部分有界不確定性數據平差方法

陳曉林 宋迎春 鄒 渤

1 中南大學地球科學與信息物理學院，長沙市麓山南路932號，410083

在測量數據處理中，存在觀測方程系數矩陣有誤差且有界的情形［1－3］。經典高斯－馬爾柯夫模型顯然不是最合適的方法。總體最小二乘法雖然同時顧及系數矩陣的隨機誤差和觀測值矩陣的隨機誤差［4－5］，但忽略了系數矩陣和觀測值誤差“有界”這一先驗信息，會對系數矩陣過度校正或改正不足［6－7］。文獻［8］運用奇異值分解方法，給出不確定性平差模型、不確定性處理方法以及誤差分析等；文獻［9］提出基于線性矩陣不等式（LMI）的參數估計方法；文獻［10］提出用遺傳算法來解決線性系統系數矩陣存在不確定性擾動的問題。實際上，系數矩陣并不一定都有誤差，或是系數矩陣的誤差不一定有確定界限，可能系數矩陣中只有部分塊存在有界誤差。基于此，在不確定性數據平差方法的基礎上，給出了部分有界不確定性數據處理的函數模型、平差準則和解算方法。

本文運用部分有界不確定性數據平差方法來解算四參數向量問題。對仿真數據進行解算，并將解算結果與普通最小二乘、總體最小二乘結果進行比較。結果表明，運用部分有界不確定性數據平差方法對部分有界不確定性數據進行處理能得到有效的參數結果。

1 平差模型

假設系數矩陣A有A1、A2分塊，A1子塊數據是正確的，A2子塊的有界隨機誤差δA2，滿足‖δA2‖F≤ηA。觀測值的有界隨機誤差滿足‖δL‖F≤ηL，用以下數學模型表示：

在測量領域，最小二乘準則用于處理只有觀測值有誤差的測量問題，總體最小二乘平差準則用于處理系數矩陣和觀測值矩陣都有誤差的情形。顯然，這兩種方法都可以對上述問題進行處理，但因為忽略了誤差有界這一條件，會出現過度校正或改正不夠。基于此，對上述部分有界數據問題給出min－max平差準則［11］：

這一平差準則的意義是在先驗信息條件下使式（2）的最大值達到最小。由此，首先討論上式的內層極大化問題，即

根據范數的三角不等式，有：

當且僅當

時，式（4）取等號。此時，

由此，平差準則（2）等價于：

求解此最小值問題，先對函數求導后求極小值，再求定義域內的最小值。設目標函數為：

根據范數不等式，f（x1，x2）對x1、x2在定義域內是凹函數，因此目標函數f（x1，x2）的極小值在偏導數為零或不可導處取得，所以當時可取得極小值。這時，有：

在式（9）、（10）等號兩邊乘以‖A1x1＋A2x2－L‖F，并顧及A＝［A1，A2］，x＝［x1，x2］T，有：

或

其中，

由式（9）、（10）可知，目標函數的不可導點滿足x2＝0或A1x1＋A2x2－L＝0。

1）x2＝0時，原問題變為求參數x1，此時可直接用最小二乘方法求解，其解為，原問題的一個極小值點為。

2）A1x1＋A2x2－L＝0 時，不存在任何觀測誤差，與平差的假設不符。由式（12）知：

令

式（14）化為：

式（16）等式右邊的u是由x和x2組成的表達式，不能直接求解。此式與文獻［8］中的式（14）在形式上完全一致，只是u的表達式不一樣，而由于本文中的u是矩陣形式，不能直接用文獻［8］中的式（14）進行計算。此外，此式在形式上與部分嶺估計［12］也一致，只是部分嶺估計的嶺參數只是一個改善法方程矩陣ATA病態性的拉格朗日乘常數，并沒有具體的意義，而（15）式u中的α為‖Ax－L‖F與‖x2‖F的比值。

先對矩陣A進行奇異值分解：

其中，U是m階正交矩陣，V是n階正交矩陣，Σ＝diag（λ1，λ2，…，λn），λ1≥λ2≥…≥λn＞0，λi（i＝1，2，…，n）為A的奇異值。對UTL進行分塊，令

此處，L1為n維向量，L2為m－n維向量。

對V進行與u相同的分塊，有：

式中，［V21V22］為V的分塊。

綜合式（13）、（20）和（22），有：

式中左右兩端都包含α，需通過迭代求解。迭代步驟如下：

1）給定α的初始值；

2）將u0代入式（23）得到α1；

將α值回代入式（16），可以解得x。將兩個極小值點取得的極小值進行比較即得最小值，最小值點處的參數就是所求結果。

2 實例與數據分析

通過一個坐標轉換算例來驗證上述方法的有效性。假設某點在地方獨立控制網中的坐標為（xi′，yi′），對應的新坐標系中的坐標為（xi，yi），地方獨立控制網原點在新坐標系中的坐標為（x0，y0）。本算例中假設有3個公共點，按文獻［13］的坐標轉換模型可建立如下誤差方程：

其中，a＝x0，b＝y0，c＝mcosα，d＝msinα，m為尺度比因子，α為旋轉角。式中系數矩陣前兩列為常數，后兩列是舊坐標系中的坐標。由于技術條件、觀測方法、測量儀器等影響，舊坐標與新坐標不可避免地存在誤差，因此系數矩陣的第3、4列和觀測向量存在誤差。設參數真值為［3.336 4.289 0.309 0.951］T，系數矩陣為6行4列，用A表示，且前兩列無誤差。給第3、4列加入隨機誤差，觀測向量用L表示，其真值由系數矩陣真值與參數真值計算所得，并加入隨機誤差（表1）。

通過計算可以得出，‖δA2‖F＝0.311 5＜0.32，‖δL‖F＝0.227 1＜0.23。因此，設ηA＝0.32，ηL＝0.23，由此建立部分有界不確定性平差模型：

解算的參數見表2，x列為本文方法計算的參數結果，xLS、xTLS列分別為最小二乘法、總體最小二乘法［14－15］解算得到的參數值。

表1 系數矩陣與觀測值矩陣的真值和加入的隨機誤差Tab.1 The true value and random error of coefficient and observation

表2 平差結果Tab.2 The adjustment results

上述3種平差方法得到的參數結果與真值比較如表3。

表3 平差結果與真值的差值Tab.3 The difference between adjustment results and true value

單從參數的偏差平方和看，部分有界不確定性數據平差方法精度高于其他兩種方法，最小二乘法的‖δA‖F＝0，總體最小二乘法的‖δA‖F＝0.029 7，按本文得出的‖δA‖F＝0.320 0。算例中，總體最小二乘法對系數矩陣不確定性的估計不足，與平差模型中的先驗信息不符，最小二乘法則沒有對系數矩陣的誤差進行改正。

將3種方法得到的參數解和改正后的系數矩陣代入數學模型，可得到L的平差值。3種方法的平差值與真值之差的平方和分別為由于最小二乘法的原理是使偏差平方和最小，所以最小，由此必然會有

綜上所述，3 種方法各有優點。在遇到這種帶有部分有界約束的已知先驗信息的問題時，本文方法是有效的。

3 結 語

針對系數矩陣部分存在有界誤差的問題，本文基于min－max平差準則，得到解決這個問題的參數平差方法。這一平差準則顧及了系數矩陣的有界約束這一先驗信息。通過一個與坐標轉換有關的實例對本文方法進行驗證，并將解算結果與最小二乘法、總體最小二乘法進行比較。結果表明，本文方法是處理系數矩陣誤差部分有界問題的有效方法。

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