想，觀察歸納得出矩形是軸對稱圖形，并且有兩條對稱軸的結論。這個過程為學生“利用直觀進行思考”提供了機會，學生在實際的操作過程中，得到正確的答案，養成合情推理的習慣。

教學片斷四:至此，學生已經熟練掌握了矩形的性質，并初步體會到了運用知識的成功感受，我會借機拋出問題:怎樣判定一個四邊形是否是矩形呢?由于剛學完矩形的定義，學生會自然想到借助定義來判定。為了進一步探索矩形的判定方法，設計了探究活動三:

探究三:借助矩形的定義想一想

1.有三個角是直角的四邊形是矩形嗎?為什么?

2.對角線相等的平行四邊形是矩形嗎?為什么?

設計意圖:對于這兩個問題可以引導學生先通過嘗試畫圖、猜想得到結論進行合情推理。教師給學生大膽猜想、大膽推測的空間，激發學生去自主思考、互相協作、共同探究、自我提高，最后由此得出要想驗證結論需要回到出矩形的定義中。這個過程中學生順利地從合情推理的過程過渡到演繹推理，提升了推理能力。

在這節課的教學中，學生學得輕松快樂，而且記得牢。學生在教育教學過程中能夠與教師一起參與教和學中，做學習的主人，形成一種寬松和諧的教育環境。在學生通過觀察、操作、猜想探究出圖形的性質后，還要求學生對發現的性質進行證明，使直觀操作和邏輯推理有機地整合在一起，使推理論證成為學生觀察、實驗、探究得出結論的自然延續，這個過程中就發展了學生的合情推理能力。同時也有助于學生空間觀念的形成，學生的思維能夠向深度、廣度拓展，養成“觀察——歸納(類比)——猜想——論證”的思維習慣，提高了數學素養。